Rozwiąż model Sherringtona-Kirkpatricka za pomocą ParityQC Parity Twine Optimizer

Szacowany czas: 10 sekund na procesorze Nighthawk r2. (UWAGA: To tylko szacunek. Twój rzeczywisty czas wykonania może się różnić.)

Efekty uczenia się

• Użyj Parity Twine Optimizer do rozwiązania modelu Sherringtona-Kirkpatricka.

• Dowiedz się, jakie opcje są dostępne dla Parity Twine Optimizer i jakie wyniki są zwracane.

Kontekst

Ten samouczek pokazuje, jak rozwiązać model Sherringtona-Kirkpatricka za pomocą ParityQC Parity Twine Optimizer.

Zawiera kod do sformułowania problemu w całości lokalnie w formie, która może współpracować z Parity Twine Optimizer.

Model Sherringtona-Kirkpatricka

Model Sherringtona-Kirkpatricka (SK) jest fundamentalnym modelem w mechanice statystycznej, szczególnie w badaniu szkieł spinowych. W przeciwieństwie do standardowego modelu Isinga, w którym oddziaływania są zwykle ograniczone do najbliższych sąsiadów, model SK jest modelem o nieskończonym zasięgu, co oznacza, że każdy spin oddziałuje z każdym innym spinem w układzie. Prowadzi to do wysoce złożonego, "chropowatego" krajobrazu energetycznego, charakteryzującego się wieloma minimami lokalnymi, co jest cechą charakterystyczną zachowania szklistego.

Kluczową cechą modelu SK jest frustracja. W modelu siły oddziaływania $J_{ij}$ między spinami są losowo rozłożone między wartościami dodatnimi i ujemnymi. Prowadzi to do sytuacji (na przykład w układach trójkątnych), w których spinów nie da się ułożyć tak, aby zminimalizować wszystkie oddziaływania jednocześnie. W modelu SK, ponieważ każdy spin oddziałuje z każdym innym spinem, ta frustracja jest spotęgowana globalnie, co prowadzi do sieci sprzecznych ograniczeń.

Sformułowanie matematyczne

Stan układu jest zdefiniowany przez zbiór $N$ spinów Isinga, $s_i \in \{+1, -1 \}$. Energia konkretnej konfiguracji jest dana przez hamiltonian:

$H = - \sum_{1 \leq i \leq j \leq N} J_{ij} s_i s_j$

gdzie $J_{ij}$ to siła sprzężenia między spinem $i$ a spinem $j$.

W modelu SK sprzężenia $J_{ij}$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie. Aby zapewnić, że energia pozostanie ekstensywna (proporcjonalna do $N$), gdy $N \rightarrow \infty$, wariancja sprzężeń musi skalować się z liczbą cząstek:

$J_{ij} \sim \mathcal{N} \left( 0, \frac{J^2}{N} \right)$

Stan podstawowy dla danego $H$ to konkretna konfiguracja spinów ($s_1, s_2, ...s_n$), która minimalizuje energię. Znalezienie stanu podstawowego jest problemem optymalizacyjnym NP-trudnym.

Wymagania

Przed rozpoczęciem tego samouczka upewnij się, że zainstalowane są następujące elementy:

• Qiskit Functions Catalog IBM Client (pip install qiskit-ibm-catalog)

• Qiskit addon Optimization Mapper (pip install qiskit_addon_opt_mapper)

• NumPy (pip install numpy)

Potrzebujesz również uprawnień dostępu do funkcji ParityQC Twine Optimizer. Aby poprosić o dostęp, wypełnij ten formularz.

Konfiguracja

(Ten kod zakłada, że zapisałeś już swoje konto w swoim lokalnym środowisku.)

Najpierw zaimportuj wszystkie pakiety wymagane w tym samouczku.

