Kwantowa przybliżona optymalizacja wielokryterialna

Szacowane zużycie: 10 minut na procesorze Heron r2 (UWAGA: To tylko szacunek. Twój czas działania może się różnić.)

Efekty uczenia się

Ten tutorial rozwiązuje problem optymalizacji portfela z ograniczoną kardynalnością: przy ograniczeniu polegającym na posiadaniu dokładnie $K$ aktywów należy zrównoważyć cele dotyczące ryzyka, zwrotu i dywersyfikacji, aby znaleźć zbiór optymalnych portfeli.

Po ukończeniu tego tutorialu powinieneś/powinnaś rozumieć:

• Jak wyrazić problem wyboru portfela z trzema konkurującymi celami — niskim ryzykiem, wysokim zwrotem i dobrą dywersyfikacją — jako kwantowy problem optymalizacyjny.

• Jak pojedynczy obwód QAOA, przemiatany po zbiorze wag celów, wyznacza front Pareto optymalnych portfeli kompromisowych.

• Jak mikser XY utrzymuje poszukiwanie wewnątrz podprzestrzeni „wybierz dokładnie K aktywów”, dzięki czemu nie jest potrzebny człon kary, a dopuszczalność jest wymuszana przez postselekcję zmierzonych ciągów bitów.

• Jak trenować kąty obwodu za pomocą symulatora stanów iloczynu macierzowego (MPS) w skali zbyt dużej, aby optymalizować dokładnie, zgodnie z pracą Kotil i in. (arXiv:2503.22797).

Wymagania wstępne

Zalecamy, abyś znał/znała:

• Przepływ pracy wzorców Qiskit (mapowanie, optymalizacja, wykonanie, przetwarzanie końcowe).

• Podstawy QAOA.

Tło

Zarządzający portfelem rzadko optymalizuje pojedynczą liczbę. Chce, aby zwroty były wysokie, ryzyko (wariancja tych zwrotów) niskie, a aktywa rozłożone na różne sektory, tak aby portfel nie był nadmiernie narażony na żadną część rynku. Cele te są ze sobą sprzeczne: aktywa o najwyższym zwrocie są często najbardziej zmienne, a koncentracja w jednym gorącym sektorze szkodzi dywersyfikacji.

Nie istnieje jeden „najlepszy” portfel. Zamiast tego istnieje front Pareto: zbiór portfeli, dla których nie można poprawić jednego celu bez poświęcenia innego. Naszym celem jest wyznaczenie tego frontu, aby osoba podejmująca decyzję mogła wybrać preferowany kompromis.

Stawiamy problem jako wybór dokładnie $K$ aktywów spośród $N$ (każde aktywo jest albo włączone, albo nie — jeden kubit na aktywo). Trzy hamiltoniany kodują trzy cele. Łączymy je z wagami $c$ leżącymi na simpleksie (sumują się do jedności), a sampler QAOA zwraca dobre portfele dla każdego wyboru wag. Przemiatanie wag przemiata względną ważność ryzyka, zwrotu i dywersyfikacji, a suma wszystkich próbkowanych portfeli wyznacza front Pareto.

Najpierw przechodzimy przez cały przepływ pracy na małym przykładzie ośmiu aktywów, który możemy zweryfikować metodą siłową, a następnie uruchamiamy identyczną metodę na instancji 40 aktywów dobranej do sprzętu kwantowego.

Ten tutorial uczy przepływu pracy (mapowania, trenowania kątów, próbkowania z ograniczeniami i przetwarzania końcowego Pareto), a nie demonstruje przewagi kwantowej. W skali 40 aktywów użytej tutaj jednostajne losowe próbkowanie działa mniej więcej tak samo dobrze jak sampler QAOA i pokazujemy to porównanie wprost.

Wymagania

Przed rozpoczęciem tego tutorialu upewnij się, że masz zainstalowane:

• Qiskit SDK w wersji 2.0 lub nowszej, z obsługą wizualizacji

• Qiskit Runtime w wersji 0.22 lub nowszej (pip install qiskit-ibm-runtime)

• Qiskit Aer (pip install qiskit-aer)

• Dodatek Qiskit Optimization mapper (pip install qiskit-addon-opt-mapper) oraz potok trenowania QAOA, przypięty do tagu v0.1.0: pip install "git+https://github.com/qiskit-community/qaoa_training_pipeline.git@v0.1.0"

• moocore do obliczeń frontu Pareto i hiperobjętości (pip install moocore)

Konfiguracja

Zaimportuj biblioteki używane w całym tutorialu i ustaw ziarno losowości dla powtarzalności.

# Added by doQumentation — installs the packages this notebook needs if they are missing
import importlib.util

_needed = {"matplotlib": "matplotlib", "moocore": "moocore", "numpy": "numpy", "qaoa_training_pipeline": "qaoa-training-pipeline", "qiskit": "qiskit", "qiskit_addon_opt_mapper": "qiskit-addon-opt-mapper", "qiskit_aer": "qiskit-aer", "qiskit_ibm_runtime": "qiskit-ibm-runtime", "scipy": "scipy"}
_missing = [pip for module, pip in _needed.items()
            if importlib.util.find_spec(module) is None]
# One at a time, so a package that fails to install does not block the others
for _pip in _missing:
    %pip install -q {_pip}
if not _missing:
    print("\u2713 All required packages are installed")

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import comb
from moocore import hypervolume, filter_dominated, is_nondominated

from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit.circuit import ParameterVector
from qiskit.circuit.library import qaoa_ansatz
from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp
from qiskit.transpiler import generate_preset_pass_manager
from qiskit_aer.primitives import SamplerV2 as AerSampler
from qiskit_addon_opt_mapper.problems import OptimizationProblem
from qaoa_training_pipeline.training import ScipyTrainer
from qaoa_training_pipeline.evaluation import (
    StatevectorEvaluator,
    MPSAerEvaluator,
)

np.random.seed(42)
sampler = AerSampler(seed=42)  # local simulator for the small-scale example
print("Setup complete.")

