Układy wielokrotne i stany zredukowane

Teraz zajmiemy się tym, jak macierze gęstości działają dla układów wielokrotnych, włącznie z przykładami różnych typów korelacji, które mogą wyrażać, oraz tym, jak mogą być używane do opisu stanów wyizolowanych części układów złożonych.

Układy wielokrotne

Macierze gęstości mogą reprezentować stany układów wielokrotnych w sposób analogiczny do wektorów stanu w uproszczonej formulacji informacji kwantowej, opierając się na tej samej podstawowej idei, że układy wielokrotne można postrzegać tak, jakby były pojedynczymi, złożonymi układami. W terminach matematycznych wiersze i kolumny macierzy gęstości reprezentujących stany układów wielokrotnych są w korespondencji z iloczynem kartezjańskim zbiorów stanów klasycznych poszczególnych układów.

Na przykład przypomnijmy sobie reprezentacje w postaci wektorów stanu czterech stanów Bella.

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[2mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Reprezentacje tych stanów w postaci macierzy gęstości są następujące.

$$\vert \phi^+ \rangle \langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \phi^- \rangle \langle \phi^- \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^+ \rangle \langle \psi^+ \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^- \rangle \langle \psi^- \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Stany produktowe

Podobnie jak to miało miejsce dla wektorów stanu, iloczyny tensorowe macierzy gęstości reprezentują niezależność między stanami układów wielokrotnych. Na przykład, jeśli $\mathsf{X}$ jest przygotowany w stanie reprezentowanym przez macierz gęstości $\rho,$ a $\mathsf{Y}$ jest niezależnie przygotowany w stanie reprezentowanym przez $\sigma,$ wtedy macierz gęstości opisująca stan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ to iloczyn tensorowy $\rho\otimes\sigma.$

Stosujemy tutaj tę samą terminologię, co w uproszczonej formulacji informacji kwantowej: stany tej postaci nazywane są stanami produktowymi.

Stany skorelowane i splątane

Stany, które nie mogą być wyrażone jako stany produktowe, reprezentują korelacje między układami. Istnieją w rzeczywistości różne typy korelacji, które mogą być reprezentowane przez macierze gęstości. Oto kilka przykładów.

1. Skorelowane stany klasyczne. Na przykład możemy wyrazić sytuację, w której Alicja i Bob dzielą losowy bit, w ten sposób:

   $$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

2. Zespoły stanów kwantowych. Załóżmy, że mamy $m$ macierzy gęstości $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ wszystkie reprezentujące stany układu $\mathsf{X},$ i losowo wybieramy jeden z tych stanów zgodnie z wektorem prawdopodobieństw $(p_0,\ldots,p_{m-1}).$ Taki proces jest reprezentowany przez zespół stanów, który obejmuje specyfikację macierzy gęstości $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ jak również prawdopodobieństw $(p_0,\ldots,p_{m-1}).$ Możemy skojarzyć zespół stanów z pojedynczą macierzą gęstości, opisującą zarówno losowy wybór $k$, jak i odpowiadającą mu macierz gęstości $\rho_k,$ w ten sposób:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \vert k\rangle \langle k \vert \otimes \rho_k.$$

   Dla jasności, jest to stan pary $(\mathsf{Y},\mathsf{X}),$ gdzie $\mathsf{Y}$ reprezentuje klasyczny wybór $k$ — zakładamy więc, że jego zbiór stanów klasycznych to $\{0,\ldots,m-1\}.$ Stany tej postaci są czasami nazywane stanami klasyczno-kwantowymi.

3. Stany separowalne. Możemy wyobrazić sobie sytuacje, w których mamy klasyczną korelację między stanami kwantowymi dwóch układów w ten sposób:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \rho_k \otimes \sigma_k.$$

   Słownie, dla każdego $k$ od $0$ do $m-1,$ mamy, że z prawdopodobieństwem $p_k$ układ po lewej stronie jest w stanie $\rho_k,$ a układ po prawej stronie jest w stanie $\sigma_k.$ Takie stany nazywane są stanami separowalnymi. Pojęcie to można również rozszerzyć na więcej niż dwa układy.

4. Stany splątane. Nie wszystkie stany par układów są separowalne. W ogólnej formulacji informacji kwantowej splątanie jest definiowane właśnie w ten sposób: stany, które nie są separowalne, nazywane są splątanymi.

