Sfera Blocha

Istnieje użyteczny geometryczny sposób reprezentowania stanów qubitów, zwany sferą Blocha. Jest bardzo wygodny, niestety jednak działa tylko dla qubitów — analogiczna reprezentacja przestaje odpowiadać obiektowi sferycznemu, gdy tylko klasyczne stany układu stają się trzy lub więcej.

Stany qubitów jako punkty na sferze

Zacznijmy od wektora stanu kwantowego qubitu: $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle.$ Możemy ograniczyć uwagę do wektorów, dla których $\alpha$ jest nieujemną liczbą rzeczywistą, ponieważ każdy wektor stanu qubitu jest równoważny — z dokładnością do globalnej fazy — takiemu, dla którego $\alpha \geq 0.$ Pozwala nam to zapisać

$$\vert\psi\rangle = \cos\bigl(\theta/2\bigr) \vert 0\rangle + e^{i\phi} \sin\bigl(\theta/2\bigr) \vert 1\rangle$$

dla dwóch liczb rzeczywistych $\theta \in [0,\pi]$ i $\phi\in[0,2\pi).$ Dopuszczamy tutaj, że $\theta$ przyjmuje wartości od $0$ do $\pi$, a argument sinusa i cosinusa dzielimy przez $2$, bo jest to konwencjonalny sposób parametryzacji wektorów tego rodzaju — i trochę później uprości nam to obliczenia.

Nie jest całkiem tak, że liczby $\theta$ i $\phi$ są jednoznacznie wyznaczone przez dany wektor stanu kwantowego $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle,$ ale prawie. W szczególności, jeśli $\beta = 0,$ to $\theta = 0$ i wartość $\phi$ nie ma żadnego znaczenia, więc można ją wybrać dowolnie. Podobnie, jeśli $\alpha = 0,$ to $\theta = \pi,$ i znowu $\phi$ jest nieistotne (nasz stan jest bowiem równoważny $e^{i\phi}\vert 1\rangle$ dla dowolnego $\phi$ z dokładnością do globalnej fazy). Jeśli jednak ani $\alpha$, ani $\beta$ nie jest zerem, istnieje dokładnie jeden wybór pary $(\theta,\phi)$, dla którego $\vert\psi\rangle$ jest równoważne $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ z dokładnością do globalnej fazy.

Przejdźmy teraz do reprezentacji tego stanu za pomocą macierzy gęstości.

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\theta/2) & e^{-i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2)\\[2mm] e^{i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2) & \sin^2(\theta/2) \end{pmatrix}$$

Możemy skorzystać z kilku tożsamości trygonometrycznych,

$$\begin{gathered} \cos^2(\theta/2) = \frac{1 + \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \sin^2(\theta/2) = \frac{1 - \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \cos(\theta/2) \sin(\theta/2) = \frac{\sin(\theta)}{2}, \end{gathered}$$

a także wzoru $e^{i\phi} = \cos(\phi) + i\sin(\phi),$ aby uprościć macierz gęstości w następujący sposób.

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 + \cos(\theta) & (\cos(\phi) - i \sin(\phi)) \sin(\theta)\\[1mm] (\cos(\phi) + i \sin(\phi)) \sin(\theta) & 1 - \cos(\theta) \end{pmatrix}$$

Łatwo teraz wyrazić tę macierz gęstości jako kombinację liniową macierzy Pauliego:

$$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\[1mm] i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Konkretnie dochodzimy do wniosku, że

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{\mathbb{I} + \sin(\theta) \cos(\phi)\sigma_x + \sin(\theta)\sin(\phi) \sigma_y + \cos(\theta) \sigma_z}{2}.$$

Współczynniki przy $\sigma_x,$ $\sigma_y$ i $\sigma_z$ w liczniku tego wyrażenia są liczbami rzeczywistymi, więc możemy je zebrać razem, tworząc wektor w zwykłej trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej.

$$\bigl(\sin(\theta) \cos(\phi), \sin(\theta)\sin(\phi), \cos(\theta)\bigr)$$

Jest to w istocie wektor jednostkowy. Korzystając ze współrzędnych sferycznych, możemy go zapisać jako $(1,\theta,\phi).$ Pierwsza współrzędna, $1,$ oznacza promień (który w tym przypadku wynosi zawsze $1$), $\theta$ — kąt polarny, a $\phi$ — kąt azymutalny.