Setup complete.

Przykład na symulatorze w małej skali

Zaczynamy od ośmiu aktywów z sześciu sektorów i wybieramy dokładnie $K=4$ z nich. Przy zaledwie ośmiu aktywach istnieje tylko $\binom{8}{4}=70$ prawidłowych portfeli, więc możemy później sprawdzić wynik kwantowy za pomocą przeszukiwania wyczerpującego.

Krok 1: Odwzorowanie danych klasycznych na problem kwantowy

Każde aktywo to jeden kubit; ciąg bitów taki jak 10110010 to portfel (jedynki oznaczają aktywa, które posiadamy). Potrzebujemy trzech składników: danych rynkowych, trzech hamiltonianów celów oraz obwodu, który proponuje wyłącznie portfele z dokładnie $K$ aktywami.

# --- Small-scale universe: 8 assets across 6 sectors ---
tickers = ["AAPL", "XOM", "JPM", "JNJ", "KO", "AMT", "AMZN", "SLB"]
sectors = [
    "Tech",
    "Energy",
    "Finance",
    "Health",
    "Staples",
    "REIT",
    "Tech",
    "Energy",
]
n_assets = len(tickers)
K = 4  # choose exactly K assets
n_obj = 3  # risk, return, diversification

# Annualized expected returns
mu = np.array([0.28, 0.12, 0.22, 0.05, 0.08, 0.10, 0.32, 0.15])

# Annualized covariance matrix (the "risk" model)
sigma = np.array(
    [
        [0.070, 0.010, 0.020, 0.008, 0.005, 0.012, 0.045, 0.011],
        [0.010, 0.065, 0.015, 0.006, 0.004, 0.008, 0.009, 0.050],
        [0.020, 0.015, 0.055, 0.010, 0.007, 0.015, 0.018, 0.014],
        [0.008, 0.006, 0.010, 0.030, 0.012, 0.009, 0.007, 0.005],
        [0.005, 0.004, 0.007, 0.012, 0.025, 0.006, 0.004, 0.003],
        [0.012, 0.008, 0.015, 0.009, 0.006, 0.045, 0.011, 0.007],
        [0.045, 0.009, 0.018, 0.007, 0.004, 0.011, 0.085, 0.010],
        [0.011, 0.050, 0.014, 0.005, 0.003, 0.007, 0.010, 0.072],
    ]
)

# Diversification score: number of cross-sector pairs in the portfolio.
# D[i,j] = 0.5 when assets i and j are in different sectors, so x^T D x counts
# the cross-sector pairs. More cross-sector pairs = better diversified.
D = np.array(
    [
        [1.0 if sectors[i] != sectors[j] else 0.0 for j in range(n_assets)]
        for i in range(n_assets)
    ]
)
np.fill_diagonal(D, 0.0)
D = D / 2

print(f"{n_assets} assets, choose K={K}, {n_obj} objectives")
for t, s, m in zip(tickers, sectors, mu):
    print(f"  {t:5s} ({s:8s})  expected return {m:5.0%}")

8 assets, choose K=4, 3 objectives
  AAPL  (Tech    )  expected return   28%
  XOM   (Energy  )  expected return   12%
  JPM   (Finance )  expected return   22%
  JNJ   (Health  )  expected return    5%
  KO    (Staples )  expected return    8%
  AMT   (REIT    )  expected return   10%
  AMZN  (Tech    )  expected return   32%
  SLB   (Energy  )  expected return   15%

# Each objective becomes a Hamiltonian whose lowest-energy bitstrings are the
# best portfolios for that objective. The opt-mapper turns a plain
# min/max problem over binary variables into the equivalent Ising operator.
def build_risk_hamiltonian(sigma, n):
    """Minimize portfolio variance x^T sigma x  (quadratic -> ZZ terms)."""
    prob = OptimizationProblem("risk")
    prob.binary_var_list(n)
    prob.minimize(quadratic=sigma)
    op, _ = prob.to_ising()
    return op.simplify()

def build_return_hamiltonian(mu, n):
    """Maximize expected return mu . x  (linear -> Z terms)."""
    prob = OptimizationProblem("return")
    prob.binary_var_list(n)
    prob.maximize(linear=mu)
    op, _ = prob.to_ising()
    return op.simplify()

def build_diversity_hamiltonian(D, n):
    """Maximize cross-sector pairs x^T D x  (quadratic -> ZZ terms)."""
    prob = OptimizationProblem("diversity")
    prob.binary_var_list(n)
    prob.maximize(quadratic=D)
    op, _ = prob.to_ising()
    return op.simplify()

H_risk = build_risk_hamiltonian(sigma, n_assets)
H_return = build_return_hamiltonian(mu, n_assets)
H_diversity = build_diversity_hamiltonian(D, n_assets)
cost_ops = [H_risk, H_return, H_diversity]

for name, op in zip(["risk", "return", "diversity"], cost_ops):
    print(f"H_{name:10s}: {op.size} Pauli terms")

H_risk      : 36 Pauli terms
H_return    : 8 Pauli terms
H_diversity : 34 Pauli terms

Wymuszanie „dokładnie K aktywów” bez kary. Częstą sztuczką jest dodanie członu kary, który karze portfele o niewłaściwym rozmiarze, ale sprzęga to każdy kubit z każdym innym, co prowadzi do znacznie głębszych obwodów po transpilacji. Zamiast tego używamy miksera XY, który przenosi stan QAOA zawsze tylko między ciągami bitów o tej samej wadze Hamminga. Jeśli zaczniemy w stanie, w którym wybrano już $K$ aktywów, każdy portfel badany przez obwód ma również dokładnie $K$ aktywów. Ograniczenie jest wbudowane w strukturę obwodu, a nie wymuszane członem kary.

