Niskokosztowa detekcja błędów z kodami czasoprzestrzennymi

Szacowany czas użycia: 10 sekund na procesorze Heron r3 (UWAGA: To jest jedynie szacunek. Rzeczywisty czas działania może się różnić.)

Wprowadzenie

Niskokosztowa detekcja błędów z kodami czasoprzestrzennymi [1] autorstwa Simona Martiel i Ali Javadi-Abariego proponuje syntezę niskowagowych, uwzględniających łączność sprzętową sprawdzeń czasoprzestrzennych dla obwodów zdominowanych przez operacje Clifforda, a następnie post-selekcję na podstawie tych sprawdzeń w celu wychwytywania błędów przy znacznie mniejszych kosztach niż pełna korekcja błędów i przy mniejszej liczbie pomiarów niż standardowe techniki mitygacji błędów.

W artykule tym zaproponowano nową metodę detekcji błędów w obwodach kwantowych (konkretnie w obwodach Clifforda), która stanowi kompromis między pełną korekcją błędów a lżejszymi technikami mitygacji. Kluczową ideą jest użycie kodów czasoprzestrzennych do generowania „sprawdzeń" w całym obwodzie, które są w stanie wykrywać błędy przy znacznie mniejszych kosztach związanych z Qubitami i bramkami niż pełna korekcja błędów odporna na usterki. Autorzy projektują efektywne algorytmy do wyboru sprawdzeń o niskiej wadze (angażujących niewiele Qubitów), kompatybilnych z fizyczną łącznością urządzenia i obejmujących duże obszary czasowe i przestrzenne obwodu. Demonstrują to podejście na obwodach z maksymalnie 50 logicznymi Qubitami i ~2450 bramkami CZ, osiągając wzrost wierności fizyczno-logicznej do 236x. Należy też zauważyć, że wraz ze wzrostem liczby operacji niebędących operacjami Clifforda, liczba prawidłowych sprawdzeń maleje wykładniczo, co wskazuje, że metoda działa najlepiej dla obwodów zdominowanych przez operacje Clifforda. Ogólnie rzecz biorąc, w niedalekiej przyszłości detekcja błędów za pomocą kodów czasoprzestrzennych może stanowić praktyczną, niskokosztową drogę do poprawy niezawodności sprzętu kwantowego.

Ta technika detekcji błędów opiera się na pojęciu koherentnych sprawdzeń Pauliego i bazuje na pracy Single-shot error mitigation by coherent Pauli checks [2] autorstwa van den Berga i in.

Niedawno artykuł Big cats: entanglement in 120 qubits and beyond [3] autorstwa Javadi-Abariego i in. opisuje stworzenie stanu Greenbergera-Horne-Zeilingera (GHZ) na 120 Qubitach — największego wielocząstkowego stanu splątanego uzyskanego do tej pory na platformie z Qubitami nadprzewodzącymi. Korzystając z kompilatora uwzględniającego sprzęt, niskokosztowej detekcji błędów i techniki „tymczasowej dekompozycji" w celu redukcji szumów, badacze osiągnęli wierność 0,56 ± 0,03 przy około 28% efektywności post-selekcji. Praca ta demonstruje prawdziwe splątanie obejmujące wszystkie 120 Qubitów, walidując wiele metod certyfikacji wierności, i stanowi ważny punkt odniesienia dla skalowalnego sprzętu kwantowego.

Ten samouczek rozbudowuje te idee, prowadząc cię przez implementację algorytmu detekcji błędów najpierw na małoskalowym losowym obwodzie Clifforda, a następnie przez zadanie przygotowania stanu GHZ, aby pomóc ci eksperymentować z detekcją błędów w twoich własnych obwodach kwantowych.

Wymagania

Przed rozpoczęciem tego samouczka upewnij się, że masz zainstalowane:

• Qiskit SDK v2.0 lub nowszy, z obsługą wizualizacji
• Qiskit Runtime v0.40 lub nowszy (pip install qiskit-ibm-runtime)
• Qiskit Aer v0.17.2 (pip install qiskit-aer)
• Qiskit Device Benchmarking (pip install "qiskit-device-benchmarking @ git+https://github.com/qiskit-community/qiskit-device-benchmarking.git")
• NumPy v2.3.2 (pip install numpy)
• Matplotlib v3.10.7 (pip install matplotlib)

Konfiguracja

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q matplotlib numpy qiskit qiskit-aer qiskit-device-benchmarking qiskit-ibm-runtime

# Standard library imports
from collections import defaultdict, deque
from functools import partial

# External libraries
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Qiskit
from qiskit import ClassicalRegister, QuantumCircuit
from qiskit.circuit import Delay
from qiskit.circuit.library import RZGate, XGate
from qiskit.converters import circuit_to_dag, dag_to_circuit
from qiskit.quantum_info import Pauli, random_clifford
from qiskit.transpiler import AnalysisPass, PassManager
from qiskit.transpiler.passes import (
    ALAPScheduleAnalysis,
    CollectAndCollapse,
    PadDelay,
    PadDynamicalDecoupling,
    RemoveBarriers,
)
from qiskit.transpiler.passes.optimization.collect_and_collapse import (
    collect_using_filter_function,
    collapse_to_operation,
)
from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager
from qiskit.visualization import plot_histogram

# Qiskit Aer
from qiskit_aer import AerSimulator
from qiskit_aer.noise import NoiseModel, ReadoutError, depolarizing_error

# Qiskit IBM Runtime
from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService
from qiskit_ibm_runtime import SamplerV2 as Sampler

# Qiskit Device Benchmarking
from qiskit_device_benchmarking.utilities.gate_map import plot_gate_map

Pierwszy przykład

Aby zademonstrować tę metodę, zaczniemy od skonstruowania prostego obwodu Clifforda. Naszym celem jest możliwość wykrywania wystąpienia pewnych typów błędów w tym obwodzie, dzięki czemu będziemy mogli odrzucać błędne wyniki pomiarów. W terminologii detekcji błędów jest to znane również jako nasz obwód ładunku.

circ = random_clifford(num_qubits=2, seed=11).to_circuit()
circ.draw("mpl")

Naszym celem jest wstawienie koherentnego sprawdzenia Pauliego do tego obwodu ładunku. Ale zanim to zrobimy, podzielimy ten obwód na warstwy. Będzie to przydatne później przy wstawianiu bramek Pauliego pomiędzy nimi.

