Podstawy macierzy gęstości

Zaczniemy od opisania, czym są density matrices w ujęciu matematycznym, a następnie przyjrzymy się kilku przykładom. Po tym omówimy kilka podstawowych aspektów tego, jak działają density matrices i jak odnoszą się do wektorów stanu kwantowego w uproszczonym sformułowaniu informacji kwantowej.

Definicja

Załóżmy, że mamy układ kwantowy o nazwie $\mathsf{X},$ i niech $\Sigma$ będzie (skończonym i niepustym) klasycznym zbiorem stanów tego układu. Nawiązujemy tu do konwencji nazewniczych stosowanych w kursie „Podstawy informacji kwantowej", z których będziemy korzystać zawsze, gdy nadarzy się okazja.

W ogólnym sformułowaniu informacji kwantowej stan kwantowy układu $\mathsf{X}$ opisuje density matrix $\rho,$ której elementy są liczbami zespolonymi, a indeksy (zarówno wierszy, jak i kolumn) odpowiadają klasycznemu zbiorowi stanów $\Sigma.$ Mała grecka litera $\rho$ jest konwencjonalnym pierwszym wyborem nazwy dla density matrix, choć $\sigma$ i $\xi$ są również popularnymi wyborami.

Oto kilka przykładów density matrices opisujących stany qubitów:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{i}{8}\\[2mm] -\frac{i}{8} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}, \quad\text{and}\quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Powiedzieć, że $\rho$ jest density matrix, to stwierdzić, że spełnione są oba poniższe warunki, które za chwilę zostaną wyjaśnione:

1. Jednostkowy trace: $\operatorname{Tr}(\rho) = 1.$
2. Dodatnia semidefinitność: $\rho \geq 0.$

Trace macierzy

Pierwszy warunek dotyczący density matrices odnosi się do trace macierzy. Jest to funkcja zdefiniowana dla wszystkich macierzy kwadratowych jako suma elementów na przekątnej:

$$\operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1} & \cdots & \alpha_{0,n-1}\\[1.5mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} & \cdots & \alpha_{1,n-1}\\[1.5mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1.5mm] \alpha_{n-1,0} & \alpha_{n-1,1} & \cdots & \alpha_{n-1,n-1} \end{pmatrix} = \alpha_{0,0} + \alpha_{1,1} + \cdots + \alpha_{n-1,n-1}.$$

Trace jest funkcją liniową: dla dowolnych dwóch macierzy kwadratowych $A$ i $B$ tego samego rozmiaru oraz dowolnych dwóch liczb zespolonych $\alpha$ i $\beta$ następujące równanie jest zawsze prawdziwe.

$$\operatorname{Tr}(\alpha A + \beta B) = \alpha \operatorname{Tr}(A) + \beta\operatorname{Tr}(B)$$

Trace jest niezwykle ważną funkcją i można by o niej powiedzieć o wiele więcej, ale poczekamy, aż zajdzie taka potrzeba.

Macierze dodatnio semidefinitne

Drugi warunek odnosi się do własności macierzy polegającej na byciu dodatnio semidefinitną, co jest pojęciem fundamentalnym w teorii informacji kwantowej i wielu innych dziedzinach. Macierz $P$ jest dodatnio semidefinitna, jeśli istnieje macierz $M$ taka, że

$$P = M^{\dagger} M.$$

Możemy tu wymagać, by $M$ była macierzą kwadratową tego samego rozmiaru co $P$, albo dopuścić, by była niekwadratowa — w obu przypadkach otrzymujemy tę samą klasę macierzy.

Istnieje kilka alternatywnych (lecz równoważnych) sposobów zdefiniowania tego warunku, między innymi:

• Macierz $P$ jest dodatnio semidefinitna wtedy i tylko wtedy, gdy $P$ jest Hermitian (tzn. równa swojej sprzężonej transpozycji) i wszystkie jej eigenvalues są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi. Sprawdzenie, czy macierz jest Hermitian i czy wszystkie jej eigenvalues są nieujemne, to prosty obliczeniowy sposób weryfikacji dodatniej semidefinitności.