   Zauważmy, że terminologia ta jest spójna z terminologią, której używaliśmy w kursie „Podstawy informacji kwantowej". Powiedzieliśmy tam, że kwantowe wektory stanu, które nie są stanami produktowymi, reprezentują stany splątane — i faktycznie, dla dowolnego kwantowego wektora stanu $\vert\psi\rangle,$ który nie jest stanem produktowym, stwierdzamy, że stan reprezentowany przez macierz gęstości $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$ nie jest separowalny. Splątanie jest znacznie bardziej skomplikowane niż to dla stanów, które nie są czyste.

Stany zredukowane i ślad częściowy

Jest pewna prosta, lecz istotna rzecz, którą możemy zrobić z macierzami gęstości w kontekście wielu układów, a mianowicie opisać stany otrzymywane poprzez ignorowanie niektórych układów. Gdy wiele układów znajduje się w stanie kwantowym, a my odrzucamy lub decydujemy się zignorować jeden lub więcej układów, stan pozostałych układów nazywamy stanem zredukowanym tych układów. Opisy stanów zredukowanych za pomocą density matrix można łatwo uzyskać poprzez odwzorowanie zwane śladem częściowym, działające na density matrix opisującej stan całości.

Przykład: stany zredukowane dla e-bitu

Załóżmy, że mamy parę kubitów $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ które razem znajdują się w stanie

$$\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle.$$

Możemy sobie wyobrazić, że Alicja posiada kubit $\mathsf{A},$ a Bob posiada $\mathsf{B},$ czyli razem dzielą e-bit. Chcielibyśmy uzyskać opis za pomocą density matrix kubitu Alicji $\mathsf{A}$ w izolacji, tak jakby Bob postanowił zabrać swój kubit i wyruszyć w podróż ku gwiazdom, by nigdy nie wrócić.

Najpierw zastanówmy się, co by się stało, gdyby Bob gdzieś podczas swojej podróży postanowił zmierzyć swój kubit względem pomiaru w bazie standardowej. Gdyby to zrobił, uzyskałby wynik $0$ z prawdopodobieństwem

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 0\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

w którym to przypadku stan kubitu Alicji staje się $\vert 0\rangle;$ oraz uzyskałby wynik $1$ z prawdopodobieństwem

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 1\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

w którym to przypadku stan kubitu Alicji staje się $\vert 1\rangle.$

Zatem, jeśli zignorujemy wynik pomiaru Boba i skupimy się na kubicie Alicji, dochodzimy do wniosku, że otrzymuje ona stan $\vert 0\rangle$ z prawdopodobieństwem $1/2$ oraz stan $\vert 1\rangle$ z prawdopodobieństwem $1/2.$ Prowadzi nas to do opisania stanu kubitu Alicji w izolacji za pomocą density matrix

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \mathbb{I}_{\mathsf{A}}.$$

To znaczy, kubit Alicji znajduje się w stanie całkowicie mieszanym. Dla jasności: ten opis stanu kubitu Alicji nie obejmuje wyniku pomiaru Boba; ignorujemy Boba całkowicie.

Teraz może się wydawać, że uzyskany przed chwilą opis za pomocą density matrix kubitu Alicji w izolacji opiera się na założeniu, iż Bob zmierzył swój kubit, ale w rzeczywistości tak nie jest. To, co zrobiliśmy, to wykorzystanie możliwości pomiaru kubitu przez Boba jako argumentu, że stan całkowicie mieszany pojawia się jako stan kubitu Alicji, na podstawie tego, czego już się nauczyliśmy. Oczywiście nic nie mówi, że Bob musi zmierzyć swój kubit — ale też nic nie mówi, że tego nie robi. A jeśli znajduje się w odległości lat świetlnych, to nic, co zrobi lub czego nie zrobi, nie może wpłynąć na stan kubitu Alicji rozpatrywany w izolacji. Innymi słowy, otrzymany przez nas opis stanu kubitu Alicji jest jedynym opisem zgodnym z niemożliwością komunikacji szybszej od światła.

Możemy również rozważyć stan kubitu Boba $\mathsf{B},$ który okazuje się być również stanem całkowicie mieszanym. Rzeczywiście, dla wszystkich czterech stanów Bella stwierdzamy, że stanem zredukowanym zarówno kubitu Alicji, jak i kubitu Boba jest stan całkowicie mieszany.