# Separate circuit into layers
dag = circuit_to_dag(circ)
circ_layers = []
for layer in dag.layers():
    layer_as_circuit = dag_to_circuit(layer["graph"])
    circ_layers.append(layer_as_circuit)

# Create subplots
fig, (ax1, ax2, ax3, ax4, ax5) = plt.subplots(1, 5, figsize=(10, 4))

# Draw circuits on respective axes
circ_layers[0].draw(output="mpl", ax=ax1)
circ_layers[1].draw(output="mpl", ax=ax2)
circ_layers[2].draw(output="mpl", ax=ax3)
circ_layers[3].draw(output="mpl", ax=ax4)
circ_layers[4].draw(output="mpl", ax=ax5)

# Adjust layout to prevent overlap
plt.tight_layout()
plt.show()

Teraz jesteśmy gotowi, aby dodać koherentne sprawdzenia Pauliego do obwodu ładunku. Aby to zrobić, musimy skonstruować „prawidłowe sprawdzenie" i wstawić je do obwodu. „Sprawdzenie" w tym przypadku to operator zdolny do sygnalizowania, czy w obwodzie wystąpił błąd, poprzez wykonanie pomiaru na Qubicie pomocniczym. Jest ono uznawane za prawidłowe sprawdzenie, gdy dodatkowe operatory wstawione do obwodu kwantowego nie zmieniają logicznie oryginalnego obwodu.

To sprawdzenie jest w stanie wykrywać typy błędów, które z nim antykomutują, a sprawdzenie wywoła pomiar stanu $\ket{1}$ w Qubicie pomocniczym zamiast $\ket{0}$ poprzez efekt zwrotnego odrzutu fazy. Dlatego będziemy mogli odrzucać pomiary, w których sygnalizowany był błąd.

Ogólnie rzecz biorąc, koherentne sprawdzenia Pauliego to kontrolowane operatory Pauliego wstawiane w „przewody" — lokalizacje czasoprzestrzenne między bramkami. Qubit pomocniczy odpowiedzialny za sygnalizowanie błędu jest Qubitem sterującym.

Poniżej konstruujemy prawidłowe sprawdzenie dla obwodu Clifforda, który stworzyliśmy powyżej. Możemy zademonstrować, że to sprawdzenie nie zmienia działania obwodu, pokazując, że gdy te sprawdzenia Pauliego są propagowane na początek obwodu, znoszą się wzajemnie. Jest to łatwo widoczne, ponieważ operator Pauliego przechodzący przez bramkę Clifforda daje inny operator Pauliego.

Ogólnie można użyć heurystyki dekodowania, jak opisano w [1], aby zidentyfikować prawidłowe sprawdzenia. Na potrzeby naszego początkowego przykładu możemy również konstruować prawidłowe sprawdzenia, korzystając z analitycznych warunków mnożenia bramek Pauliego i Clifforda.

# Define a valid check
pauli_1 = Pauli("ZI")
pauli_2 = Pauli("XZ")

circ_1 = circ_layers[0].compose(circ_layers[1])
circ_1.draw("mpl")

pauli_1_ev = pauli_1.evolve(circ_1, frame="h")
pauli_1_ev

Pauli('-ZI')

circ_2 = circ.copy()
circ_2.draw("mpl")

pauli_2_ev = pauli_2.evolve(circ_2, frame="h")
pauli_2_ev

Pauli('-ZI')

pauli_1_ev.dot(pauli_2_ev)

Pauli('II')

Jak widać, mamy prawidłowe sprawdzenie, ponieważ wstawione operatory Pauliego mają po prostu taki sam efekt jak operator tożsamości na obwodzie. Możemy teraz wstawić te sprawdzenia do obwodu z Qubitem pomocniczym. Ten Qubit pomocniczy, czyli Qubit sprawdzający, zaczyna w stanie $\ket{+}$. Zawiera kontrolowane wersje operacji Pauliego opisanych powyżej i jest ostatecznie mierzony w bazie $X$. Ten Qubit sprawdzający jest teraz w stanie wychwytywać błędy w obwodzie ładunku bez logicznej zmiany jego działania. Dzieje się tak, ponieważ pewne typy szumów w obwodzie ładunku zmodyfikują stan Qubitu sprawdzającego i zostanie on zmierzony jako „1" zamiast „0" w przypadku wystąpienia takiego błędu.

# New circuit with 3 qubits (2 payload + 1 ancilla for check)
circ_meas = QuantumCircuit(3)
circ_meas.h(0)
circ_meas.compose(circ_layers[0], [1, 2], inplace=True)
circ_meas.compose(circ_layers[1], [1, 2], inplace=True)
circ_meas.cz(0, 2)
circ_meas.compose(circ_layers[2], [1, 2], inplace=True)
circ_meas.compose(circ_layers[3], [1, 2], inplace=True)
circ_meas.compose(circ_layers[4], [1, 2], inplace=True)
circ_meas.cz(0, 1)
circ_meas.cx(0, 2)
circ_meas.h(0)

# Add measurement to payload qubits
c0 = ClassicalRegister(2, name="c0")
circ_meas.add_register(c0)
circ_meas.measure(1, c0[0])
circ_meas.measure(2, c0[1])

# Add measurement to check qubit
c1 = ClassicalRegister(1, name="c1")
circ_meas.add_register(c1)
circ_meas.measure(0, c1[0])

# Visualize the final circuit with the inserted checks
circ_meas.draw("mpl")

Jeśli Qubit sprawdzający zostanie zmierzony jako „0", zachowujemy ten pomiar. Jeśli zostanie zmierzony jako „1", oznacza to, że w obwodzie ładunku wystąpił błąd i odrzucamy ten pomiar.

