Nierówność CHSH

Szacowany czas użycia: dwie minuty na procesorze Heron r2 (UWAGA: Jest to jedynie szacunek. Rzeczywisty czas wykonania może się różnić.)

Tło

W tym samouczku przeprowadzisz eksperyment na komputerze kwantowym, aby zademonstrować naruszenie nierówności CHSH za pomocą prymitywu Estimator.

Nierówność CHSH, nazwana od nazwisk autorów Clauser, Horne, Shimony i Holt, służy do eksperymentalnego udowodnienia twierdzenia Bella (1969). Twierdzenie to głosi, że lokalne teorie ze zmiennymi ukrytymi nie mogą wyjaśnić niektórych konsekwencji splątania w mechanice kwantowej. Naruszenie nierówności CHSH jest używane do wykazania, że mechanika kwantowa jest niezgodna z lokalnymi teoriami ze zmiennymi ukrytymi. Jest to ważny eksperyment dla zrozumienia podstaw mechaniki kwantowej.

Nagroda Nobla z fizyki w 2022 roku została przyznana Alainowi Aspectowi, Johnowi Clauserowi i Antonowi Zeilingerowi między innymi za ich pionierską pracę w dziedzinie kwantowej nauki o informacji, a w szczególności za eksperymenty ze splątanymi fotonami demonstrujące naruszenie nierówności Bella.

Wymagania

Przed rozpoczęciem tego samouczka upewnij się, że masz zainstalowane następujące elementy:

• Qiskit SDK v1.0 lub nowszy, z obsługą wizualizacji
• Qiskit Runtime (pip install qiskit-ibm-runtime) v0.22 lub nowszy

Konfiguracja

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q matplotlib numpy qiskit qiskit-ibm-runtime

# General
import numpy as np

# Qiskit imports
from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit.circuit import Parameter
from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp
from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager

# Qiskit Runtime imports
from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService
from qiskit_ibm_runtime import EstimatorV2 as Estimator

# Plotting routines
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.ticker as tck

Krok 1: Odwzoruj klasyczne dane wejściowe na problem kwantowy

W tym eksperymencie stworzymy splątaną parę, w której mierzymy każdy qubit w dwóch różnych bazach. Oznaczmy bazy dla pierwszego qubitu jako $A$ i $a$, a bazy dla drugiego qubitu jako $B$ i $b$. Pozwala nam to obliczyć wielkość CHSH $S_1$:

$$S_1 = A(B-b) + a(B+b).$$

Każda obserwabla przyjmuje wartość $+1$ lub $-1$. Oczywiście jeden z wyrazów $B\pm b$ musi być równy $0$, a drugi $\pm 2$. Zatem $S_1 = \pm 2$. Wartość średnia $S_1$ musi spełniać nierówność:

$$|\langle S_1 \rangle|\leq 2.$$

Rozwijając $S_1$ w kategoriach $A$, $a$, $B$ i $b$, otrzymujemy:

$$|\langle S_1 \rangle| = |\langle AB \rangle - \langle Ab \rangle + \langle aB \rangle + \langle ab \rangle| \leq 2$$

Możesz zdefiniować kolejną wielkość CHSH $S_2$:

$$S_2 = A(B+b) - a(B-b),$$

Co prowadzi do kolejnej nierówności:

$$|\langle S_2 \rangle| = |\langle AB \rangle + \langle Ab \rangle - \langle aB \rangle + \langle ab \rangle| \leq 2$$

Jeśli mechanika kwantowa może być opisana przez lokalne teorie ze zmiennymi ukrytymi, poprzednie nierówności muszą być spełnione. Jednak, jak zostaje zademonstrowane w tym samouczku, nierówności te mogą być naruszone przez komputer kwantowy. Zatem mechanika kwantowa nie jest zgodna z lokalnymi teoriami ze zmiennymi ukrytymi. Jeśli chcesz poznać więcej teorii, zapoznaj się z Splątaniem w działaniu z Johnem Watrousem. Stworzysz splątaną parę między dwoma qubitami w komputerze kwantowym, tworząc stan Bella $|\Phi^+\rangle = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}$. Używając prymitywu Estimator, możesz bezpośrednio uzyskać potrzebne wartości oczekiwane ($\langle AB \rangle, \langle Ab \rangle, \langle aB \rangle$ i $\langle ab \rangle$), aby obliczyć wartości oczekiwane obu wielkości CHSH $\langle S_1\rangle$ i $\langle S_2\rangle$. Przed wprowadzeniem prymitywu Estimator musiałbyś konstruować wartości oczekiwane na podstawie wyników pomiarów.