# Added by doQumentation — installs the packages this notebook needs if they are missing
import importlib.util

_needed = {"numpy": "numpy", "qiskit_ibm_catalog": "qiskit-ibm-catalog"}
_missing = [pip for module, pip in _needed.items()
            if importlib.util.find_spec(module) is None]
# One at a time, so a package that fails to install does not block the others
for _pip in _missing:
    %pip install -q {_pip}
if not _missing:
    print("\u2713 All required packages are installed")

import numpy as np

from qiskit_ibm_catalog import QiskitFunctionsCatalog

Załaduj Parity Twine Optimizer z katalogu Qiskit Functions:

catalog = QiskitFunctionsCatalog(channel="ibm_quantum_platform")
function = catalog.load("parityqc/parity-twine-optimizer")

Krok 1: Zdefiniuj problem jako funkcję celu

Zamiast pozyskiwać problem SK z biblioteki, tak jak robimy to dla problemu Market Split, formułujesz go bezpośrednio.

Funkcja generate_sk_problem formułuje problem SK bezpośrednio w wymaganym formacie słownika. Jedynym wymaganym wejściem jest n, liczba spinów w modelu.

def generate_sk_problem(
    n: int,
    coupling_mean: float = 0.0,
    coupling_std: float = 1.0,
    local_fields_mean: float = 0.0,
    local_fields_std: float = 0.0,
    edge_density: float = 1.0,
    ensure_extensivity: bool = False,
    seed: int | None = None,
) -> dict:
    """Generate the Sherrington-Kirkpatrick (SK) model with varying
     edge density.

    Samples couplings and local fields via ``generate_couplings_sk_model``
    and assembles the corresponding Ising Hamiltonian

        H = -∑_{i<j} J_ij z_i z_j - ∑_i h_i z_i,

    where z_i ∈ {-1, +1}.

    Args:
        n: Number of spins (>= 2).
        coupling_mean: Mean coupling before optional SK scaling.
        coupling_std: Coupling std before optional SK scaling.
        local_fields_mean: Mean longitudinal field.
        local_fields_std: Std of the longitudinal fields.
        edge_density: Fraction of non-zero couplings, in ``[2/n, 1]``.
        ensure_extensivity: Whether to apply the SK 1/n scaling.
        seed: random number generator seed.

    Returns:
        An encoding the SK Hamiltonian.

    Raises:
        ValueError: If ``n < 2``, ``coupling_std < 0``, ``local_fields_std < 0``,
            or ``edge_density`` is outside ``[2/n, 1]``.
    """
    couplings, local_fields = _generate_couplings_sk_model(
        n=n,
        coupling_mean=coupling_mean,
        coupling_std=coupling_std,
        local_fields_mean=local_fields_mean,
        local_fields_std=local_fields_std,
        edge_density=edge_density,
        ensure_extensivity=ensure_extensivity,
        seed=seed,
    )

    # Handle quadratic terms: coupling[i, j] * zj[i] * zj[j]
    # Only iterate over the upper triangle (i < j)
    sk_problem = {
        str((i, j)): float(couplings[i, j])
        for i in range(n)
        for j in range(i + 1, n)
        if couplings[i, j] != 0
    }

    # Handle linear terms: local_fields[i] * zj[i]
    sk_problem.update(
        {
            str((i,)): float(local_fields[i])
            for i in range(n)
            if local_fields[i] != 0
        }
    )

    return sk_problem

Użyj funkcji _generate_couplings_sk_model, aby obliczyć losowe wyrazy sprzężeń w modelu SK. Aby uzyskać większą kontrolę nad sprzężeniami, możesz użyć opcjonalnych argumentów, które są opisane w docstringu funkcji.

def _generate_couplings_sk_model(
    n: int,
    coupling_mean: float = 0.0,
    coupling_std: float = 1.0,
    local_fields_mean: float = 0.0,
    local_fields_std: float = 0.0,
    edge_density: float = 1.0,
    ensure_extensivity: bool = False,
    seed: int | None = None,
) -> tuple[np.ndarray, np.ndarray]:
    """Generate random couplings and local fields for an Ising / SK model.

    Couplings are Gaussian. With ``ensure_extensivity=True`` they follow the
    Sherrington-Kirkpatrick scaling ``J_ij ~ N(coupling_mean/n, coupling_std^2/n)``
    (extensive energy, O(n)); otherwise ``J_ij ~ N(coupling_mean, coupling_std^2)``
    (energy O(n^2)). Fields are ``h_i ~ N(local_fields_mean, local_fields_std^2)``.