• Macierz $P$ jest dodatnio semidefinitna wtedy i tylko wtedy, gdy $\langle \psi \vert P \vert \psi \rangle \geq 0$ dla każdego wektora zespolonego $\vert\psi\rangle$ o takich samych indeksach jak wiersze i kolumny $P.$

Intuicyjnym sposobem myślenia o macierzach dodatnio semidefinitnych jest traktowanie ich jako macierzowych odpowiedników nieujemnych liczb rzeczywistych. To znaczy: macierze dodatnio semidefinitne mają się tak do zespolonych macierzy kwadratowych, jak nieujemne liczby rzeczywiste do liczb zespolonych. Na przykład liczba zespolona $\alpha$ jest nieujemną liczbą rzeczywistą wtedy i tylko wtedy, gdy

$$\alpha = \overline{\beta} \beta$$

dla pewnej liczby zespolonej $\beta,$ co odpowiada definicji dodatniej semidefinitności, gdy zastąpimy macierze skalarami. Choć macierze są ogólnie bardziej złożonymi obiektami niż skalary, to jednak jest to pomocny sposób myślenia o macierzach dodatnio semidefinitnych.

Wyjaśnia to również popularną notację $P\geq 0,$ oznaczającą, że $P$ jest dodatnio semidefinitna. Zauważ w szczególności, że $P\geq 0$ w tym kontekście nie oznacza, że każdy element $P$ jest nieujemny; istnieją macierze dodatnio semidefinitne z ujemnymi elementami, jak i macierze, których wszystkie elementy są dodatnie, a które nie są dodatnio semidefinitne.

Interpretacja density matrices

W tym miejscu definicja density matrices może wydawać się dość arbitralna i abstrakcyjna, bo nie przypisaliśmy jeszcze żadnego znaczenia tym macierzom ani ich elementom. Sposób działania i interpretacji density matrices będzie wyjaśniany w miarę postępu lekcji, ale na razie może być pomocne myślenie o elementach density matrices w następujący (nieco nieformalny) sposób.

• Przekątne elementy density matrix dają nam prawdopodobieństwa pojawienia się każdego stanu klasycznego, jeśli wykonamy pomiar w standardowej bazie — możemy więc myśleć o tych elementach jako opisujących „wagę" lub „prawdopodobieństwo" przypisane każdemu stanowi klasycznemu.

• Pozaprzekątne elementy density matrix opisują stopień, w jakim dwa stany klasyczne odpowiadające danemu elementowi (tzn. ten odpowiadający wierszowi i ten odpowiadający kolumnie) pozostają w superpozycji kwantowej, a także względną fazę między nimi.

Bynajmniej nie jest oczywiste a priori, że stany kwantowe powinny być reprezentowane przez density matrices. Rzeczywiście, w pewnym sensie wybór reprezentowania stanów kwantowych przez density matrices w naturalny sposób prowadzi do całego matematycznego opisu informacji kwantowej. Wszystko inne w informacji kwantowej wynika całkiem logicznie z tego jednego wyboru!

Związek z wektorami stanu kwantowego

Przypomnij sobie, że wektor stanu kwantowego $\vert\psi\rangle$ opisujący stan kwantowy $\mathsf{X}$ jest wektorem kolumnowym o euklidesowej normie równej $1,$ którego elementy odpowiadają klasycznemu zbiorowi stanów $\Sigma.$ Reprezentacja w postaci density matrix $\rho$ tego samego stanu jest zdefiniowana następująco.

$$\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert$$

Żeby być precyzyjnym: mnożymy wektor kolumnowy przez wektor wierszowy, więc wynikiem jest macierz kwadratowa, której wiersze i kolumny odpowiadają $\Sigma.$ Macierze tej postaci, poza tym że są density matrices, są zawsze projekcjami i mają rząd równy $1.$

Zdefiniujmy na przykład dwa wektorowe stany qubitów.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \\[5mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Density matrices odpowiadające tym dwóm wektorom są następujące.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle{+i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\\[5mm] \vert {-i} \rangle\langle{-i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Oto tabela zestawiająca te stany wraz z kilkoma innymi podstawowymi przykładami: $\vert 0\rangle,$ $\vert 1\rangle,$ $\vert {+}\rangle,$ i $\vert {-}\rangle.$ Wrócimy do tych sześciu stanów w dalszej części lekcji.

