Kod repetycyjny — powrót do tematu

Teraz przyjrzymy się ponownie 3-bitowemu kodowi repetycyjnemu, tym razem ujmując go w kategoriach operacji Pauliego. Będzie to nasz pierwszy przykład kodu stabilizatorowego.

Obserwable Pauliego dla kodu repetycyjnego

Przypomnij sobie, że gdy stosujemy 3-bitowy kod repetycyjny do kubitów, dany wektor stanu kubitu $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ jest kodowany jako

$$\vert\psi\rangle = \alpha\vert 000\rangle + \beta\vert 111\rangle.$$

Każdy stan $\vert\psi\rangle$ tej postaci jest poprawnym 3-kubitowym kodowaniem stanu kubitu — lecz gdybyśmy mieli stan, co do którego nie bylibyśmy pewni, moglibyśmy zweryfikować, czy mamy poprawne kodowanie, sprawdzając dwa poniższe równania.

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = \vert\psi\rangle\\[1mm] (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z) \vert\psi\rangle & = \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

Pierwsze równanie mówi, że zastosowanie operacji $Z$ do dwóch lewych kubitów $\vert\psi\rangle$ nie ma żadnego efektu, co oznacza, że $\vert\psi\rangle$ jest wektorem własnym $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ z wartością własną $1.$ Drugie równanie jest analogiczne, z tą różnicą, że operacje $Z$ są stosowane do dwóch prawych kubitów. Chodzi o to, że jeśli potraktujemy $\vert\psi\rangle$ jako kombinację liniową stanów bazy standardowej, to pierwsze równanie oznacza, iż niezerowe współczynniki mogą mieć tylko te stany bazowe, w których dwa lewe bity mają parzystą parzystość (tzn. są równe), a drugie równanie oznacza, że niezerowe współczynniki mogą mieć tylko te stany bazowe, w których dwa prawe bity mają parzystą parzystość.

Równoważnie, jeśli potraktujemy obie operacje Pauliego $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ i $\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ jako obserwable i zmierzymy je obydwie za pomocą układów sugerowanych pod koniec poprzedniej sekcji, to z pewnością uzyskamy wyniki pomiaru odpowiadające wartościom własnym $+1$, ponieważ $\vert\psi\rangle$ jest wektorem własnym obu obserwabli z wartością własną $1.$ Jednak uproszczona wersja (połączonego) układu do niezależnego pomiaru obu obserwabli, pokazana tutaj, jest niczym innym jak układem sprawdzania parzystości dla 3-bitowego kodu repetycyjnego.

Oba powyższe równania implikują zatem, że układ sprawdzania parzystości daje wynik $00,$ czyli syndrom oznaczający, że nie wykryto żadnych błędów.

Operacje Pauliego na 3 kubitach $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ i $\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ są nazywane generatorami stabilizatora tego kodu, a stabilizator kodu to zbiór generowany przez generatory stabilizatora.

$$\langle Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}, \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z\rangle = \{ \mathbb{I}\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}, Z\otimes Z\otimes\mathbb{I}, Z\otimes\mathbb{I}\otimes Z, \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z \}$$

Stabilizator jest fundamentalnie ważnym obiektem matematycznym związanym z tym kodem, a jego rola będzie omawiana w trakcie dalszej części lekcji. Na razie zauważmy, że mogliśmy wybrać inne generatory i odpowiadające im sprawdzenia parzystości — konkretnie biorąc $Z\otimes\mathbb{I}\otimes Z$ zamiast któregokolwiek z wybranych przez nas generatorów — jednak stabilizator i sam kod pozostałyby niezmienione.

Wykrywanie błędów

Teraz zajmiemy się wykrywaniem błędów bitowych (bit-flip) w 3-bitowym kodzie repetycyjnym, skupiając się na interakcjach i relacjach między operacjami Pauliego, które są w to zaangażowane: generatorami stabilizatora i samymi błędami.

Załóżmy, że zakodowaliśmy kubit przy użyciu 3-bitowego kodu repetycyjnego i na lewym kubicie wystąpił błąd bitowy. Powoduje to przekształcenie stanu $\vert\psi\rangle$ zgodnie z działaniem operacji $X$ (czyli błędu $X$).

$$\vert\psi\rangle \mapsto (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle$$

Błąd ten można wykryć, wykonując sprawdzenia parzystości dla 3-bitowego kodu repetycyjnego, jak omówiono w poprzedniej lekcji — co jest równoważne niedestrukcyjnemu pomiarowi generatorów stabilizatora $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ i $\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ jako obserwabli.