    ``edge_density`` sets the fraction of the ``n*(n-1)/2`` possible couplings that
    are non-zero (1 = fully dense). The kept edges always include a random spanning
    tree, so the interaction graph is guaranteed connected. This requires at least
    ``n-1`` edges, so ``edge_density`` must be at least ``2/n``.

    Args:
        n: Number of spins (>= 2).
        coupling_mean: Mean coupling before optional SK scaling.
        coupling_std: Coupling std before optional SK scaling.
        local_fields_mean: Mean longitudinal field.
        local_fields_std: Std of the longitudinal fields.
        edge_density: Fraction of non-zero couplings, in ``[2/n, 1]``.
        ensure_extensivity: Whether to apply the SK 1/n scaling.
        seed: random number generator seed.

    Returns:
        Tuple ``(couplings, fields)``: a symmetric ``(n, n)`` matrix with zero
        diagonal, and an ``(n,)`` field vector.

    Raises:
        ValueError: If ``n < 2``, ``coupling_std < 0``, ``local_fields_std < 0``,
            or ``edge_density`` is outside ``[2/n, 1]``.
    """
    if n < 2:
        raise ValueError(f"n must be >= 2, got {n}")
    if coupling_std < 0 or local_fields_std < 0:
        raise ValueError(
            "coupling_std and local_fields_std must be non-negative"
        )

    # A connected graph on n nodes needs at least n-1 of the n*(n-1)/2 possible
    # edges, so edge_density has a hard lower bound of 2/n.
    min_edge_density = 2.0 / n
    if not min_edge_density <= edge_density <= 1.0:
        raise ValueError(
            f"edge_density must be in [{min_edge_density:.4g}, 1] for n={n} "
            f"(at least n-1 edges are needed to keep the graph connected), "
            f"got {edge_density}"
        )

    rng = np.random.default_rng(seed)

    j_loc, j_scale = (
        (coupling_mean / n, coupling_std / np.sqrt(n))
        if ensure_extensivity
        else (coupling_mean, coupling_std)
    )

    upper_idx = np.triu_indices(n, k=1)
    n_edges = len(upper_idx[0])

    # Select which edges are present.
    if edge_density < 1.0:
        n_keep = int(round(edge_density * n_edges))
        # Map each (i, j) node pair to its position in the flat upper-triangle list.
        pair_to_flat = {
            (int(i), int(j)): idx
            for idx, (i, j) in enumerate(
                zip(upper_idx[0], upper_idx[1], strict=False)
            )
        }

        # Random spanning tree: node perm[k] links to a random earlier node.
        perm = rng.permutation(n)
        keep = np.zeros(n_edges, dtype=bool)
        for k in range(1, n):
            child, parent = perm[k], perm[rng.integers(0, k)]
            i, j = min(child, parent), max(child, parent)
            keep[pair_to_flat[(int(i), int(j))]] = True

        # Fill the remaining budget with random non-tree edges.
        remaining = n_keep - (n - 1)
        if remaining > 0:
            keep[
                rng.choice(
                    np.flatnonzero(~keep), size=remaining, replace=False
                )
            ] = True
    else:
        keep = np.ones(n_edges, dtype=bool)

    n_present = int(keep.sum())
    if j_scale == 0.0:
        vals = np.full(n_present, j_loc)
    else:
        vals = rng.normal(loc=j_loc, scale=j_scale, size=n_present)

    couplings = np.zeros((n, n))
    couplings[upper_idx[0][keep], upper_idx[1][keep]] = vals
    couplings += couplings.T  # symmetrize; diagonal stays zero

    fields = (
        np.full(n, local_fields_mean)
        if local_fields_std == 0.0
        else rng.normal(loc=local_fields_mean, scale=local_fields_std, size=n)
    )

    return couplings, fields

Krok 2: Rozwiąż problem za pomocą Parity Twine Optimizer

Za pomocą powyższych funkcji możesz skonfigurować problem SK i znaleźć rozwiązanie, używając Twine Optimizer i wybranego backendu IBM Quantum®.

