Twierdzenie Naimarka

Twierdzenie Naimarka to fundamentalny fakt dotyczący pomiarów. Mówi ono, że każdy ogólny pomiar można zrealizować w prosty sposób przypominający reprezentacje Stinespringa dla kanałów:

1. Mierzony system łączy się najpierw z zainicjalizowanym systemem pomocniczym (ancilla), tworząc układ złożony.
2. Na tym układzie złożonym wykonuje się operację unitarną.
3. Na koniec system pomocniczy jest mierzony względem pomiaru w bazie standardowej, co daje wynik oryginalnego ogólnego pomiaru.

Sformułowanie i dowód twierdzenia

Niech $\mathsf{X}$ będzie systemem, a $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ będzie zbiorem macierzy dodatnio półokreślonych spełniających warunek

$$P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$$

co oznacza, że opisują one pomiar systemu $\mathsf{X}.$ Niech ponadto $\mathsf{Y}$ będzie systemem, którego klasyczny zbiór stanów to $\{0,\ldots,m-1\},$ czyli zbiór możliwych wyników tego pomiaru.

Twierdzenie Naimarka głosi, że istnieje operacja unitarna $U$ na układzie złożonym $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ taka, że implementacja zasugerowana przez poniższy rysunek daje wyniki pomiaru zgodne z zadanym pomiarem $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\},$ to znaczy prawdopodobieństwa poszczególnych możliwych wyników pomiaru dokładnie się zgadzają.

Ściślej, system $\mathsf{X}$ zaczyna w pewnym dowolnym stanie $\rho,$ a $\mathsf{Y}$ jest zainicjalizowany w stanie $\vert 0\rangle.$ Operacja unitarna $U$ jest stosowana do $(\mathsf{Y},\mathsf{X}),$ a następnie system $\mathsf{Y}$ jest mierzony pomiarem w bazie standardowej, dając pewien wynik $a\in\{0,\ldots,m-1\}.$

System $\mathsf{X}$ jest pokazany jako część wyjścia układu, ale na razie nie będziemy się zajmować stanem $\mathsf{X}$ po wykonaniu $U$ i możemy założyć, że bierzemy po nim ślad częściowy (pomijamy go). Stanem $\mathsf{X}$ po wykonaniu $U$ zajmiemy się jednak później w tej lekcji.

Ta implementacja pomiaru jest wyraźnie reminiscencją reprezentacji Stinespringa kanału, a matematyczne podstawy są podobne. Różnica polega na tym, że tutaj system pomocniczy jest mierzony, a nie pomijamy go biorąc ślad częściowy, jak w przypadku reprezentacji Stinespringa.

Fakt, że każdy pomiar można zrealizować w ten sposób, jest dość prosty do udowodnienia, ale najpierw potrzebujemy pewnego faktu dotyczącego macierzy dodatnio półokreślonych.

Fakt

Niech $P$ będzie macierzą dodatnio półokreśloną wymiaru $n \times n$. Istnieje dokładnie jedna macierz dodatnio półokreślona $Q$ wymiaru $n\times n$ taka, że $Q^2 = P.$ Ta jedyna macierz dodatnio półokreślona nazywana jest pierwiastkiem kwadratowym z $P$ i jest oznaczana $\sqrt{P}.$

Jednym ze sposobów znalezienia pierwiastka kwadratowego z macierzy dodatnio półokreślonej jest obliczenie rozkładu spektralnego.

$$P = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Ponieważ $P$ jest dodatnio półokreślona, jej wartości własne muszą być nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, a zastępując je ich pierwiastkami kwadratowymi, otrzymujemy wyrażenie na pierwiastek kwadratowy z $P.$

$$\sqrt{P} = \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Dysponując tym pojęciem, jesteśmy gotowi udowodnić twierdzenie Naimarka. Zakładając, że $\mathsf{X}$ ma $n$ klasycznych stanów, operację unitarną $U$ na parze $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ można przedstawić macierzą $nm\times nm$, którą możemy traktować jako macierz blokową $m\times m$, której bloki mają wymiar $n\times n.$ Kluczem do dowodu jest wzięcie $U$ jako dowolnej macierzy unitarnej pasującej do następującego wzorca.

$$U = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

Aby można było uzupełnić bloki oznaczone znakiem zapytania tak, żeby $U$ była unitarna, konieczne i wystarczające jest, by pierwsze $n$ kolumn, tworzonych przez bloki $\sqrt{P_0},\ldots,\sqrt{P_{m-1}},$ było ortonormalnych. Możemy wtedy użyć procesu ortogonalizacji Grama-Schmidta, żeby wypełnić pozostałe kolumny — dokładnie tak, jak spotkaliśmy się z tym w poprzedniej lekcji.