Zacznijmy od pierwszego generatora stabilizatora. Stan $\vert\psi\rangle$ doznał błędu $X$ na lewym kubicie i naszym celem jest zrozumienie, jak pomiar tego generatora stabilizatora jako obserwabli jest na ten błąd wrażliwy. Ponieważ $X$ i $Z$ antykomutują, natomiast każda macierz komutuje z macierzą jednostkową, wynika z tego, że $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ antykomutuje z $X\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}.$ Tymczasem, ponieważ $\vert\psi\rangle$ jest poprawnym kodowaniem kubitu, $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ działa trywialnie na $\vert\psi\rangle.$

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})\vert\psi\rangle \\ & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

Wynika z tego, że $(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle$ jest wektorem własnym $Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}$ z wartością własną $-1.$ Gdy pomiar związany z obserwablą $Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}$ jest wykonywany na stanie $(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle,$ wynik jest zatem pewny i odpowiada wartości własnej $-1.$

Analogiczne rozumowanie można zastosować do drugiego generatora stabilizatora, lecz tym razem błąd komutuje z generatorem stabilizatora zamiast z nim antykomutować, więc wynikiem tego pomiaru jest wynik odpowiadający wartości własnej $+1.$

$$\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)\vert\psi\rangle\\ & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

To, co odkrywamy analizując te równania, jest następujące: niezależnie od naszego oryginalnego stanu $\vert\psi\rangle,$ uszkodzony stan jest wektorem własnym obu generatorów stabilizatora, a to, czy wartość własna wynosi $+1$ czy $-1$, jest określone przez to, czy błąd komutuje, czy antykomutuje z każdym generatorem stabilizatora. Dla błędów reprezentowanych przez operacje Pauliego zawsze będzie to jedno albo drugie, ponieważ dowolne dwie operacje Pauliego albo komutują, albo antykomutują. Tymczasem sam stan $\vert\psi\rangle$ nie odgrywa tu ważnej roli — z wyjątkiem faktu, że generatory stabilizatora działają na ten stan trywialnie.

Z tego powodu w ogólności nie musimy przejmować się konkretnym zakodowanym stanem, z którym pracujemy. Liczy się jedynie to, czy błąd komutuje, czy antykomutuje z każdym generatorem stabilizatora. W szczególności, oto istotne równania dotyczące tego konkretnego błędu dla tego kodu.

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})\\[1mm] (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z) \end{aligned}$$

Oto tabela z jednym wierszem dla każdego generatora stabilizatora i jedną kolumną dla każdego błędu. Wpis w tabeli wynosi $+1$ albo $-1$ w zależności od tego, czy błąd i generator stabilizatora komutują, czy antykomutują. Tabela zawiera kolumny tylko dla błędów odpowiadających pojedynczemu przerzutowi bitu, a także braku błędu, który opisany jest przez iloczyn tensorowy tożsamości ze sobą samą trzy razy. Moglibyśmy dodać więcej kolumn dla innych błędów, ale na razie skupimy się tylko na tych.

$$\begin{array}{c|cccc} & \mathbb{I}\otimes\mathbb{I} \otimes\mathbb{I} & X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} & \mathbb{I}\otimes X\otimes\mathbb{I} & \mathbb{I} \otimes\mathbb{I} \otimes X \\ \hline Z\otimes Z\otimes\mathbb{I} & +1 & -1 & -1 & +1 \\ \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z & +1 & +1 & -1 & -1 \end{array}$$

Dla każdego błędu w tabeli odpowiadająca mu kolumna ujawnia, jak ten błąd przekształca dowolne dane kodowanie w wektor własny $+1$ lub $-1$ każdego generatora stabilizatora. Równoważnie, kolumny opisują syndrom, który uzyskalibyśmy ze sprawdzeń parzystości, będących równoważnikami niedestrukcyjnych pomiarów generatorów stabilizatora jako obserwabli. Oczywiście tabela zawiera wpisy $+1$ i $-1$, a nie $0$ i $1$ — i często myśli się o syndromie jako o binarnym ciągu bitów, a nie kolumnie wpisów $+1$ i $-1$ — lecz równie dobrze możemy myśleć o tych wektorach z wpisami $+1$ i $-1$ jako syndromach, łącząc je bezpośrednio z wartościami własnymi generatorów stabilizatora. Ogólnie rzecz biorąc, syndromy mówią nam coś o błędzie, który wystąpił, i jeśli wiemy, że nastąpił jeden z czterech możliwych błędów wymienionych w tabeli, syndrom wskazuje, który to był.