Aby uruchomić funkcję, wybierz odpowiedni backend; na przykład ibm_phoenix.

Opcjonalnie użyj parametru options, aby uzyskać dodatkową kontrolę nad przesyłaniem zadania:

options = {
    "shots": 100000,
    "postprocessing_level": 1,
    "transpile_only": False,
    "job_tags": ["sk"],
}

gdzie shots to liczba całkowita określająca liczbę wykonań obwodu, postprocessing_level określa, czy do wyniku zostanie zastosowane przetwarzanie końcowe, transpile_only określa, czy problem ma być jedynie transpilowany do obwodu (a nie rozwiązywany), a job_tags to etykieta służąca do identyfikacji zadania na IBM Quantum Platform.

Rozmiar modelu SK jest zdefiniowany przez $N$, liczbę oddziałujących spinów. Po wybraniu $N$ powyższy kod generuje problem dla n_spins.

Uruchom optymalizator:

n_spins = 50
sk_problem = generate_sk_problem(n_spins)

function_job = function.run(
    problem=sk_problem,
    variable_type="spin",
    backend_name="ibm_phoenix",
    options=options,
)
print(f"Job ID: {function_job.job_id}")

Sprawdź status zadania:

# Monitor the job status
function_job.status()

Pobierz wyniki:

result = function_job.result()

result

Wynik ma postać:

{
    'solution': {'0': 1, '1': 1, '10': 1, '11': 1, ... },
    'objective_value':  -240.5425312543882,
    'solution_bitstring': '00001101110100100111001110101001101111111011001110',
    'metadata': {
        'circuit_metrics': {
            'depth': 523,
            'gate_count': 10118,
            'two_qubit_gate_depth': 196,
            'two_qubit_gate_count': 2499,
            'num_qubits': 50,
            'operations': {'sx': 3353, 'rz': 3320, 'cz': 2499, 'delay': 894, 'measure': 50, 'x': 2},
        },
        'solver_info': {
            'variable_mapping': {'0': 0, '1': 1, '10': 2, '11': 3, ... },
            'bitstring_distributions': {
                'before_postprocessing': {'011101110010110111001110011000': 1, ... },
                'after_postprocessing': {'011011110000110101001111011000': 1, ... }
            },
            'best_parameters': {
                'beta': [-0.4602084830507902],
                'gamma': [1.8500357096574955]
            }
        },
        'resource_usage': {
            'RUNNING: MAPPING': {'CPU_TIME': 290.272},
            'RUNNING: OPTIMIZING_FOR_HARDWARE': {'CPU_TIME': 0.494},
            'RUNNING: WAITING_FOR_QPU': {'CPU_TIME': 8.775},
            'RUNNING: EXECUTING_QPU': {'QPU_TIME': 31.0},
            'RUNNING: POST_PROCESSING': {'CPU_TIME': 162.96},
        },
    }
}

gdzie słownik solution odpowiada kubitom zdefiniowanym w problemie i podaje ich zoptymalizowane wartości spinów dla hamiltonianu modelu SK. Ta konkretna sekwencja spinów w optymalnym rozwiązaniu reprezentuje konfigurację, która minimalizuje całkowitą energię układu na podstawie danych losowych sił oddziaływania. W modelu SK można to uznać za stan o najniższej energii nieuporządkowanego układu magnetycznego.

metadata podaje informacje o transpilacji (liczba/głębokość bramek dwukubitowych, użyte bramki, aktywne kubity) oraz różne czasy wykonania.

Kolejne kroki

Zalecenia

• Poproś o dostęp do funkcji, wypełniając ten formularz.
• Odwiedź dokumentację API dla tej Qiskit Function.
• Przeczytaj przewodnik.
• Wypróbuj samouczek dotyczący zastosowania Parity Twine Optimizer do problemu Market Split.
• Zapoznaj się z preprintem ArXiv Connectivity-aware Synthesis of Quantum Algorithms, Drier et al. (2025).