# Noiseless simulation using stabilizer method
sim_stab = AerSimulator(method="stabilizer")
res = sim_stab.run(circ_meas, shots=1000).result()
counts_noiseless = res.get_counts()
print(f"Stabilizer simulation result: {counts_noiseless}")

Stabilizer simulation result: {'0 11': 523, '0 01': 477}

# Plot the noiseless results
# Note that the first bit in the key corresponds to the check qubit
plot_histogram(counts_noiseless)

Zauważ, że przy idealnym symulatorze Qubit sprawdzający nie wykrywa żadnych błędów. Teraz wprowadzamy model szumów do symulacji i sprawdzamy, jak Qubit sprawdzający wychwytuje błędy.

# Qiskit Aer noise model
noise = NoiseModel()
p2 = 0.003  # two-qubit depolarizing per CZ
p1 = 0.001  # one-qubit depolarizing per 1q Clifford
pr = 0.01  # readout bit-flip probability

# 1q depolarizing on common 1q gates
e1 = depolarizing_error(p1, 1)
for g1 in ["id", "rz", "sx", "x", "h", "s"]:
    noise.add_all_qubit_quantum_error(e1, g1)

# 2q depolarizing on CZ
e2 = depolarizing_error(p2, 2)
noise.add_all_qubit_quantum_error(e2, "cz")

# Readout error on measure
ro = ReadoutError([[1 - pr, pr], [pr, 1 - pr]])
noise.add_all_qubit_readout_error(ro)

# Qiskit Aer simulation with noise model
aer = AerSimulator(method="automatic", seed_simulator=43210)
job = aer.run(circ_meas, shots=1000, noise_model=noise)
result = job.result()
counts_noisy = result.get_counts()
print(f"Noise model simulation result: {counts_noisy}")

Noise model simulation result: {'1 01': 5, '0 11': 478, '1 11': 6, '1 00': 2, '1 10': 1, '0 01': 500, '0 00': 5, '0 10': 3}

plot_histogram(counts_noisy)

Jak widać, niektóre pomiary wychwyciły błąd, oznaczając Qubit sprawdzający jako „1" — widoczne w czterech ostatnich kolumnach. Te próbki są odrzucane. Uwaga: Qubit pomocniczy może również wprowadzać nowe błędy do obwodu. Aby zmniejszyć ten efekt, możemy wstawić zagnieżdżone sprawdzenia z dodatkowymi Qubitami pomocniczymi do obwodu kwantowego.

Przykład z prawdziwego świata: Przygotowanie stanu GHZ na prawdziwym sprzęcie

Krok 1: Odwzorowanie klasycznych danych wejściowych na problem kwantowy

Demonstrujemy teraz istotne zadanie dla algorytmów komputerów kwantowych — przygotowanie stanu GHZ. Pokażemy, jak zrobić to na prawdziwym Backend z użyciem detekcji błędów.

# Set optional seed for reproducibility
SEED = 1

if SEED:
    np.random.seed(SEED)

Algorytm detekcji błędów dla przygotowania stanu GHZ uwzględnia topologię sprzętu. Zaczynamy od wyboru docelowego sprzętu.

# This is used to run on real hardware
service = QiskitRuntimeService()

# Choose a backend to build GHZ on
backend_name = service.least_busy(
    operational=True, simulator=False, min_num_qubits=133
)

backend = service.backend(backend_name)
coupling_map = backend.target.build_coupling_map()

Stan GHZ na $n$ Qubitach jest zdefiniowany jako $\lvert \mathrm{GHZ}_n\rangle \;=\; \frac{1}{\sqrt{2}}\Big(\lvert 0\rangle^{\otimes n} \,+\, \lvert 1\rangle^{\otimes n}\Big).$

Bardzo naiwne podejście do przygotowania stanu GHZ polegałoby na wybraniu Qubitu korzenia z początkową bramką Hadamarda, która wprowadza Qubit w stan superpozycji, a następnie na splątaniu tego Qubitu z każdym innym Qubitem. Nie jest to dobre podejście, ponieważ wymaga dalekosiężnych i głębokich interakcji CNOT. W tym samouczku użyjemy wielu technik razem z detekcją błędów, aby niezawodnie przygotować stan GHZ na prawdziwym sprzęcie.

Krok 2: Optymalizacja problemu pod kątem wykonania na sprzęcie kwantowym

Odwzorowanie stanu GHZ na sprzęt

Najpierw szukamy korzenia, na którym zostanie odwzorowany Circuit GHZ na sprzęcie. Usuwamy krawędzie/węzły, których błędy CZ, błędy pomiaru i wartości T2 są gorsze niż progi określone poniżej. Nie zostaną one uwzględnione w Circuit GHZ.

def bad_cz(target, threshold=0.01):
    """Return list of edges whose CZ error is worse than threshold."""
    undirected_edges = []
    for edge in backend.target.build_coupling_map().get_edges():
        if (edge[1], edge[0]) not in undirected_edges:
            undirected_edges.append(edge)
    edges = undirected_edges
    cz_errors = {}
    for edge in edges:
        cz_errors[edge] = target["cz"][edge].error
    worst_edges = sorted(cz_errors.items(), key=lambda x: x[1], reverse=True)
    return [list(edge) for edge, error in worst_edges if error > threshold]

def bad_readout(target, threshold=0.01):
    """Return list of nodes whose measurement error is worse than threshold."""
    meas_errors = {}
    for node in range(backend.num_qubits):
        meas_errors[node] = target["measure"][(node,)].error
    worst_nodes = sorted(
        meas_errors.items(), key=lambda x: x[1], reverse=True
    )
    return [node for node, error in worst_nodes if error > threshold]

def bad_coherence(target, threshold=60):
    """Return list of nodes whose T2 value is lower than threshold."""
    t2s = {}
    for node in range(backend.num_qubits):
        t2 = target.qubit_properties[node].t2
        t2s[node] = t2 * 1e6 if t2 else 0
    worst_nodes = sorted(t2s.items(), key=lambda x: x[1])
    return [node for node, val in worst_nodes if val < threshold]