Pierwsze $n$ kolumn macierzy $U$ można wyrazić jako wektory w następujący sposób, gdzie $c = 0,\ldots,n-1$ oznacza numer kolumny zaczynając od $0.$

$$\vert\gamma_c\rangle = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a \rangle \otimes \sqrt{P_a} \vert c\rangle$$

Możemy obliczyć iloczyn skalarny dowolnych dwóch z nich w następujący sposób.

$$\langle \gamma_c \vert \gamma_d \rangle = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \langle a \vert b \rangle \cdot \langle c \vert \sqrt{P_a}\sqrt{P_b}\, \vert d\rangle = \langle c \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert d\rangle = \langle c \vert d\rangle$$

Pokazuje to, że te kolumny są rzeczywiście ortonormalne, więc możemy uzupełnić pozostałe kolumny macierzy $U$ w sposób gwarantujący, że cała macierz jest unitarna.

Pozostaje sprawdzić, czy prawdopodobieństwa wyników pomiaru dla symulacji są zgodne z oryginalnym pomiarem. Dla danego stanu początkowego $\rho$ systemu $\mathsf{X}$ pomiar opisany zbiorem $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ daje każdy wynik $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ z prawdopodobieństwem $\operatorname{Tr}(P_a \rho).$

Żeby uzyskać prawdopodobieństwa wyników symulacji, nadajmy najpierw nazwę $\sigma$ stanowi układu $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ po wykonaniu $U.$ Ten stan można wyrazić następująco.

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}$$

Równoważnie, w formie macierzy blokowej, mamy następujące równanie.

$$\begin{aligned} \sigma & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \rho & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \sqrt{P_1} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}\\[5mm] & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_{m-1}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Zauważmy, że wpisy macierzy $U$ należące do bloków oznaczonych znakiem zapytania nie mają żadnego wpływu na wynik, ponieważ sprzęgamy macierz postaci $\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$ — zatem wpisy ze znakami zapytania są zawsze mnożone przez zerowe wpisy macierzy $\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$ przy obliczaniu iloczynu macierzy.

Teraz możemy przeanalizować, co się dzieje, gdy na $\mathsf{Y}$ wykonywany jest pomiar w bazie standardowej. Prawdopodobieństwa możliwych wyników są dane przez diagonalne wpisy zredukowanego stanu $\sigma_{\mathsf{Y}}$ systemu $\mathsf{Y}.$

$$\sigma_{\mathsf{Y}} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}\Bigr) \vert a\rangle \langle b \vert$$

W szczególności, korzystając z cyklicznej własności śladu, widzimy, że prawdopodobieństwo uzyskania danego wyniku $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ jest następujące.

$$\langle a \vert \sigma_{\mathsf{Y}} \vert a \rangle = \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}\Bigr) = \operatorname{Tr}(P_a \rho)$$

Zgadza się to z oryginalnym pomiarem, co potwierdza poprawność symulacji.

Pomiary nieniszczące

Do tej pory w tej lekcji zajmowaliśmy się pomiarami niszczącymi, gdzie wyjście składa się wyłącznie z klasycznego wyniku pomiaru i nie ma żadnej specyfikacji kwantowego stanu po pomiarze systemu, który był mierzony.

Pomiary nieniszczące robią natomiast dokładnie to. Konkretnie, pomiary nieniszczące opisują nie tylko prawdopodobieństwa klasycznych wyników pomiaru, ale także stan mierzonego systemu uwarunkowany każdym możliwym wynikiem pomiaru. Warto zaznaczyć, że termin nieniszczący odnosi się do systemu będącego przedmiotem pomiaru, ale niekoniecznie do jego stanu, który w wyniku pomiaru może się znacznie zmienić.

Ogólnie, dla danego pomiaru niszczącego, istnieje wiele (w istocie nieskończenie wiele) pomiarów nieniszczących zgodnych z danym pomiarem niszczącym, co oznacza, że prawdopodobieństwa klasycznych wyników pomiaru dokładnie zgadzają się z pomiarem niszczącym. Nie ma więc unikalnego sposobu zdefiniowania kwantowego stanu systemu po pomiarze dla danego pomiaru.

W rzeczywistości można jeszcze bardziej uogólnić pomiary nieniszczące, tak aby dawały klasyczny wynik pomiaru wraz z kwantowym stanem wyjściowym systemu, który niekoniecznie jest tym samym systemem co system wejściowy.

Pojęcie pomiaru nieniszczącego jest interesującą i użyteczną abstrakcją. Należy jednak pamiętać, że pomiary nieniszczące zawsze można opisać jako złożenia kanałów i pomiarów niszczących — co oznacza, że to pojęcie pomiaru niszczącego jest w pewnym sensie bardziej fundamentalne.