Będziesz mierzyć drugi qubit w bazach $Z$ i $X$. Pierwszy qubit będzie mierzony również w prostopadłych bazach, ale pod kątem względem drugiego qubitu, który będziemy przesuwać między $0$ a $2\pi$. Jak zobaczysz, prymityw Estimator sprawia, że uruchamianie sparametryzowanych obwodów jest bardzo proste. Zamiast tworzyć serię obwodów CHSH, wystarczy stworzyć jeden obwód CHSH z parametrem określającym kąt pomiaru oraz serię wartości fazy dla tego parametru.

Na koniec przeanalizujesz wyniki i wykreślisz je w funkcji kąta pomiaru. Zobaczysz, że dla pewnego zakresu kątów pomiaru wartości oczekiwane wielkości CHSH spełniają $|\langle S_1\rangle| > 2$ lub $|\langle S_2\rangle| > 2$, co demonstruje naruszenie nierówności CHSH.

# To run on hardware, select the backend with the fewest number of jobs in the queue
service = QiskitRuntimeService()
backend = service.least_busy(
    operational=True, simulator=False, min_num_qubits=127
)
backend.name

'ibm_kingston'

Utwórz sparametryzowany obwód CHSH

Najpierw zapiszemy obwód z parametrem $\theta$, który nazywamy theta. Prymityw Estimator może znacznie uprościć budowanie obwodów i analizę wyników, bezpośrednio podając wartości oczekiwane obserwabli. Wiele problemów będących przedmiotem zainteresowania, zwłaszcza w zastosowaniach krótkoterminowych na zaszumionych systemach, można sformułować w kategoriach wartości oczekiwanych. Prymityw Estimator (V2) może automatycznie zmieniać bazę pomiarową na podstawie dostarczonej obserwabli.

theta = Parameter("$\\theta$")

chsh_circuit = QuantumCircuit(2)
chsh_circuit.h(0)
chsh_circuit.cx(0, 1)
chsh_circuit.ry(theta, 0)
chsh_circuit.draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

Utwórz listę wartości fazy do późniejszego przypisania

Po utworzeniu sparametryzowanego obwodu CHSH stworzysz listę wartości fazy, które zostaną przypisane do obwodu w następnym kroku. Możesz użyć poniższego kodu, aby utworzyć listę 21 wartości fazy w zakresie od $0$ do $2 \pi$ z równymi odstępami, czyli $0$, $0{,}1\pi$, $0{,}2\pi$, ..., $1{,}9\pi$, $2\pi$.

number_of_phases = 21
phases = np.linspace(0, 2 * np.pi, number_of_phases)
# Phases need to be expressed as list of lists in order to work
individual_phases = [[ph] for ph in phases]

Obserwable

Teraz potrzebujemy obserwabli, z których obliczymy wartości oczekiwane. W naszym przypadku przyglądamy się prostopadłym bazom dla każdego qubitu, pozwalając sparametryzowanemu obrotowi $Y$ dla pierwszego qubitu niemal ciągło przesuwać bazę pomiarową względem bazy drugiego qubitu. Wybierzemy zatem obserwable $ZZ$, $ZX$, $XZ$ i $XX$.

# <CHSH1> = <AB> - <Ab> + <aB> + <ab> -> <ZZ> - <ZX> + <XZ> + <XX>
observable1 = SparsePauliOp.from_list(
    [("ZZ", 1), ("ZX", -1), ("XZ", 1), ("XX", 1)]
)

# <CHSH2> = <AB> + <Ab> - <aB> + <ab> -> <ZZ> + <ZX> - <XZ> + <XX>
observable2 = SparsePauliOp.from_list(
    [("ZZ", 1), ("ZX", 1), ("XZ", -1), ("XX", 1)]
)

Krok 2: Zoptymalizuj problem pod kątem wykonania na sprzęcie kwantowym

Aby skrócić łączny czas wykonania zadań, prymitywy V2 przyjmują wyłącznie obwody i obserwable zgodne z instrukcjami i połączeniami obsługiwanymi przez docelowy system (określane jako obwody i obserwable zgodne z architekturą zestawu instrukcji, ISA).