Stan początkowy przygotowujemy tanio: obracamy każdy kubit tak, aby był „włączony” z prawdopodobieństwem $K/N$. Po ograniczeniu do wyników z $K$ aktywami odtwarza to idealny stan o równych wagach (stan Dickego), więc po prostu zachowujemy zmierzone ciągi bitów, które mają dokładnie $K$ jedynek — krok zwany postselekcją.

def xy_mixer(n):
    """Line XY mixer: couples neighboring qubits with XX+YY. Conserves the number
    of selected assets (Hamming weight), so cardinality is preserved automatically.
    Using a line (not a full ring) keeps the circuit shallow and hardware-friendly."""
    terms = [
        (pauli, [i, i + 1], 1) for i in range(n - 1) for pauli in ("XX", "YY")
    ]
    return SparsePauliOp.from_sparse_list(terms, n)

def product_init(n, k):
    """Cheap initial state: each qubit rotated so P(selected) = k/n. Zero two-qubit
    gates. Post-selecting its weight-k outcomes reproduces the ideal Dicke state."""
    qc = QuantumCircuit(n)
    theta = 2 * np.arcsin(np.sqrt(k / n))
    for q in range(n):
        qc.ry(theta, q)
    return qc

# Combine the three objectives with weights c (bound later, at sampling time).
p_layers = 1
c = ParameterVector("c", n_obj)
# Negate the objective so the sampling phase separator matches the sign the angles
# were trained under (the trainer maximizes the negated sum); binding below keeps +gamma.
combined_cost_op = sum(
    -c[k] * H_k for k, H_k in enumerate(cost_ops)
).simplify()

ansatz = qaoa_ansatz(
    combined_cost_op,
    reps=p_layers,
    initial_state=product_init(n_assets, K),
    mixer_operator=xy_mixer(n_assets),
)
ansatz.measure_all()

betas = [p for p in ansatz.parameters if p.name.startswith("β")]
gammas = [p for p in ansatz.parameters if p.name.startswith("γ")]
print(f"Qubits: {ansatz.num_qubits} | QAOA layers: {p_layers}")
print(
    f"Tunable angles: {len(betas)} beta + {len(gammas)} gamma, plus {n_obj} objective weights"
)

Qubits: 8 | QAOA layers: 1
Tunable angles: 1 beta + 1 gamma, plus 3 objective weights

Krok 2: Optymalizacja problemu pod wykonanie na sprzęcie kwantowym

Przed uruchomieniem abstrakcyjny obwód jest transpilowany do bramek natywnych dla sprzętu. W tej małej skali sprawdzamy tylko koszt: jak głęboki jest obwód i ile bramek dwukubitowych używa? (Bramki dwukubitowe są głównym źródłem szumu w prawdziwych urządzeniach.)

# Bind dummy angle values so we can transpile and measure the circuit's size.
dummy = {p: 0.1 for p in ansatz.parameters}
test_pm = generate_preset_pass_manager(optimization_level=1)
test_qc = test_pm.run(ansatz.assign_parameters(dummy))

print(f"Circuit depth          : {test_qc.depth()}")
print(
    f"Two-qubit gate depth   : {test_qc.depth(lambda x: len(x.qubits) > 1)}"
)
print(f"Two-qubit gate count   : {test_qc.num_nonlocal_gates()}")

Circuit depth          : 25
Two-qubit gate depth   : 23
Two-qubit gate count   : 42

Krok 3: Wykonanie za pomocą prymitywów Qiskit

Dwa etapy. Najpierw trenujemy kąty QAOA jednokrotnie, z równymi wagami celów, za pomocą dokładnego symulatora wektora stanu, aby znaleźć dobre wartości $\beta,\gamma$. Następnie przemiatamy wiele wektorów wag po simpleksie i próbkujemy obwód dla każdego z nich, zbierając kandydackie portfele. Ponieważ między przemiataniami zmieniają się tylko wagi celów (a nie wytrenowane kąty), wszystkie wektory wag są przesyłane w jednym zadaniu wsadowym.

# Train the angles with equal objective weights.
# The trainer maximizes energy, so we negate the (to-be-minimized) objective sum.
training_op = sum(-1.0 / n_obj * H_k for H_k in cost_ops).simplify()

# Linear-ramp initialization (Sack and Serbyn, arXiv:2101.05742)
dt = 0.75
grid = np.arange(1, p_layers + 1) - 0.5
init_params = np.concatenate((1 - grid * dt / p_layers, grid * dt / p_layers))

trainer = ScipyTrainer(
    StatevectorEvaluator(), minimize_args={"options": {"maxiter": 300}}
)
print("Training QAOA angles (exact statevector)...")
result_train = trainer.train(
    cost_op=training_op,
    mixer=xy_mixer(n_assets),
    initial_state=product_init(n_assets, K),
    params0=init_params,
)
opt = result_train["optimized_params"]
opt_betas, opt_gammas = opt[:p_layers], opt[p_layers:]
print(f"Trained beta : {opt_betas}")
print(f"Trained gamma: {opt_gammas}")

Training QAOA angles (exact statevector)...
Trained beta : [3.329186967386619]
Trained gamma: [3.4449804324291033]

def random_uniform_simplex(n_samples, n_obj=3):
    """n_samples weight vectors spread uniformly over the (n_obj-1)-simplex."""
    s = np.zeros((n_samples, n_obj + 1))
    s[:, 1:-1] = np.random.rand(n_samples, n_obj - 1)
    s[:, -1] = 1
    s = np.sort(s, axis=1)
    return np.diff(s, axis=1)