THRESH_CZ = 0.025  # exclude from BFS those edges whose CZ error is worse than this threshold
THRESH_MEAS = 0.15  # exclude from BFS those nodes whose measurement error is worse than this threshold
THRESH_T2 = 10  # exclude from BFS those nodes whose T2 value is lower than this threshold

bad_edges = bad_cz(backend.target, threshold=THRESH_CZ)
bad_nodes_readout = bad_readout(backend.target, threshold=THRESH_MEAS)
dead_qubits = bad_readout(backend.target, threshold=0.4)
bad_nodes_coherence = bad_coherence(backend.target, threshold=THRESH_T2)
bad_nodes = list(set(bad_nodes_readout) | set(bad_nodes_coherence))
print(f"{len(bad_edges)} bad edges: \n{bad_edges}")
print(f"{len(bad_nodes)} bad nodes: \n{bad_nodes}")

17 bad edges: 
[[30, 31], [112, 113], [113, 114], [113, 119], [120, 121], [130, 131], [145, 146], [146, 147], [111, 112], [55, 59], [64, 65], [131, 138], [131, 132], [119, 133], [129, 130], [47, 57], [29, 38]]
5 bad nodes: 
[1, 113, 131, 146, 120]

Korzystając z poniższej funkcji, konstruujemy Circuit GHZ na wybranym sprzęcie, startując od korzenia i używając przeszukiwania wszerz (BFS).

def parallel_ghz(root, num_qubits, backend, bad_edges, skip):
    """
    Build a GHZ state of size `num_qubits` on the given `backend`,
    starting from `root`, expanding in BFS order.

    At each BFS layer, every active qubit adds at most one new neighbor
    (so that two-qubit operations can run in parallel with no qubit conflicts).

    It grows the entanglement tree outward layer-by-layer.
    """

    # -------------------------------------------------------------
    # (1) Filter usable connections from the backend coupling map
    # -------------------------------------------------------------
    # The coupling map lists all directed hardware connections as (control, target).
    # We remove edges that are:
    #   - listed in `bad_edges` (or their reversed form)
    #   - involve a qubit in the `skip` list
    cmap = backend.configuration().coupling_map
    edges = [
        e
        for e in cmap
        if e not in bad_edges
        and [e[1], e[0]] not in bad_edges
        and e[0] not in skip
        and e[1] not in skip
    ]

    # -------------------------------------------------------------
    # (2) Build an undirected adjacency list for traversal
    # -------------------------------------------------------------
    # Even though coupling_map edges are directed, BFS expansion just needs
    # connectivity information (so we treat edges as undirected for search).
    adj = defaultdict(list)
    for u, v in edges:
        adj[u].append(v)
        adj[v].append(u)

    # -------------------------------------------------------------
    # (3) Initialize the quantum circuit and BFS state
    # -------------------------------------------------------------
    n = backend.configuration().num_qubits
    qc = QuantumCircuit(
        n
    )  # create a circuit with same number of qubits as hardware
    visited = [
        root
    ]  # record the order qubits are added to the GHZ chain/tree
    queue = deque([root])  # BFS queue (start from root)
    explored = defaultdict(
        set
    )  # to track which neighbors each node has already explored
    layers = []  # list of per-layer (control, target) gate tuples
    qc.h(root)  # GHZ states start with a Hadamard on the root qubit

    # -------------------------------------------------------------
    # (4) BFS expansion: build the GHZ tree one layer at a time
    # -------------------------------------------------------------
    # Loop until we’ve added the desired number of qubits to the GHZ
    while queue and len(visited) < num_qubits:
        layer = []  # collect new (control, target) pairs for this layer
        current = list(
            queue
        )  # snapshot current frontier (so queue mutations don’t affect iteration)
        busy = (
            set()
        )  # track qubits already used in this layer (to avoid conflicts)

        for node in current:
            queue.popleft()

            # find one unvisited neighbor of this node not already explored
            unvisited_neighbors = [
                nb
                for nb in adj[node]
                if nb not in visited and nb not in explored[node]
            ]

            if unvisited_neighbors:
                nb = unvisited_neighbors[
                    0
                ]  # pick the first available neighbor
                visited.append(nb)  # mark it as part of the GHZ structure
                queue.append(
                    node
                )  # re-enqueue current node (can keep growing)
                queue.append(nb)  # enqueue the newly added qubit
                explored[node].add(nb)  # mark that edge as explored
                layer.append(
                    (node, nb)
                )  # schedule a CNOT between node and neighbor
                busy.update([node, nb])  # reserve both qubits for this layer

                # stop early if we've reached the desired number of qubits
                if len(visited) == num_qubits:
                    break
            # else: node has no unused unvisited neighbors left → skip

        if layer:
            # add all pairs (node, nb) scheduled this round to layers
            layers.append(layer)
        else:
            # nothing new discovered this pass → done
            break

    # -------------------------------------------------------------
    # (5) Emit all layers into the quantum circuit
    # -------------------------------------------------------------
    # For each layer:
    #   - apply a CX gate for every (control, target) pair
    #   - insert a barrier so transpiler keeps layer structure
    for layer in layers:
        for q1, q2 in layer:
            qc.cx(q1, q2)
        qc.barrier()

    # -------------------------------------------------------------
    # (6) Return outputs
    # -------------------------------------------------------------
    # qc: the built quantum circuit
    # visited: order of qubits added
    # layers: list of parallelizable two-qubit operations per step
    return qc, visited, layers

Wielokrotnie szukamy teraz najlepszego korzenia, od którego będzie wychodził Circuit GHZ.

ROOT = None  # root for BFS search
GHZ_SIZE = 100  # number of (data) qubits in the GHZ state
SKIP = []  # nodes to intentionally skip so that we have a better chance for finding checks

# Search for the best root (yielding the shallowest GHZ)
if ROOT is None:
    best_root = -1
    base_depth = 100
    for root in range(backend.num_qubits):
        qc, ghz_qubits, _ = parallel_ghz(
            root, GHZ_SIZE, backend, bad_edges, SKIP
        )
        if len(ghz_qubits) != GHZ_SIZE:
            continue
        depth = qc.depth(lambda x: x.operation.num_qubits == 2)
        if depth < base_depth:
            best_root = root
            base_depth = depth
    ROOT = best_root

Konstruujemy teraz Circuit GHZ zaczynając od konkretnego węzła — czyli od najlepszego korzenia — szukając najkrótszej głębokości za pomocą przeszukiwania wszerz.