Mówiąc obrazowo: myśląc o sferze jak o planecie Ziemia, kąt polarny $\theta$ określa, jak daleko na południe obracamy się od bieguna północnego, aby dotrzeć do opisywanego punktu — od $0$ do $\pi = 180^{\circ}$ — natomiast kąt azymutalny $\phi$ wyznacza, jak daleko na wschód obracamy się od południka zerowego — od $0$ do $2\pi = 360^{\circ}.$ Przyjmujemy przy tym, że południk zerowy jest krzywą na powierzchni sfery biegnącą od bieguna do bieguna i przechodzącą przez dodatnią oś $x$.

Każdy punkt na sferze można opisać w ten sposób — oznacza to, że punkty otrzymywane po przejrzeniu wszystkich możliwych czystych stanów qubitu odpowiadają dokładnie sferze w $3$ rzeczywistych wymiarach. (Sferę tę nazywamy zazwyczaj jednostkową $2$-sferą, ponieważ jej powierzchnia jest dwuwymiarowa.)

Gdy kojarzymy punkty na jednostkowej $2$-sferze z czystymi stanami qubitów, otrzymujemy reprezentację sfery Blocha tych stanów.

Sześć ważnych przykładów

1. Standardowa baza $\{\vert 0\rangle,\vert 1\rangle\}.$ Zacznijmy od stanu $\vert 0\rangle.$ Jako macierz gęstości możemy go zapisać tak.

   $$\vert 0 \rangle \langle 0 \vert = \frac{\mathbb{I} + \sigma_z}{2}$$

   Zbierając współczynniki przy macierzach Pauliego w liczniku, widzimy, że odpowiadający punkt na jednostkowej $2$-sferze we współrzędnych kartezjańskich to $(0,0,1).$ We współrzędnych sferycznych punkt ten wynosi $(1,0,\phi),$ gdzie $\phi$ może być dowolnym kątem. Jest to zgodne z wyrażeniem

   $$\vert 0\rangle = \cos(0) \vert 0\rangle + e^{i \phi} \sin(0) \vert 1\rangle,$$

   które działa dla dowolnego $\phi.$ Intuicyjnie: kąt polarny $\theta$ wynosi zero, więc jesteśmy na biegunie północnym sfery Blocha, gdzie kąt azymutalny jest nieistotny.

   Podobnie, macierz gęstości stanu $\vert 1\rangle$ możemy zapisać następująco.

   $$\vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \frac{\mathbb{I} - \sigma_z}{2}$$

   Tym razem współrzędne kartezjańskie wynoszą $(0,0,-1).$ We współrzędnych sferycznych punkt ten to $(1,\pi,\phi)$, gdzie $\phi$ może być dowolnym kątem. Kąt polarny sięga tu aż do $\pi$, więc jesteśmy na biegunie południowym, gdzie kąt azymutalny jest znowu nieistotny.

2. Baza $\{\vert + \rangle, \vert - \rangle\}.$ Mamy następujące wyrażenia na macierze gęstości odpowiadające tym stanom.

   $$\begin{aligned} \vert {+} \rangle\langle {+} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_x}{2}\\[2mm] \vert {-} \rangle\langle {-} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_x}{2} \end{aligned}$$

   Odpowiednie punkty na jednostkowej $2$-sferze mają współrzędne kartezjańskie $(1,0,0)$ i $(-1,0,0),$ a sferyczne $(1,\pi/2,0)$ i $(1,\pi/2,\pi).$

   Innymi słowy, $\vert +\rangle$ odpowiada punktowi, w którym dodatnia oś $x$ przecina jednostkową $2$-sferę, a $\vert -\rangle$ — punktowi, gdzie przecina ją ujemna oś $x$. Bardziej intuicyjnie: $\vert +\rangle$ leży na równiku sfery Blocha tam, gdzie styka się on z południkiem zerowym, a $\vert - \rangle$ leży na równiku po przeciwnej stronie sfery.