Syndromy

Kodowania dla 3-bitowego kodu repetycyjnego są stanami 3-kubitowymi, więc są wektorami jednostkowymi w 8-wymiarowej zespolonej przestrzeni wektorowej. Cztery możliwe syndromy efektywnie dzielą tę 8-wymiarową przestrzeń na cztery 2-wymiarowe podprzestrzenie, przy czym wektory stanu kwantowego w każdej podprzestrzeni zawsze dają ten sam syndrom. Poniższy diagram ilustruje konkretnie, jak 8-wymiarowa przestrzeń jest podzielona przez dwa generatory stabilizatora.

Każdy generator stabilizatora dzieli przestrzeń na dwie podprzestrzenie równego wymiaru, a mianowicie przestrzeń wektorów własnych $+1$ i przestrzeń wektorów własnych $-1$ dla danej obserwabli. Na przykład wektory własne $+1$ dla $Z\otimes Z\otimes\mathbb{I}$ to kombinacje liniowe stanów bazy standardowej, w których dwa lewe bity mają parzystą parzystość, a wektory własne $-1$ to kombinacje liniowe stanów bazy standardowej, w których dwa lewe bity mają nieparzystą parzystość. Sytuacja jest podobna dla drugiego generatora stabilizatora, z tą różnicą, że dla niego chodzi o dwa prawe bity, a nie dwa lewe.

Cztery 2-wymiarowe podprzestrzenie odpowiadające czterem możliwym syndromom są łatwe do opisania w tym przypadku, co wynika z faktu, że jest to bardzo prosty kod. W szczególności, podprzestrzeń odpowiadająca syndromowi $(+1,+1)$ to przestrzeń rozpiętą przez $\vert 000\rangle$ i $\vert 111\rangle$, czyli przestrzeń poprawnych kodowań (znana też jako przestrzeń kodu), a ogólnie przestrzenie są rozpiętą przez bazę standardową pokazaną w odpowiednich kwadratach.

Syndromy partycjonują również wszystkie 3-kubitowe operacje Pauliego na 4 równoliczne zbiory, w zależności od tego, jaki syndrom ta operacja (jako błąd) by spowodowała. Na przykład każda operacja Pauliego, która komutuje z obydwoma generatorami stabilizatora, daje syndrom $(+1,+1)$ i wśród 64 możliwych 3-kubitowych operacji Pauliego jest dokładnie 16 takich, które należą do tej kategorii (w tym $\mathbb{I}\otimes \mathbb{I}\otimes Z,$ $Z\otimes Z\otimes Z$ i $X\otimes X\otimes X$ na przykład) — i tak samo dla pozostałych 3 syndromów.

Obie te właściwości — że syndromy partycjonują zarówno przestrzeń stanów, w której żyją kodowania, jak i wszystkie operacje Pauliego na tej przestrzeni na równoliczne zbiory — są prawdziwe ogólnie dla kodów stabilizatorowych, które precyzyjnie zdefiniujemy w następnej sekcji.

Choć to w tym miejscu jedynie dygresja, warto wspomnieć, że operacje Pauliego komutujące z obydwoma generatorami stabilizatora — czyli równoważnie operacje Pauliego dające syndrom $(+1,+1)$ — ale niebędące same w sobie proporcjonalne do elementów stabilizatora, okazują się zachowywać dokładnie jak jednokubitowe operacje Pauliego na zakodowanym kubicie (tj. logicznym kubicie) dla tego kodu. Na przykład $X\otimes X \otimes X$ komutuje z obydwoma generatorami stabilizatora, ale sama w sobie nie jest proporcjonalna do żadnego elementu stabilizatora, a efekt tej operacji na kodowanie jest równoważny bramce $X$ na logicznym kubicie, który jest kodowany.

$$(X\otimes X \otimes X)(\alpha \vert 000\rangle + \beta \vert 111\rangle) = \alpha \vert 111\rangle + \beta \vert 000\rangle$$

To jest zjawisko, które uogólnia się na wszystkie kody stabilizatorowe.