Stany zredukowane dla ogólnego wektora stanu kwantowego

Teraz uogólnijmy właśnie omówiony przykład na dwa dowolne układy $\mathsf{A}$ i $\mathsf{B},$ niekoniecznie kubity w stanie $\vert \phi^+\rangle.$ Założymy, że klasyczne zbiory stanów $\mathsf{A}$ i $\mathsf{B}$ to odpowiednio $\Sigma$ i $\Gamma.$ Density matrix $\rho$ reprezentująca stan układu złożonego $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ ma zatem indeksy wierszy i kolumn odpowiadające iloczynowi kartezjańskiemu $\Sigma\times\Gamma.$

Załóżmy, że stan $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ opisany jest przez wektor stanu kwantowego $\vert\psi\rangle,$ więc density matrix opisująca ten stan to $\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert.$ Otrzymamy opis za pomocą density matrix stanu $\mathsf{A}$ w izolacji, który konwencjonalnie oznaczany jest przez $\rho_{\mathsf{A}}.$ (Czasami używa się górnego indeksu zamiast dolnego.)

Wektor stanu $\vert\psi\rangle$ można wyrazić w postaci

$$\vert\psi\rangle = \sum_{b\in\Gamma} \vert\phi_b\rangle \otimes \vert b\rangle$$

dla jednoznacznie określonej kolekcji wektorów $\{\vert\phi_b\rangle : b\in\Gamma\}.$ W szczególności wektory te można wyznaczyć za pomocą prostego wzoru.

$$\vert\phi_b\rangle = \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr)\vert\psi\rangle$$

Rozumując podobnie jak w poprzednim przykładzie e-bitu, gdybyśmy zmierzyli układ $\mathsf{B}$ pomiarem w bazie standardowej, otrzymalibyśmy każdy wynik $b\in\Gamma$ z prawdopodobieństwem $\|\vert\phi_b\rangle\|^2,$ w którym to przypadku stan $\mathsf{A}$ staje się

$$\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}.$$

Jako density matrix, stan ten można zapisać w następujący sposób.

$$\biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr) \biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr)^{\dagger} = \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2}$$

Uśredniając różne stany zgodnie z prawdopodobieństwami odpowiednich wyników, otrzymujemy density matrix

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \|\vert\phi_b\rangle\|^2 \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

Ślad częściowy

Wzór

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

prowadzi nas do opisu stanu zredukowanego $\mathsf{A}$ dla dowolnej density matrix $\rho$ pary $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ nie tylko stanu czystego.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)$$

Wzór ten musi działać, po prostu z liniowości wraz z faktem, że każdą density matrix można zapisać jako kombinację wypukłą stanów czystych.

Operacja wykonywana na $\rho$ w celu otrzymania $\rho_{\mathsf{A}}$ w tym równaniu jest znana jako partial trace, a ściślej mówimy, że partial trace jest wykonywany na $\mathsf{B},$ lub że $\mathsf{B}$ jest wyśladowany (ang. traced out). Operację tę oznacza się $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}},$ możemy więc zapisać

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} (\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr).$$

Możemy także zdefiniować partial trace na $\mathsf{A},$ tak że to system $\mathsf{A}$ zostaje wyśladowany, a nie $\mathsf{B},$ w następujący sposób.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} (\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl(\langle a \vert\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl(\vert a \rangle\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr)$$

Daje nam to opis za pomocą density matrix $\rho_{\mathsf{B}}$ stanu $\mathsf{B}$ w izolacji, a nie $\mathsf{A}.$

Podsumowując, jeśli $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ jest dowolną parą systemów i mamy density matrix $\rho$ opisującą stan $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ to reduced states systemów $\mathsf{A}$ i $\mathsf{B}$ są następujące.

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{A}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)\\[2mm] \rho_{\mathsf{B}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle\otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}} \bigr) \end{aligned}$$

Jeśli $\rho$ jest density matrix, to $\rho_{\mathsf{A}}$ oraz $\rho_{\mathsf{B}}$ również z konieczności będą density matrices.