3. Baza $\{\vert {+i} \rangle, \vert {-i} \rangle\}.$ Jak widzieliśmy wcześniej w tej lekcji, te dwa stany są zdefiniowane następująco:

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle\\[2mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

   Tym razem mamy następujące wyrażenia.

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_y}{2}\\[2mm] \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_y}{2} \end{aligned}$$

   Odpowiednie punkty na jednostkowej $2$-sferze mają współrzędne kartezjańskie $(0,1,0)$ i $(0,-1,0),$ a sferyczne $(1,\pi/2,\pi/2)$ i $(1,\pi/2,3\pi/2).$

   Innymi słowy, $\vert {+i} \rangle$ odpowiada punktowi, w którym dodatnia oś $y$ przecina jednostkową $2$-sferę, a $\vert {-i} \rangle$ — punktowi, gdzie przecina ją ujemna oś $y$.

Oto kolejna klasa wektorów stanu kwantowego, która pojawiała się wielokrotnie w tej serii — w tym wcześniej w tej lekcji.

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle = \cos(\alpha) \vert 0\rangle + \sin(\alpha) \vert 1\rangle \qquad \text{(for $\alpha \in [0,\pi)$)}$$

Reprezentacja każdego z tych stanów za pomocą macierzy gęstości wygląda następująco.

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle \langle \psi_{\alpha} \vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\alpha) & \cos(\alpha)\sin(\alpha)\\[2mm] \cos(\alpha)\sin(\alpha) & \sin^2(\alpha) \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \sin(2\alpha) \sigma_x + \cos(2\alpha) \sigma_z}{2}$$

Poniższy rysunek ilustruje odpowiadające punkty na sferze Blocha dla kilku wartości $\alpha.$

Kombinacje wypukłe punktów

Podobnie jak w przypadku macierzy gęstości, możemy tworzyć kombinacje wypukłe punktów na sferze Blocha, otrzymując reprezentacje kwantowych macierzy gęstości qubitu. Ogólnie rzecz biorąc, prowadzi to do punktów wewnątrz sfery Blocha, które reprezentują macierze gęstości stanów nieczystych. Czasem mówimy o kuli Blocha, gdy chcemy wprost zaznaczyć, że uwzględniamy też punkty wewnętrzne sfery jako reprezentacje kwantowych macierzy gęstości qubitu.

Na przykład, widzieliśmy już, że macierz gęstości $\frac{1}{2}\mathbb{I},$ reprezentująca całkowicie mieszany stan qubitu, można zapisać na dwa alternatywne sposoby:

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \quad\text{and}\quad \frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert + \frac{1}{2} \vert -\rangle\langle -\vert.$$

Mamy również

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert {+i}\rangle\langle {+i} \vert + \frac{1}{2} \vert {-i} \rangle\langle {-i}\vert,$$

a ogólniej możemy użyć dowolnych dwóch prostopadłych wektorów stanu qubitu (które zawsze odpowiadają dwóm antypodalnym punktom na sferze Blocha). Jeśli uśrednimy odpowiednie punkty na sferze Blocha w podobny sposób, otrzymamy ten sam punkt — w tym przypadku środek sfery. Jest to zgodne z obserwacją, że

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{\mathbb{I} + 0 \cdot \sigma_x + 0 \cdot \sigma_y + 0 \cdot \sigma_z}{2},$$

co daje nam współrzędne kartezjańskie $(0,0,0).$

Inny przykład dotyczący kombinacji wypukłych punktów sfery Blocha to ten omówiony w poprzedniej podsekcji.

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8} \rangle \langle \psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8} \rangle \langle \psi_{5\pi/8}\vert$$

Poniższy rysunek ilustruje te dwa różne sposoby otrzymania tej macierzy gęstości jako kombinacji wypukłej stanów czystych.