Obwód ISA

target = backend.target
pm = generate_preset_pass_manager(target=target, optimization_level=3)

chsh_isa_circuit = pm.run(chsh_circuit)
chsh_isa_circuit.draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

Obserwable ISA

Podobnie musimy przekształcić obserwable, aby były zgodne z Backend przed uruchomieniem zadań za pomocą Runtime Estimator V2. Transformację możemy wykonać przy użyciu metody apply_layout obiektu SparsePauliOp.

isa_observable1 = observable1.apply_layout(layout=chsh_isa_circuit.layout)
isa_observable2 = observable2.apply_layout(layout=chsh_isa_circuit.layout)

Krok 3: Wykonaj przy użyciu prymitywów Qiskit

Aby wykonać cały eksperyment w jednym wywołaniu Estimator. Możemy stworzyć prymityw Qiskit Runtime Estimator do obliczenia naszych wartości oczekiwanych. Metoda EstimatorV2.run() przyjmuje iterowalny zbiór zunifikowanych bloków prymitywnych (PUBs). Każdy PUB to iterowalny obiekt w formacie (circuit, observables, parameter_values: Optional, precision: Optional).

# To run on a local simulator:
# Use the StatevectorEstimator from qiskit.primitives instead.

estimator = Estimator(mode=backend)

pub = (
    chsh_isa_circuit,  # ISA circuit
    [[isa_observable1], [isa_observable2]],  # ISA Observables
    individual_phases,  # Parameter values
)

job_result = estimator.run(pubs=[pub]).result()

Krok 4: Post-przetwarzanie i zwrócenie wyniku w żądanym formacie klasycznym

Estimator zwraca wartości oczekiwane dla obu obserwabli: $\langle ZZ \rangle - \langle ZX \rangle + \langle XZ \rangle + \langle XX \rangle$ oraz $\langle ZZ \rangle + \langle ZX \rangle - \langle XZ \rangle + \langle XX \rangle$.

chsh1_est = job_result[0].data.evs[0]
chsh2_est = job_result[0].data.evs[1]

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))

# results from hardware
ax.plot(phases / np.pi, chsh1_est, "o-", label="CHSH1", zorder=3)
ax.plot(phases / np.pi, chsh2_est, "o-", label="CHSH2", zorder=3)

# classical bound +-2
ax.axhline(y=2, color="0.9", linestyle="--")
ax.axhline(y=-2, color="0.9", linestyle="--")

# quantum bound, +-2√2
ax.axhline(y=np.sqrt(2) * 2, color="0.9", linestyle="-.")
ax.axhline(y=-np.sqrt(2) * 2, color="0.9", linestyle="-.")
ax.fill_between(phases / np.pi, 2, 2 * np.sqrt(2), color="0.6", alpha=0.7)
ax.fill_between(phases / np.pi, -2, -2 * np.sqrt(2), color="0.6", alpha=0.7)

# set x tick labels to the unit of pi
ax.xaxis.set_major_formatter(tck.FormatStrFormatter("%g $\\pi$"))
ax.xaxis.set_major_locator(tck.MultipleLocator(base=0.5))

# set labels, and legend
plt.xlabel("Theta")
plt.ylabel("CHSH witness")
plt.legend()
plt.show()

Na wykresie linie i szare obszary wyznaczają granice; najbardziej zewnętrzne linie (kreskowano-kropkowane) wyznaczają granice kwantowe ($\pm 2$), natomiast wewnętrzne linie (kreskowane) wyznaczają granice klasyczne ($\pm 2\sqrt{2}$). Możesz zobaczyć, że istnieją obszary, w których wielkości świadka CHSH przekraczają granice klasyczne. Gratulacje! Pomyślnie zademonstrowano naruszenie nierówności CHSH w rzeczywistym systemie kwantowym!

Ankieta dotycząca samouczka

Wypełnij tę krótką ankietę, aby podzielić się opinią na temat tego samouczka. Twoje uwagi pomogą nam ulepszyć nasze treści i doświadczenie użytkownika.

Link do ankiety

Note: This survey is provided by IBM Quantum and relates to the original English content. To give feedback on doQumentation's website, translations, or code execution, please open a GitHub issue.