Na podstawie twierdzenia Naimarka

Rozważmy symulację ogólnego pomiaru jak w twierdzeniu Naimarka. Prosty sposób uzyskania pomiaru nieniszczącego z tej symulacji jest ukazany przez poprzedni rysunek, gdzie system $\mathsf{X}$ nie jest pomijany przez ślad częściowy, lecz stanowi część wyjścia. Daje to zarówno klasyczny wynik pomiaru $a\in\{0,\ldots,m-1\}$, jak i kwantowy stan po pomiarze systemu $\mathsf{X}.$

Opiszmy te stany w kategoriach matematycznych. Zakładamy, że stan początkowy $\mathsf{X}$ to $\rho,$ tak więc po wprowadzeniu zainicjalizowanego systemu $\mathsf{Y}$ i wykonaniu $U$, układ $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ jest w stanie

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}.$$

Prawdopodobieństwa pojawienia się różnych klasycznych wyników są takie same jak wcześniej — nie mogą się zmienić w wyniku naszej decyzji o tym, czy ignorować $\mathsf{X}$, czy nie. Tzn. otrzymujemy każde $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ z prawdopodobieństwem $\operatorname{Tr}(P_a \rho).$

Uwarunkowany uzyskaniem konkretnego wyniku pomiaru $a,$ wynikowy stan $\mathsf{X}$ jest dany poniższym wyrażeniem.

$$\frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}$$

Jednym ze sposobów to zobaczenia jest przedstawienie pomiaru w bazie standardowej systemu $\mathsf{Y}$ przez kanał całkowicie defazujący $\Delta_m,$ gdzie wyjście kanału opisuje klasyczne wyniki pomiaru jako (diagonalne) macierze gęstości. Wyrażenie stanu, jaki otrzymujemy, jest następujące.

$$\sum_{a,b=0}^{m-1} \Delta_m(\vert a\rangle \langle b \vert) \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b} = \sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}.$$

Możemy następnie zapisać ten stan jako kombinację wypukłą stanów produktowych,

$$\sum_{a=0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho)\, \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)},$$

co jest zgodne z wyrażeniem, które uzyskaliśmy dla stanu $\mathsf{X}$ uwarunkowanego każdym możliwym wynikiem pomiaru.

Na podstawie reprezentacji Krausa

Istnieją alternatywne wybory $U$ w kontekście twierdzenia Naimarka, które dają te same prawdopodobieństwa wyników pomiaru, ale zupełnie inne stany wyjściowe $\mathsf{X}.$

Na przykład jedną z opcji jest podstawienie $(\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes V) U$ w miejsce $U,$ gdzie $V$ jest dowolną operacją unitarną na $\mathsf{X}.$ Zastosowanie $V$ do $\mathsf{X}$ komutuje z pomiarem $\mathsf{Y},$ więc prawdopodobieństwa klasycznych wyników nie zmieniają się, ale teraz stan $\mathsf{X}$ uwarunkowany wynikiem $a$ staje się

$$\frac{V \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

Bardziej ogólnie, możemy zastąpić $U$ macierzą unitarną

$$\Biggl(\sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes V_a\Biggr) U$$

dla dowolnego wyboru operacji unitarnych $V_0,\ldots,V_{m-1}$ na $\mathsf{X}.$ Prawdopodobieństwa klasycznych wyników znowu nie ulegają zmianie, ale teraz stan $\mathsf{X}$ uwarunkowany wynikiem $a$ staje się

$$\frac{V_a \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

Równoważny sposób wyrażenia tej swobody jest związany z reprezentacjami Krausa. Mianowicie, możemy opisać pomiar nieniszczący o $m$ wynikach systemu mającego $n$ klasycznych stanów przez wybór macierzy Krausa $A_0,\ldots,A_{m-1}$ wymiaru $n\times n$ spełniających typowy warunek dla macierzy Krausa.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \tag{1}$$

Zakładając, że stan początkowy $\mathsf{X}$ to $\rho,$ klasyczny wynik pomiaru wynosi $a$ z prawdopodobieństwem

$$\operatorname{Tr}\bigl(A_a \rho A_a^{\dagger}\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl(A_a^{\dagger} A_a \rho \bigr)$$

i uwarunkowany wynikiem $a$ stan $\mathsf{X}$ staje się

$$\frac{A_a \rho A_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(A_a^{\dagger}A_a \rho)}.$$

Warto zauważyć, że jest to równoważne wybraniu operacji unitarnej $U$ w twierdzeniu Naimarka w następujący sposób.

$$U = \begin{pmatrix} A_{0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] A_{1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] A_{m-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

W poprzedniej lekcji zauważyliśmy, że kolumny tworzone przez bloki $A_0,\ldots,A_{m-1}$ muszą być ortogonalne, na mocy warunku $(1).$

Uogólnienia

Istnieją jeszcze bardziej ogólne sposoby formułowania pomiarów nieniszczących niż te, które omówiliśmy. Pojęcie instrumentu kwantowego (które nie zostanie tu opisane) reprezentuje jeden ze sposobów na to.