# Bind the trained angles, leaving the objective weights c free for the sweep.
param_map = {betas[i]: opt_betas[i] for i in range(p_layers)}
param_map.update({gammas[i]: opt_gammas[i] for i in range(p_layers)})
ansatz_bound = ansatz.assign_parameters(param_map)

n_samples, shots = 200, 500
c_vecs = random_uniform_simplex(n_samples, n_obj)

print(f"Sampling {n_samples} weight vectors x {shots} shots...")
result = sampler.run([(ansatz_bound, c_vecs)], shots=shots).result()

# Collect every distinct bitstring seen across all weight vectors.
all_bitstrings = set()
for s in range(n_samples):
    for bs in result[0].data.meas.get_counts(s):
        # get_counts is little-endian; reverse so bit i = asset i
        all_bitstrings.add(bs.replace(" ", "")[::-1])
print(f"Distinct portfolios sampled: {len(all_bitstrings)}")

Sampling 200 weight vectors x 500 shots...
Distinct portfolios sampled: 256

Krok 4: Przetwarzanie końcowe i zwrócenie wyniku w żądanym formacie klasycznym

Zachowujemy tylko dopuszczalne portfele (dokładnie $K$ aktywów z kroku postselekcji), oceniamy każdy z nich według wszystkich trzech celów i wyodrębniamy front Pareto: portfele, które nie są jednocześnie pokonane pod względem każdego celu. Hiperobjętość to pojedyncza liczba podsumowująca, jak dużą część przestrzeni celów dominuje front, i im większa, tym lepiej.

Przy 100 000 strzałów na zaledwie 256 ciągów bitów to uruchomienie widzi każdy z 70 prawidłowych portfeli, więc w tym rozmiarze jest to w praktyce sprawdzenie metodą siłową, że potok jest poprawnie połączony, a nie dowód, że QAOA znalazł front.

def evaluate_portfolio(bitstring, sigma, mu, D):
    """Score one portfolio on all three objectives (all framed as 'bigger is better')."""
    x = np.array([int(b) for b in bitstring])
    # negative risk, return, diversification (cross-sector pairs)
    return np.array([-(x @ sigma @ x), x @ mu, x @ D @ x])

# Post-select feasible portfolios, then score them.
feasible = [bs for bs in all_bitstrings if bs.count("1") == K]
fis = np.array([evaluate_portfolio(bs, sigma, mu, D) for bs in feasible])

pareto_front = filter_dominated(fis, maximise=True)
ref_point = fis.min(axis=0)
qmoo_hv = hypervolume(fis, ref=ref_point, maximise=True)

print(
    f"Feasible portfolios found : {len(feasible)} of {comb(n_assets, K)} possible"
)
print(f"Pareto-front portfolios   : {len(pareto_front)}")
print(f"Hypervolume               : {qmoo_hv:.4f}")

Feasible portfolios found : 70 of 70 possible
Pareto-front portfolios   : 26
Hypervolume               : 0.2487

fig = plt.figure(figsize=(8, 6))
ax = fig.add_subplot(111, projection="3d")
ax.scatter(
    fis[:, 0],
    fis[:, 1],
    fis[:, 2],
    c="lightgray",
    s=12,
    label="All feasible portfolios",
)
ax.scatter(
    pareto_front[:, 0],
    pareto_front[:, 1],
    pareto_front[:, 2],
    c="steelblue",
    s=45,
    label="Pareto front",
)
ax.set_xlabel("Negative risk")
ax.set_ylabel("Return")
ax.set_zlabel("Diversification")
ax.set_title("Risk / return / diversification Pareto front (8 assets)")
ax.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

Przykład na sprzęcie w dużej skali

Teraz ten sam przepływ pracy na 40 aktywach (8 sektorów × 5), przy wyborze $K=6$. Czterdzieści kubitów to zbyt dużo, aby symulować je dokładnie (wektor stanu o $2^{40}$ amplitudach), więc kątów nie można optymalizować tak jak przy ośmiu aktywach, a gęsty obwód byłby zbyt głęboki dla obecnego sprzętu. $\binom{40}{6} \approx 3.8$M prawidłowych portfeli jest wciąż na tyle mało, że można je wyliczyć klasycznie, co wykorzystujemy na końcu jako dokładny punkt odniesienia. Zmienia się kilka rzeczy, a nic więcej w metodzie się nie zmienia:

1. Trenuj kąty za pomocą symulatora stanów iloczynu macierzowego (MPS), a nie dokładnego wektora stanu. Zgodnie z pracą referencyjną (Kotil i in.) ustalamy wagi celów na równe wartości, optymalizujemy pojedyncze β, γ na symulatorze MPS i używamy ich ponownie dla każdego wektora wag w przemiataniu. (Trenujemy w rozmiarze, w którym uruchamiamy — bez transferu kątów z małej skali do dużej.)

2. Rozrzedź model ryzyka, aby dopasować go do sprzętu. Pełna kowariancja sprzęga wszystkie 780 par aktywów. Zachowujemy tylko najsilniejsze, najtańsze w routingu sprzężenia, stosując przycinanie QAP uwzględniające ważność, a dla członu dywersyfikacji sprzęgamy każdy sektor w lekki pierścień. Dzięki temu cele pozostają sensowne, a obwód mieści się w rozmiarze przyjaznym dla sprzętu.

3. Utrzymaj obwód płytki i oceniaj uczciwie. Routing jest stochastyczny, więc transpilujemy z kilkoma ziarnami i zachowujemy najpłytszy (i nie zużywamy czasu kwantowego). Portfele są zawsze oceniane względem prawdziwych, pełnych celów. Rozrzedzenie kształtuje tylko obwód, a nie sposób oceny portfeli.