# Build a GHZ starting at the best root
qc, ghz_qubits, _ = parallel_ghz(
    ROOT, GHZ_SIZE, backend, bad_edges, SKIP + bad_nodes
)
base_depth = qc.depth(lambda x: x.operation.num_qubits == 2)
base_count = qc.size(lambda x: x.operation.num_qubits == 2)
print(f"base depth: {base_depth}, base count: {base_count}")
print(f"ROOT: {ROOT}")
if len(ghz_qubits) != GHZ_SIZE:
    raise Exception("No GHZ found. Relax error thresholds.")

base depth: 17, base count: 99
ROOT: 50

Przed wstawieniem prawidłowych sprawdzeń musimy uwzględnić jeszcze jedno zagadnienie. Chodzi o pojęcie „pokrycia" — miarę tego, ile przewodów w Circuit kwantowym może objąć dane sprawdzenie. Większe pokrycie pozwala wykrywać błędy na szerszej części Circuit. Dzięki tej mierze możemy wybierać spośród prawidłowych sprawdzeń te o najwyższym pokryciu Circuit. Innymi słowy, będziemy używać funkcji weighted_coverage do oceniania różnych sprawdzeń dla Circuit GHZ.

def weighted_coverage(layers, parities, w_idle=0.2, w_gate=0.8):
    """
    Compute weighted fraction (idle + gate) of wires that are
    covered by at least one parity to all active wires.
    """
    wires = active_wires(layers)  # defined below
    covered_by_any = {n_layer: set() for n_layer in range(len(layers))}
    for parity in parities:
        trace = z_trace_backward(layers, parity)  # defined below
        for n_layer, qs in trace.items():
            covered_by_any[n_layer] |= qs
    covered_weight = 0
    total_weight = 0
    for n_layer in range(len(layers)):
        idle = wires[n_layer]["idle"]
        gate = wires[n_layer]["gate"]
        total_weight += w_idle * len(idle) + w_gate * len(gate)
        covered_idle = covered_by_any[n_layer] & idle
        covered_gate = covered_by_any[n_layer] & gate
        covered_weight += w_idle * len(covered_idle) + w_gate * len(
            covered_gate
        )
    return covered_weight / total_weight if total_weight > 0 else 0

def active_wires(layers):
    """
    Returns per-layer dict with two sets:
    - 'idle': activated wires that are idle in this layer
    - 'gate': activated wires that are control/target of a CNOT at this layer
    """
    first_activation = {}
    for n_layer, layer in enumerate(layers):
        for c, t in layer:
            first_activation.setdefault(c, n_layer)
            first_activation.setdefault(t, n_layer)
    result = {}
    for n_layer in range(len(layers)):
        active = {
            q
            for q, n_layer0 in first_activation.items()
            if n_layer >= n_layer0
        }
        gate = {q for c, t in layers[n_layer] for q in (c, t)}
        idle = active - gate
        result[n_layer] = {"idle": idle, "gate": gate}
    return result

def z_trace_backward(layers, initial_Zs):
    """
    Backward propagate Zs with parity cancellation.
    Returns {layer: set of qubits with odd parity Z at that layer}.
    """
    wires = active_wires(layers)
    support = set(initial_Zs)
    trace = {}
    for n_layer in range(len(layers) - 1, -1, -1):
        active = wires[n_layer]["idle"] | wires[n_layer]["gate"]
        trace[n_layer] = support & active
        # propagate backwards
        new_support = set()
        for q in support:
            hit = False
            for c, t in layers[n_layer]:
                if q == t:  # Z on target: copy to control
                    new_support ^= {t, c}  # toggle both
                    hit = True
                    break
                elif q == c:  # Z on control: passes through
                    new_support ^= {c}
                    hit = True
                    break
            if not hit:  # unaffected
                new_support ^= {q}
        support = new_support
    return trace

Możemy teraz wstawiać sprawdzenia do Circuit GHZ. Znalezienie prawidłowych sprawdzeń jest bardzo wygodne dla stanu GHZ, ponieważ dowolny dwu-Qubitowy operator Pauliego $Z$, $Z_i Z_j$, działający na dowolnych dwóch Qubitach $i,j$ Circuit GHZ, jest nośnikiem, a zatem prawidłowym sprawdzeniem.

Warto również zauważyć, że sprawdzenia w tym przypadku są operatorami kontrolowanego-$Z$, sąsiadującymi z bramkami Hadamarda po lewej i prawej stronie na Qubicie pomocniczym. Jest to równoważne bramce CNOT przyłożonej do Qubitu pomocniczego. Poniższy kod wstawia sprawdzenia do Circuit.

# --- Tunables controlling the search space / scoring ---
MAX_SKIPS = 10  # at most how many qubits to skip (in addition to the bad ones and the ones forced to skip above)
SHUFFLES = 200  # how many times to try removing nodes for checks
MAX_DEPTH_INCREASE = 10  # how far from the base GHZ depth to go to include checks (increase this for more checks at expense of depth)

W_IDLE = 0.2  # weight of errors to consider during idle timesteps
W_GATE = 0.8  # weight of errors to consider during gates

# Remove random nodes from the GHZ and build from the root again to increase checks
degree_two_nodes = [
    i
    for i in ghz_qubits
    if all(n in ghz_qubits for n in coupling_map.neighbors(i))
    and len(coupling_map.neighbors(i)) >= 2
]

# --- Best-so-far tracking for the randomized search ---
num_checks = 0
best_covered_fraction = -1
best_qc = qc
best_checks = []
best_parities = []
best_layers = []

# Outer loop: vary how many GHZ nodes we try skipping (0..MAX_SKIPS-1)
for num_skips in range(MAX_SKIPS):
    # Inner loop: try SHUFFLES random choices of 'num_skips' nodes to skip
    for _ in range(SHUFFLES):
        # Construct the skip set:
        #   - pre-existing forced SKIP
        #   - plus a random sample of 'degree_two_nodes' of size 'num_skips'
        skip = SKIP + list(np.random.choice(degree_two_nodes, num_skips))