Wektor stanu	Density matrix
$\vert 0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\[1mm] 0 \end{pmatrix}$	$\vert 0\rangle\langle 0\vert = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\vert 1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\[1mm] 1 \end{pmatrix}$	$\vert 1\rangle\langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\vert {+}\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+}\rangle\langle {+}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-}\rangle\langle {-}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {+i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

Dla jeszcze jednego przykładu: oto stan z lekcji Pojedyncze układy kursu „Podstawy informacji kwantowej", wraz z reprezentacją zarówno w postaci wektora stanu, jak i density matrix.

$$\vert v\rangle = \frac{1 + 2 i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle \qquad \vert v\rangle\langle v\vert = \begin{pmatrix} \frac{5}{9} & \frac{-2 - 4 i}{9}\\[2mm] \frac{-2 + 4 i}{9} & \frac{4}{9} \end{pmatrix}$$

Density matrices mające postać $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ dla wektora stanu kwantowego $\vert \psi \rangle$ są nazywane stanami czystymi. Nie każda density matrix może być zapisana w tej postaci; niektóre stany nie są czyste.

Jako density matrices, stany czyste mają zawsze jeden eigenvalue równy $1$ i wszystkie pozostałe eigenvalues równe $0.$ Jest to spójne z interpretacją, że eigenvalues density matrix opisują losowość lub niepewność nieodłącznie związaną z danym stanem. W istocie, dla stanu czystego $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ nie ma żadnej niepewności — stan jest na pewno $\vert \psi \rangle.$

Ogólnie, dla wektora stanu kwantowego

$$\vert\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_0\\ \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_{n-1} \end{pmatrix}$$

układu z $n$ stanami klasycznymi, reprezentacja tego samego stanu w postaci density matrix wygląda następująco.

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle\langle\psi\vert & = \begin{pmatrix} \alpha_0 \overline{\alpha_0} & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \alpha_1 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_{n-1}} \end{pmatrix}\\[10mm] & = \begin{pmatrix} \vert\alpha_0\vert^2 & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \vert\alpha_1\vert^2 & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \vert\alpha_{n-1}\vert^2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Tak więc w szczególnym przypadku stanów czystych możemy zweryfikować, że przekątne elementy density matrix opisują prawdopodobieństwa, z jakimi pomiar w standardowej bazie zwróci każdy możliwy stan klasyczny.

Na koniec warto zauważyć, że density matrices eliminują degenerację związaną z fazami globalnymi, która pojawia się przy wektorach stanu kwantowego. Załóżmy, że mamy dwa wektory stanu kwantowego różniące się o fazę globalną: $\vert \psi \rangle$ i $\vert \phi \rangle = e^{i \theta} \vert \psi \rangle,$ dla pewnej liczby rzeczywistej $\theta.$ Ponieważ różnią się o fazę globalną, te wektory reprezentują dokładnie ten sam stan kwantowy, mimo że same wektory mogą być różne. Natomiast density matrices otrzymane z tych dwóch wektorów stanu są identyczne.

$$\vert \phi \rangle \langle \phi \vert = \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr) \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = e^{i(\theta - \theta)} \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$$

Ogólnie, density matrices zapewniają jednoznaczną reprezentację stanów kwantowych: dwa stany kwantowe są identyczne, generując dokładnie takie same statystyki wyników dla każdego możliwego pomiaru, jaki można na nich wykonać, wtedy i tylko wtedy, gdy ich reprezentacje w postaci density matrices są równe. Posługując się językiem matematyki, możemy to wyrazić, mówiąc, że density matrices oferują wierną reprezentację stanów kwantowych.