Dlaczego przycinanie QAP?

Zachowywanie największych sprzężeń każdego aktywa wyłącznie według wartości bezwzględnej może dać obwód, który jest rzadki, ale nadal trudny w routingu. Przycinanie QAP zachowuje natomiast sprzężenia, które są zarówno duże, jak i fizycznie bliskie na chipie, więc ten sam budżet bramek daje płytszy obwód, bardziej przyjazny dla sprzętu.

Krok 1: Odwzorowanie danych wejściowych (rozrzedzonych pod sprzęt)

import csv
import urllib.request

# Download the committed market-data snapshot from the repo.
# --- 40-asset universe: 8 GICS sectors x 5 tickers (real market data) ---
# Load the committed market-data snapshot (real annualized returns and covariance).
# Values are stored at the precision used to train the shipped QAOA angles
# (mu: 3 dp, sigma: 4 dp), so the pre-trained parameters in instances/ stay exactly valid.

url = "https://raw.githubusercontent.com/Qiskit/documentation/main/datasets/tutorials/qmoo/market_data.csv"
urllib.request.urlretrieve(url, "market_data.csv")

with open("market_data.csv", newline="") as _f:
    _rows = list(csv.reader(_f))

# Covariance column order
_tickers_csv = _rows[0][2:]
# Asset tickers
tickers_40 = [r[0] for r in _rows[1:]]
# Annualized expected returns
mu_40 = np.array([float(r[1]) for r in _rows[1:]])
# Covariance (risk model)
sigma_40 = np.array([[float(v) for v in r[2:]] for r in _rows[1:]])

sectors_40 = [
    "Tech",
    "Tech",
    "Tech",
    "Tech",
    "Tech",
    "Energy",
    "Energy",
    "Energy",
    "Energy",
    "Energy",
    "Finance",
    "Finance",
    "Finance",
    "Finance",
    "Finance",
    "Health",
    "Health",
    "Health",
    "Health",
    "Health",
    "Staples",
    "Staples",
    "Staples",
    "Staples",
    "Staples",
    "Industrials",
    "Industrials",
    "Industrials",
    "Industrials",
    "Industrials",
    "Utilities",
    "Utilities",
    "Utilities",
    "Utilities",
    "Utilities",
    "REIT",
    "REIT",
    "REIT",
    "REIT",
    "REIT",
]
n_assets_40 = len(tickers_40)
K_40 = 6  # choose exactly K assets

sector_names_40 = list(dict.fromkeys(sectors_40))
sect_idx_40 = np.array([sector_names_40.index(s) for s in sectors_40])
# True cross-sector diversification matrix (used for scoring)
D_40 = np.array(
    [
        [
            0.5 if sectors_40[i] != sectors_40[j] else 0.0
            for j in range(n_assets_40)
        ]
        for i in range(n_assets_40)
    ]
)
np.fill_diagonal(D_40, 0.0)
print(
    f"{n_assets_40} assets, {len(sector_names_40)} sectors, choose K={K_40}"
)

40 assets, 8 sectors, choose K=6

# Sparsify the covariance so the risk circuit fits on hardware. A small diagonal
# shift (added after truncation) keeps the risk model positive semidefinite; at fixed
# K it adds the same constant to every portfolio, so it never changes the ranking.
# Importance-aware QAP truncation (Kotil et al. style): place the qubits on a line
# and use a Quadratic Assignment Problem to choose the layout that keeps the
# strongest covariance couplings within routing distance k of the swap network,
# then drop the rest. Unlike a fixed top-k cap, it keeps couplings that are both
# large AND cheap to route.
from scipy.optimize import quadratic_assignment as qap
from qiskit.transpiler.passes.routing.commuting_2q_gate_routing import (
    SwapStrategy,
)

# Truncation level: larger k keeps more couplings (deeper circuit)
k_truncate = 2
_dist = np.array(
    SwapStrategy.from_line(list(range(n_assets_40))).distance_matrix
)

def qap_truncate(Q, k):
    w = np.abs(Q.copy())
    np.fill_diagonal(w, 0.0)
    mask = (_dist <= k).astype(float)
    # Seed the QAP solver explicitly (by default it draws from NumPy's global
    # RNG, which SciPy is deprecating) so the truncation is reproducible.
    perm = qap(-w, mask, options={"rng": np.random.default_rng(42)}).col_ind
    keep = mask[np.ix_(perm, perm)]
    Qt = Q * keep
    np.fill_diagonal(Qt, np.diag(Q))
    return Qt

sigma_sparse = qap_truncate(sigma_40, k_truncate)
print(
    f"QAP truncation (k={k_truncate}): risk edges kept = "
    f"{(np.count_nonzero(sigma_sparse) - n_assets_40) // 2}"
)
ridge = max(0.0, -np.linalg.eigvalsh(sigma_sparse)[0]) + 1e-6
sigma_sparse = sigma_sparse + ridge * np.eye(n_assets_40)

# Diversity: couple each sector's assets in a ring (sparse stand-in for the
# same-sector pair count). Scoring still uses the true cross-sector matrix D_40.
def build_same_sector_hamiltonian(D_same, n):
    prob = OptimizationProblem("diversity_sparse")
    prob.binary_var_list(n)
    prob.minimize(quadratic=D_same)
    op, _ = prob.to_ising()
    return op.simplify()

D_ring = np.zeros((n_assets_40, n_assets_40))
for s in set(sect_idx_40):
    members = np.where(sect_idx_40 == s)[0]
    for k in range(len(members)):
        i, j = members[k], members[(k + 1) % len(members)]
        D_ring[i, j] = D_ring[j, i] = 0.5