        # Rebuild the GHZ using the current skip set and bad_nodes
        qc, ghz_qubits, layers = parallel_ghz(
            ROOT, GHZ_SIZE, backend, bad_edges, skip + bad_nodes
        )

        # Measure circuit cost as 2-qubit-gate depth only
        depth = qc.depth(lambda x: x.operation.num_qubits == 2)

        # If we failed to reach the target GHZ size, discard this attempt
        if len(ghz_qubits) != GHZ_SIZE:
            continue

        # --- Build "checks" around the GHZ we just constructed ---
        # A check qubit is a non-GHZ, non-dead qubit that has ≥2 neighbors inside the GHZ
        # and all those incident edges are usable (i.e., not in bad_edges).
        checks = []
        parities = []
        for i in range(backend.num_qubits):
            neighbors = [
                n for n in coupling_map.neighbors(i) if n in ghz_qubits
            ]

            if (
                i not in ghz_qubits
                and i not in dead_qubits
                and len(neighbors) >= 2
                and not any(
                    [
                        [neighbor, i] in bad_edges
                        or [i, neighbor] in bad_edges
                        for neighbor in neighbors
                    ]
                )
            ):
                # Record this qubit as a check qubit
                checks.append(i)
                parities.append((neighbors[0], neighbors[1]))
                # Physically couple the check qubit 'i' to the two GHZ neighbors via CNOTs
                # (This is the actual "check" attachment in the circuit.)
                qc.cx(neighbors[0], i)
                qc.cx(neighbors[1], i)

        # Score this design using the weighted coverage metric over the GHZ build layers
        covered_fraction = weighted_coverage(
            layers=layers, parities=parities, w_idle=W_IDLE, w_gate=W_GATE
        )

        # Keep it only if:
        #   - coverage improves over the best so far, AND
        #   - the 2q depth budget isn't blown by more than MAX_DEPTH_INCREASE
        if (
            covered_fraction > best_covered_fraction
            and depth <= base_depth + MAX_DEPTH_INCREASE
        ):
            best_covered_fraction = covered_fraction
            best_qc = qc
            best_ghz_qubits = ghz_qubits
            best_checks = checks
            best_parities = parities
            best_layers = layers

Możemy teraz wypisać Qubity użyte w Circuit GHZ oraz Qubity sprawdzające.

# --- After search, report the best design found ---
qc = best_qc
checks = best_checks
parities = best_parities
layers = best_layers
ghz_qubits = best_ghz_qubits
if len(ghz_qubits) != GHZ_SIZE:
    raise Exception("No GHZ found. Relax error thresholds.")

print(f"GHZ qubits: {ghz_qubits} {len(ghz_qubits)}")
print(f"Check qubits: {checks} {len(checks)}")

covered_fraction = weighted_coverage(
    layers=layers, parities=parities, w_idle=W_IDLE, w_gate=W_GATE
)
print(
    "Covered fraction (no idle): ",
    weighted_coverage(
        layers=layers, parities=parities, w_idle=0.0, w_gate=1.0
    ),
)

GHZ qubits: [50, 49, 51, 38, 52, 48, 58, 53, 47, 71, 39, 46, 70, 54, 33, 45, 72, 69, 55, 32, 37, 73, 68, 34, 31, 44, 25, 74, 78, 67, 18, 24, 79, 75, 89, 57, 11, 23, 93, 59, 88, 66, 10, 22, 92, 90, 87, 65, 12, 9, 21, 94, 91, 86, 77, 13, 8, 20, 95, 98, 97, 14, 7, 36, 99, 111, 107, 15, 6, 41, 115, 110, 106, 19, 17, 5, 40, 114, 109, 108, 105, 27, 4, 42, 118, 104, 28, 3, 129, 117, 103, 29, 2, 128, 125, 96, 30, 127, 124, 102] 100
Check qubits: [16, 26, 35, 43, 85, 126] 6
Covered fraction (no idle):  0.4595959595959596

Możemy również wypisać pewne statystyki błędów.

def circuit_errors(target, circ, error_type="cz"):
    """
    Pull per-resource error numbers from a Qiskit Target
    for ONLY the qubits/edges actually used by `circ`.

    Args:
        target: qiskit.transpiler.Target (e.g., backend.target)
        circ:   qiskit.QuantumCircuit
        error_type: one of {"cz", "meas", "t1", "t2"}:
            - "cz"   -> 2q CZ gate error on the circuit's used edges
            - "meas" -> measurement error on the circuit's used qubits
            - "t1"   -> T1 (converted to microseconds) on used qubits
            - "t2"   -> T2 (converted to microseconds) on used qubits

    Returns:
        list[float] of the requested quantity for the active edges/qubits.
    """

    # Get all 2-qubit edges that appear in the circuit (as undirected pairs).
    active_edges = active_gates(circ)  # e.g., {(0,1), (2,3), ...}

    # Intersect those with the device coupling map (so we only query valid edges).
    # Note: target.build_coupling_map().get_edges() yields directed pairs.
    edges = [
        edge
        for edge in target.build_coupling_map().get_edges()
        if tuple(sorted(edge)) in active_edges
    ]

    # Deduplicate direction: keep only one orientation of each edge.
    undirected_edges = []
    for edge in edges:
        if (edge[1], edge[0]) not in undirected_edges:
            undirected_edges.append(edge)
    edges = undirected_edges  # (not used later—see note below)

    # Accumulators for different error/physics quantities
    cz_errors, meas_errors, t1_errors, t2_errors = [], [], [], []

    # For every active (undirected) edge in the circuit, fetch its CZ error.
    # NOTE: Uses active_gates(circ) again (undirected tuples). This assumes
    # `target['cz']` accepts undirected indexing; many Targets store both directions.
    for edge in active_gates(circ):
        cz_errors.append(target["cz"][edge].error)

    # For every active qubit, fetch measure error and T1/T2 (converted to µs).
    for qubit in active_qubits(circ):
        meas_errors.append(target["measure"][(qubit,)].error)
        t1_errors.append(
            target.qubit_properties[qubit].t1 * 1e6
        )  # seconds -> microseconds
        t2_errors.append(
            target.qubit_properties[qubit].t2 * 1e6
        )  # seconds -> microseconds