Pojęcia te można w naturalny sposób uogólnić na dowolną liczbę systemów w miejsce dwóch. Ogólnie, możemy umieścić nazwy dowolnie wybranych systemów w indeksie dolnym density matrix $\rho,$ aby opisać reduced state właśnie tych systemów. Na przykład, jeśli $\mathsf{A},$ $\mathsf{B}$ oraz $\mathsf{C}$ są systemami, a $\rho$ jest density matrix opisującą stan $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C}),$ to możemy zdefiniować

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{AC}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \\[2mm] \rho_{\mathsf{C}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{AB}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \langle a \vert \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \end{aligned}$$

i analogicznie dla innych wyborów systemów.

Alternatywny opis partial trace

Alternatywnym sposobem opisania odwzorowań partial trace $\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}$ oraz $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}$ jest stwierdzenie, że są to jedyne odwzorowania liniowe spełniające wzory

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(M) N \\[2mm] \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(N) M. \end{aligned}$$

W tych wzorach $N$ i $M$ są macierzami kwadratowymi odpowiednich rozmiarów: wiersze i kolumny $M$ odpowiadają stanom klasycznym $\mathsf{A},$ a wiersze i kolumny $N$ odpowiadają stanom klasycznym $\mathsf{B}.$

Ta charakteryzacja partial trace jest nie tylko fundamentalna z matematycznego punktu widzenia, ale w niektórych sytuacjach pozwala także na szybkie obliczenia. Rozważmy na przykład następujący stan pary qubits $(\mathsf{A},\mathsf{B}).$

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert +\rangle\langle +\vert$$

Aby obliczyć na przykład reduced state $\rho_{\mathsf{A}},$ możemy skorzystać z liniowości wraz z faktem, że $\vert 0\rangle\langle 0\vert$ oraz $\vert +\rangle\langle +\vert$ mają jednostkowy ślad.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert +\rangle\langle +\vert\bigr) \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert$$

Reduced state $\rho_{\mathsf{B}}$ można obliczyć podobnie.

$$\rho_{\mathsf{B}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) \vert +\rangle\langle +\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert$$

Partial trace dla dwóch qubits

Partial trace można także opisać jawnie w kategoriach macierzy. Tutaj zrobimy to tylko dla dwóch qubits, ale można to również uogólnić na większe systemy. Załóżmy, że mamy dwa qubits $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ tak że dowolną density matrix opisującą stan tych dwóch qubits można zapisać jako

$$\rho = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

dla pewnego wyboru liczb zespolonych $\{\alpha_{jk} : 0\leq j,k\leq 3\}.$

Ślad częściowy po pierwszym systemie wyraża się następującym wzorem.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{22} & \alpha_{01} + \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{10} + \alpha_{32} & \alpha_{11} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

Jednym ze sposobów myślenia o tym wzorze jest rozpatrywanie macierzy $4\times 4$ jako macierzy blokowych $2\times 2$, w których każdy blok ma wymiar $2\times 2.$ To znaczy,

$$\rho = \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix}$$

dla

$$M_{0,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix}, \quad M_{0,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03} \\[2mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix}, \quad M_{1,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21} \\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix}, \quad M_{1,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23} \\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}.$$

Mamy wówczas

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}\begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = M_{0,0} + M_{1,1}.$$

Oto wzór na przypadek, gdy śladem obejmujemy drugi system zamiast pierwszego.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[1mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21}\\[1mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[1mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{11} & \alpha_{02} + \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} + \alpha_{31} & \alpha_{22} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

W kategoriach macierzy blokowych o postaci podobnej do poprzedniej otrzymujemy następujący wzór.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr}(M_{0,0}) & \operatorname{Tr}(M_{0,1}) \\[1mm] \operatorname{Tr}(M_{1,0}) & \operatorname{Tr}(M_{1,1}) \end{pmatrix}$$

Blokowe opisy macierzowe tych funkcji można rozszerzyć na systemy większe niż qubity w sposób naturalny i bezpośredni. Aby zakończyć lekcję, zastosujmy te wzory do tego samego stanu, który rozważaliśmy powyżej.

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle \langle 1 \vert \otimes \vert +\rangle \langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$

Reduced state pierwszego układu $\mathsf{A}$ wynosi

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

a reduced state drugiego układu $\mathsf{B}$ wynosi

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$