H_risk_40 = build_risk_hamiltonian(sigma_sparse, n_assets_40)
H_return_40 = build_return_hamiltonian(mu_40, n_assets_40)
H_diversity_40 = build_same_sector_hamiltonian(D_ring, n_assets_40)
cost_ops_40 = [H_risk_40, H_return_40, H_diversity_40]
n_zz = sum(
    1 for p in sum(cost_ops_40).simplify().paulis if str(p).count("Z") == 2
)
print(
    f"Cost-layer interactions: {n_zz} (dense would be {n_assets_40*(n_assets_40-1)//2})"
)

QAP truncation (k=2): risk edges kept = 78
Cost-layer interactions: 102 (dense would be 780)

Kroki 2-3: trenowanie kątów, a następnie zbudowanie i przesłanie zadania na sprzęt

Czterdzieści kubitów to zbyt dużo, aby optymalizować kąty dokładnie, więc trenujemy jedno $\beta, \gamma$ na symulatorze stanów iloczynu macierzowego przy równych wagach celów i używamy ich ponownie w całym przemiataniu. Poniższa komórka wczytuje wstępnie wytrenowane wartości z pliku. Wytrenowany kąt warstwy kosztu jest mały ($\gamma \approx 0.32$), więc obwód stosuje łagodne obciążenie, a nie ostrą projekcję.

import json
from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService, SamplerV2

# Pre-trained angles loaded from a file (training is slow; QDC pattern).
# Set load_params_file = False to retrain in-notebook.
load_params_file = True
params_url = "https://raw.githubusercontent.com/Qiskit/documentation/main/datasets/tutorials/qmoo/qaoa_params.json"
params_path = "qaoa_params.json"
if load_params_file:
    urllib.request.urlretrieve(params_url, params_path)
    qaoa_params = json.load(open(params_path))
    p_layers_hw = qaoa_params["p_layers"]
    opt_betas_40, opt_gammas_40 = qaoa_params["betas"], qaoa_params["gammas"]
else:
    # Same workflow as the small-scale example: qaoa_training_pipeline's MPSAerEvaluator
    # evaluates the QAOA energy on Aer's MPS simulator and supports the XY mixer.
    # As in the small-scale example the trainer maximizes energy, so we negate the
    # (to-be-minimized) objective sum; the 1/n_obj scaling matches the equal-weight
    # point of the sweep, so the trained gamma transfers directly to the weighted circuits.
    p_layers_hw = 1
    training_op_40 = sum(-1.0 / n_obj * H_k for H_k in cost_ops_40).simplify()

    dt = 0.75
    grid = np.arange(1, p_layers_hw + 1) - 0.5
    init_params_40 = np.concatenate(
        (1 - grid * dt / p_layers_hw, grid * dt / p_layers_hw)
    )

    trainer_40 = ScipyTrainer(
        MPSAerEvaluator({"matrix_product_state_max_bond_dimension": 24}),
        minimize_args={"options": {"maxiter": 80}},
    )
    print("Training QAOA angles (MPS simulator)...")
    result_train_40 = trainer_40.train(
        cost_op=training_op_40,
        mixer=xy_mixer(n_assets_40),
        initial_state=product_init(n_assets_40, K_40),
        params0=init_params_40,
    )
    opt_40 = result_train_40["optimized_params"]
    opt_betas_40, opt_gammas_40 = (
        list(opt_40[:p_layers_hw]),
        list(opt_40[p_layers_hw:]),
    )
    import os

    os.makedirs(os.path.dirname(params_path) or ".", exist_ok=True)
    json.dump(
        {
            "p_layers": p_layers_hw,
            "betas": opt_betas_40,
            "gammas": opt_gammas_40,
        },
        open(params_path, "w"),
        indent=2,
    )
    print(
        f"Trained angles saved to {params_path} (set load_params_file=True to reuse)."
    )

c40 = ParameterVector("c", n_obj)
# Negated to match the trained angles' sign, as in the small-scale cell; binding keeps +gamma.
combined_cost_op_40 = sum(
    -c40[k] * H_k for k, H_k in enumerate(cost_ops_40)
).simplify()
qc_40 = qaoa_ansatz(
    combined_cost_op_40,
    reps=p_layers_hw,
    initial_state=product_init(n_assets_40, K_40),
    mixer_operator=xy_mixer(n_assets_40),
)
qc_40.measure_all()
b40 = [p for p in qc_40.parameters if p.name.startswith("β")]
g40 = [p for p in qc_40.parameters if p.name.startswith("γ")]
pmap = {b40[i]: opt_betas_40[i] for i in range(p_layers_hw)}
pmap.update({g40[i]: opt_gammas_40[i] for i in range(p_layers_hw)})
ansatz_qc_40 = qc_40.assign_parameters(pmap)

service = QiskitRuntimeService()

# only use Heron devices
backend = service.least_busy(min_num_qubits=156)

# SABRE routing is stochastic: different seeds give different depths. Transpilation
# is classical (it costs no QPU time), so we transpile many seeds and keep only the
# shallowest circuit -- a free reduction in two-qubit depth before anything is sent
# to hardware. Only this single best circuit is ever executed.
n_seeds = 24
best = None
depths = []
for seed in range(n_seeds):
    pm = generate_preset_pass_manager(
        optimization_level=3, backend=backend, seed_transpiler=seed
    )
    qc = pm.run(ansatz_qc_40)
    d2 = qc.depth(lambda x: len(x.qubits) > 1)
    depths.append(d2)
    if best is None or d2 < best[0]:
        best = (d2, seed, qc)
isa_qc = best[2]
sd = sorted(depths)
print(
    f"Backend: {backend.name} | {n_seeds} seeds | two-qubit depth "
    f"best/median/worst = {sd[0]}/{sd[len(sd)//2]}/{sd[-1]} (best seed {best[1]})"
)
print(
    f"Selected circuit -> two-qubit gates: {isa_qc.num_nonlocal_gates()}, "
    f"two-qubit depth: {isa_qc.depth(lambda x: len(x.qubits) > 1)}"
)