    # Select which set to return.
    if error_type == "cz":
        return cz_errors
    elif error_type == "meas":
        return meas_errors
    elif error_type == "t1":
        return t1_errors
    else:
        return t2_errors

def active_qubits(circ):
    """
    Return a list of qubit indices that participate in at least one
    non-delay, non-barrier instruction in `circ`.
    """
    active_qubits = set()
    for inst in circ.data:
        # Skip scheduling artifacts that don’t act on state
        if (
            inst.operation.name != "delay"
            and inst.operation.name != "barrier"
        ):
            for qubit in inst.qubits:
                q = circ.find_bit(
                    qubit
                ).index  # map Qubit object -> integer index
                active_qubits.add(q)
    return list(active_qubits)

def active_gates(circ):
    """
    Return a set of undirected 2-qubit edges (i, j) that appear in `circ`.
    """
    used_2q_gates = set()
    for inst in circ:
        if inst.operation.num_qubits == 2:
            qs = inst.qubits
            # map Qubit objects -> indices, then sort to make the edge undirected
            qs = sorted([circ.find_bit(q).index for q in qs])
            used_2q_gates.add(tuple(sorted(qs)))
    return used_2q_gates

# ---- Print summary statistics ----
cz_errors = circuit_errors(backend.target, qc, error_type="cz")
meas_errors = circuit_errors(backend.target, qc, error_type="meas")
t1_errors = circuit_errors(backend.target, qc, error_type="t1")
t2_errors = circuit_errors(backend.target, qc, error_type="t2")

np.set_printoptions(linewidth=np.inf)
print(
    f"cz errors: \n mean: {np.round(np.mean(cz_errors), 3)}, max: {np.round(np.max(cz_errors), 3)}"
)
print(
    f"meas errors: \n mean: {np.round(np.mean(meas_errors), 3)}, max: {np.round(np.max(meas_errors), 3)}"
)
print(
    f"t1 errors: \n mean: {np.round(np.mean(t1_errors), 1)}, min: {np.round(np.min(t1_errors), 1)}"
)
print(
    f"t2 errors: \n mean: {np.round(np.mean(t2_errors), 1)}, min: {np.round(np.min(t2_errors), 1)}"
)

cz errors: 
 mean: 0.002, max: 0.012
meas errors: 
 mean: 0.014, max: 0.121
t1 errors: 
 mean: 267.9, min: 23.6
t2 errors: 
 mean: 155.9, min: 13.9

Podobnie jak wcześniej, możemy najpierw zasymulować Circuit w przypadku braku szumów, aby upewnić się o poprawności Circuit przygotowującego stan GHZ.

# --- Simulate to ensure correctness ---

qc_meas = qc.copy()

# Add measurements to the GHZ qubits
c1 = ClassicalRegister(len(ghz_qubits), "c1")
qc_meas.add_register(c1)
for q, c in zip(ghz_qubits, c1):
    qc_meas.measure(q, c)

# Add measurements to the check qubits
if len(checks) > 0:
    c2 = ClassicalRegister(len(checks), "c2")
    qc_meas.add_register(c2)
    for q, c in zip(checks, c2):
        qc_meas.measure(q, c)

# Simulate the circuit with stabilizer method
sim_stab = AerSimulator(method="stabilizer")
res = sim_stab.run(qc_meas, shots=1000).result()
counts = res.get_counts()
print("Stabilizer simulation result:")
print(counts)

# Rename keys to "0 0" and "0 1" for easier plotting
# First len(checks) bits are check bits, rest are GHZ bits
keys = list(counts.keys())
for key in keys:
    check_bits = key[: len(checks)]
    ghz_bits = key[(len(checks) + 1) :]
    if set(check_bits) == {"0"} and set(ghz_bits) == {"0"}:
        counts["0 0"] = counts.pop(key)
    elif set(check_bits) == {"0"} and set(ghz_bits) == {"1"}:
        counts["0 1"] = counts.pop(key)
    else:
        continue

plot_histogram(counts)

Stabilizer simulation result:
{'000000 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111': 525, '000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000': 475}

Zgodnie z oczekiwaniami Qubity sprawdzające są mierzone jako same zera i pomyślnie przygotowaliśmy stan GHZ.

Krok 3: Wykonanie przy użyciu prymitywów Qiskit

Jesteśmy teraz gotowi, aby uruchomić układ na prawdziwym sprzęcie i zademonstrować, w jaki sposób protokół wykrywania błędów może wychwytywać błędy w przygotowaniu stanu GHZ.

BAD_QUBITS = []  # specify any additional bad qubits to avoid (this is specific to the chosen backend)
SHOTS = 10000  # number of shots

Definiujemy funkcję pomocniczą, która dodaje pomiary do układu GHZ.

def add_measurements(qc, ghz_qubits, checks):
    # --- Measure each set of qubits into different classical registers to facilitate post-processing ---

    # Add measurements to the GHZ qubits
    c1 = ClassicalRegister(len(ghz_qubits), "c1")
    qc.add_register(c1)
    for q, c in zip(ghz_qubits, c1):
        qc.measure(q, c)

    # Add measurements to the check qubits
    c2 = ClassicalRegister(len(checks), "c2")
    qc.add_register(c2)
    for q, c in zip(checks, c2):
        qc.measure(q, c)

    return qc

Przed wykonaniem rysujemy rozmieszczenie Qubitów GHZ i qubitów kontrolnych na wybranym sprzęcie.

# Plot the layout of GHZ and check qubits on the device
plot_gate_map(
    backend,
    label_qubits=True,
    line_width=20,
    line_color=[
        "black"
        if edge[0] in ghz_qubits + checks and edge[1] in ghz_qubits + checks
        else "lightgrey"
        for edge in backend.coupling_map.graph.edge_list()
    ],
    qubit_color=[
        "blue"
        if i in ghz_qubits
        else "salmon"
        if i in checks
        else "lightgrey"
        for i in range(0, backend.num_qubits)
    ],
)
plt.show()

qc.draw("mpl", idle_wires=False, fold=-1)

Teraz dodajemy pomiary.

qc = add_measurements(qc, ghz_qubits, checks)

Poniższy potok harmonogramowania utrwala czasy, usuwa bariery, upraszcza opóźnienia i wstrzykuje dynamiczne odsprzęganie, zachowując przy tym oryginalne czasy operacji.