Backend: ibm_kingston | 24 seeds | two-qubit depth best/median/worst = 220/261/300 (best seed 22)
Selected circuit -> two-qubit gates: 787, two-qubit depth: 220

# Submit one batched job (job mode; a single batch needs no Session).
# Extra shots: noise lowers the post-selection yield
n_samples_40, shots_40 = 24, 1500
c_vecs_40 = random_uniform_simplex(n_samples_40, n_obj)
sampler_hw = SamplerV2(mode=backend)
# Tag hardware jobs for tracking
sampler_hw.options.environment.job_tags = ["TUT_QAMOO"]
# Seconds; guard against runaway jobs
sampler_hw.options.max_execution_time = 600

# The QAOA angles are already bound; only the objective weights c remain free.
# Assign each weight vector to get one concrete circuit per point on the simplex.
bound_circuits_40 = [
    isa_qc.assign_parameters({c40[k]: cv[k] for k in range(n_obj)})
    for cv in c_vecs_40
]
job_hw = sampler_hw.run([(qc,) for qc in bound_circuits_40], shots=shots_40)
print(
    f"Submitted to {backend.name}: job id {job_hw.job_id()} ({len(bound_circuits_40)} circuits)"
)

Submitted to ibm_kingston: job id darcaalvr3kc73einokg (24 circuits)

Krok 4: Przetwarzanie końcowe do frontu Pareto i odczytanie optymalnych portfeli

result_hw = job_hw.result()

# Post-select feasible portfolios (exactly K assets), score on the TRUE objectives.
feasible_40 = set()
for s in range(n_samples_40):
    for bs in result_hw[s].data.meas.get_counts():
        # get_counts is little-endian; reverse so bit i = asset i
        bs = bs.replace(" ", "")[::-1]
        if bs.count("1") == K_40:
            feasible_40.add(bs)

def score_40(P):
    """Score portfolios given as an (n, K) array of asset indices.

    Returns an (n, 3) array of [negative risk, return, diversification], all framed
    as 'bigger is better'. This is the single definition of the true objectives,
    used for the hardware samples, the exact enumeration, and the random baseline.
    Looping over the K x K index pairs keeps memory O(n) even for millions of rows.
    """
    risk = np.zeros(len(P))
    div = np.zeros(len(P))
    for a in range(P.shape[1]):
        for b in range(P.shape[1]):
            risk += sigma_40[P[:, a], P[:, b]]
            div += D_40[P[:, a], P[:, b]]
    return np.column_stack([-risk, mu_40[P].sum(1), div])

def evaluate_40(bs):
    """Score one bitstring (bit i = asset i) with score_40."""
    idx = np.flatnonzero([b == "1" for b in bs])
    return score_40(idx[None, :])[0]

fis_40 = np.array([evaluate_40(bs) for bs in feasible_40])
pareto_40 = filter_dominated(fis_40, maximise=True)
print(f"Feasible portfolios collected : {len(feasible_40)}")
print(f"Pareto-front portfolios       : {len(pareto_40)}")

Feasible portfolios collected : 2359
Pareto-front portfolios       : 20

# --- Honest benchmark: QAOA and random vs the EXACT Pareto front ---
# 40 choose 6 = 3,838,380 feasible portfolios -- few enough to enumerate exactly, score
# every one on the TRUE objectives, and get the exact Pareto front. That front is an
# absolute ceiling, and its feasible nadir is a FIXED hypervolume reference point, so the
# numbers are comparable across runs instead of depending on what happened to be sampled.
import itertools

# Stream the combinations straight into an (n, K) index array, without first
# building millions of Python tuples.
combos = np.fromiter(
    itertools.chain.from_iterable(
        itertools.combinations(range(n_assets_40), K_40)
    ),
    dtype=np.int16,
).reshape(-1, K_40)
fis_exact = score_40(combos)
front_exact = filter_dominated(fis_exact, maximise=True)

# Fixed reference = worst value of each objective over ALL feasible portfolios (the nadir).
ref_fixed = fis_exact.min(axis=0)
# The hypervolume of a point set equals the hypervolume of its front.
hv_ceiling = hypervolume(front_exact, ref=ref_fixed, maximise=True)
hv_qaoa = hypervolume(fis_40, ref=ref_fixed, maximise=True)

def random_feasible_hv(n_draw, seed):
    """Hypervolume of n_draw uniformly-random feasible portfolios, same fixed reference."""
    rng = np.random.default_rng(seed)
    picks = set()
    while len(picks) < n_draw:
        picks.add(tuple(sorted(rng.choice(n_assets_40, K_40, replace=False))))
    P = np.array(list(picks))
    return hypervolume(score_40(P), ref=ref_fixed, maximise=True)

hv_rand = np.array(
    [random_feasible_hv(len(feasible_40), seed) for seed in range(20)]
)

print(f"Exact Pareto front            : {len(front_exact)} portfolios")
print(f"Hypervolume ceiling (optimum) : {hv_ceiling:.3f}")
print(
    f"QAOA (hardware)               : {100 * hv_qaoa / hv_ceiling:5.1f}% of optimum"
)
print(
    f"Random ({len(feasible_40)} draws, 20 seeds) : "
    f"{100 * hv_rand.mean() / hv_ceiling:5.1f}% +/- {100 * hv_rand.std() / hv_ceiling:.1f}% of optimum"
)

Exact Pareto front            : 61 portfolios
Hypervolume ceiling (optimum) : 64.211
QAOA (hardware)               :  85.5% of optimum
Random (2359 draws, 20 seeds) :  84.4% +/- 1.3% of optimum

Przy tym rozmiarze problemu QAOA działa mniej więcej tak samo dobrze jak jednostajne losowe próbkowanie. Oba odzyskują dużą część hiperobjętości dokładnego optimum i żaden nie jest wyraźnie lepszy. Ten wynik jest oczekiwany dla pojedynczej płytkiej warstwy QAOA z mocno przyciętym operatorem kosztu na zaszumionym sprzęcie; wartość tego przykładu leży w kompletnym wielokryterialnym przepływie pracy (mapowanie, trenowanie kątów, próbkowanie z ograniczeniami i przetwarzanie końcowe Pareto), a nie w przyspieszeniu kwantowym. Zmniejszenie dystansu do optimum wymagałoby głębszych obwodów (więcej warstw QAOA), łagodniejszego przycinania lub sprzętu o niższym szumie.

# The best trade-offs found by the sampler: no other sampled portfolio beats these
# on every objective. They approximate the exact front computed above; a
# decision-maker picks the trade-off they prefer.
bs_list = list(feasible_40)
# Boolean mask over fis_40; keep_weakly=True also keeps portfolios whose
# objective values tie with a front point (what the strict filter would drop).
mask = is_nondominated(fis_40, maximise=True, keep_weakly=True)
front_bs = [b for b, m in zip(bs_list, mask) if m]
front_f = fis_40[mask]
order = np.argsort(-front_f[:, 1])  # show a span sorted by return
print(
    f"{mask.sum()} non-dominated sampled portfolios. A representative span:\n"
)
print(
    f"{'tickers held':40s} {'risk':>7s} {'return':>7s} {'cross-sector':>12s}"
)
for idx in order[:: max(1, len(order) // 12)]:
    held = [tickers_40[i] for i, b in enumerate(front_bs[idx]) if b == "1"]
    print(
        f"{', '.join(held):40s} {-front_f[idx,0]:7.3f} {front_f[idx,1]:7.2f} {int(front_f[idx,2]):12d}"
    )

fig = plt.figure(figsize=(8, 6))
ax = fig.add_subplot(111, projection="3d")
ax.scatter(
    fis_40[:, 0],
    fis_40[:, 1],
    fis_40[:, 2],
    c="lightgray",
    s=8,
    label="Sampled portfolios",
)
ax.scatter(
    pareto_40[:, 0],
    pareto_40[:, 1],
    pareto_40[:, 2],
    c="tomato",
    marker="D",
    s=40,
    label="Pareto front",
)
ax.set_xlabel("Negative risk")
ax.set_ylabel("Return")
ax.set_zlabel("Diversification")
ax.set_title("40-asset Pareto front (quantum hardware)")
ax.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

20 non-dominated sampled portfolios. A representative span:

tickers held                                risk  return cross-sector
AAPL, NVDA, XOM, GS, BLK, CAT              1.715    2.22           13
NVDA, GS, MS, PFE, CAT, PLD                1.772    2.20           14
NVDA, MS, PFE, WMT, CAT, DUK               1.040    2.14           15
NVDA, CVX, GS, JNJ, KO, WMT                0.737    2.01           14
NVDA, COP, GS, JNJ, WMT, EQIX              1.014    1.98           15
NVDA, ABT, WMT, CAT, AEP, EQIX             0.913    1.92           15
NVDA, CVX, WMT, RTX, D, EQIX               0.835    1.82           15
NVDA, XOM, GS, JNJ, DUK, EQIX              0.763    1.80           15
AAPL, NVDA, JNJ, KO, RTX, SO               0.621    1.71           14
NVDA, CVX, BLK, JNJ, RTX, AEP              0.719    1.71           15
NVDA, JNJ, KO, COST, RTX, AEP              0.545    1.69           14
NVDA, CVX, ABT, WMT, HON, AEP              0.702    1.43           15
AAPL, GS, JNJ, PEP, AEP, EQIX              0.645    1.34           15
MSFT, XOM, BLK, JNJ, CAT, SO               0.617    1.34           15
MSFT, KO, WMT, RTX, SO, SPG                0.526    1.29           14
MSFT, XOM, BLK, JNJ, WMT, DUK              0.483    1.25           15
MSFT, CVX, JNJ, RTX, DUK, D                0.482    1.02           14
MSFT, XOM, JNJ, KO, HON, EQIX              0.479    0.93           15
MSFT, JNJ, PG, KO, RTX, DUK                0.423    0.86           14
MSFT, XOM, JNJ, PEP, DUK, AMT              0.476    0.57           15

Dalsze kroki

Zalecenia

Jeśli ten tutorial Cię zainteresował, rozważ następujące kwestie:

• Zastąp pobrane dane rynkowe (market_data.csv) własnymi zwrotami i oszacowaniami kowariancji z rzeczywistej historii cen.

• Zwiększ liczbę warstw QAOA lub trenuj na 12–16 aktywach i przenieś te kąty, aby przybliżyć front uzyskany na sprzęcie do optymalnego.

• Przeczytaj Kotil i in., Quantum Approximate Multi-Objective Optimization (Nature Computational Science, 2025), badanie max-cut, które ten tutorial adaptuje do portfeli.

Bibliografia

1. Kotil et al., "Quantum Approximate Multi-Objective Optimization," Nature Computational Science (2025). arXiv:2503.22797

2. S. H. Sack and M. Serbyn, "Quantum annealing initialization of the quantum approximate optimization algorithm," Quantum 5, 491 (2021). arXiv:2101.05742