# The scheduling consists of first inserting delays while barriers are still there
# Then removing the barriers and consolidating the delays, so that the operations do not move in time
# Lastly we replace delays with dynamical decoupling
collect_function = partial(
    collect_using_filter_function,
    filter_function=(lambda node: node.op.name == "delay"),
    split_blocks=True,
    min_block_size=2,
    split_layers=False,
    collect_from_back=False,
    max_block_width=None,
)

collapse_function = partial(
    collapse_to_operation,
    collapse_function=(
        lambda circ: Delay(sum(inst.operation.duration for inst in circ))
    ),
)

class Unschedule(AnalysisPass):
    """Removes a property from the passmanager property set so that the circuit looks unscheduled, so we can schedule it again."""

    def run(self, dag):
        del self.property_set["node_start_time"]

def build_passmanager(backend, dd_qubits=None):
    pm = generate_preset_pass_manager(
        target=backend.target,
        layout_method="trivial",
        optimization_level=2,
        routing_method="none",
    )

    pm.scheduling = PassManager(
        [
            ALAPScheduleAnalysis(target=backend.target),
            PadDelay(target=backend.target),
            RemoveBarriers(),
            Unschedule(),
            CollectAndCollapse(
                collect_function=collect_function,
                collapse_function=collapse_function,
            ),
            ALAPScheduleAnalysis(target=backend.target),
            PadDynamicalDecoupling(
                dd_sequence=[XGate(), RZGate(-np.pi), XGate(), RZGate(np.pi)],
                spacing=[1 / 4, 1 / 2, 0, 0, 1 / 4],
                target=backend.target,
                qubits=dd_qubits,
            ),
        ]
    )

    return pm

Możemy teraz użyć niestandardowego menedżera przejść, aby skompilować układ dla wybranego Backend.

# Transpile the circuits for the backend
pm = build_passmanager(backend, ghz_qubits)

# Instruction set architecture (ISA) level circuit after scheduling and DD insertion
isa_circuit = pm.run(qc)

# Draw after scheduling and DD insertion
# timeline_drawer(isa_circuit, show_idle=False, time_range=(0, 1000), target=backend.target)

isa_circuit.draw("mpl", fold=-1, idle_wires=False)

Następnie wysyłamy zadanie przy użyciu prymitywu Sampler z Qiskit Runtime.

# Select the sampler options
sampler = Sampler(mode=backend)
sampler.options.default_shots = SHOTS
sampler.options.dynamical_decoupling.enable = False
sampler.options.execution.rep_delay = 0.00025

# Submit the job
print("Submitting sampler job")
ghz_job = sampler.run([isa_circuit])

print(ghz_job.job_id())

d493f17nmdfs73abf9qg

Krok 4: Przetwarzanie końcowe i zwracanie wyniku w żądanym formacie klasycznym

Możemy teraz pobrać i przeanalizować wyniki z zadania Sampler.

# Retrieve the job results
job_result = ghz_job.result()

# Get the counts from GHZ and check qubit measurements
ghz_counts = job_result[0].data.c1.get_counts()
checks_counts = job_result[0].data.c2.get_counts()

# Post-process to get unflagged GHZ counts (i.e., check bits are all '0')
joined_counts = job_result[0].join_data().get_counts()
unflagged_counts = {}
for key, count in joined_counts.items():
    check_bits = key[: len(checks)]
    ghz_bits = key[len(checks) :]
    if set(check_bits) == {"0"}:
        unflagged_counts[ghz_bits] = count

# Get top 20 outcomes by frequency from the unflagged counts
top_counts = dict(
    sorted(unflagged_counts.items(), key=lambda x: x[1], reverse=True)[:20]
)

# Rename keys for better visualization
top_counts_renamed = {}
i = 0
for key, count in top_counts.items():
    if set(key) == {"0"}:
        top_counts_renamed["all 0s"] = count
    elif set(key) == {"1"}:
        top_counts_renamed["all 1s"] = count
    else:
        top_counts_renamed[f"other_{i}"] = count
        i += 1

plot_histogram(top_counts_renamed, figsize=(12, 7))

Na powyższym histogramie przedstawiono 20 pomiarów bitciągów z Qubitów GHZ, które nie zostały oznaczone przez qubity kontrolne. Zgodnie z oczekiwaniami, bitciągi składające się z samych zer i samych jedynek mają najwyższe liczby. Należy zauważyć, że niektóre błędne bitciągi o niskiej wadze błędu nie zostały wychwycone przez detekcję błędów. Najwyższe liczby nadal odpowiadają oczekiwanym bitciągom.

Omówienie

W tym samouczku pokazaliśmy, jak zaimplementować technikę wykrywania błędów o niskim narzucie przy użyciu kodów czasoprzestrzennych i zademonstrowano jej rzeczywiste zastosowanie do przygotowania stanów GHZ na sprzęcie. Odwołaj się do [3], aby zgłębić szczegóły techniczne przygotowania stanu GHZ. Oprócz wykrywania błędów autorzy wykorzystują mitygację błędów odczytu z M3 i TREX oraz stosują techniki tymczasowego odkomputowania w celu przygotowania stanów GHZ o wysokiej wierności.

Odniesienia

• [1] Martiel, S., & Javadi-Abhari, A. (2025). Low-overhead error detection with spacetime codes. arXiv preprint arXiv:2504.15725.
• [2] van den Berg, E., Bravyi, S., Gambetta, J. M., Jurcevic, P., Maslov, D., & Temme, K. (2023). Single-shot error mitigation by coherent Pauli checks. Physical Review Research, 5(3), 033193.
• [3] Javadi-Abhari, A., Martiel, S., Seif, A., Takita, M., & Wei, K. X. (2025). Big cats: entanglement in 120 qubits and beyond. arXiv preprint arXiv:2510.09520.