Operacje Pauli i obserwable

Macierze Pauli odgrywają centralną rolę w formalizmie Stabilizer. Zaczniemy lekcję od omówienia macierzy Pauli, w tym niektórych ich podstawowych własności algebraicznych, a następnie omówimy, jak macierze Pauli (oraz iloczyny tensorowe macierzy Pauli) mogą opisywać pomiary.

Podstawy operacji Pauli

Oto macierze Pauli, w tym macierz jednostkowa $2\times 2$ oraz trzy niejednostkowe macierze Pauli.

$$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad X = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad Y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix} \qquad Z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Własności macierzy Pauli

Wszystkie cztery macierze Pauli są jednocześnie unitarne i Hermitian. Wcześniej w serii używaliśmy oznaczeń $\sigma_x,$ $\sigma_y,$ i $\sigma_z$ dla niejednostkowych macierzy Pauli, jednak w kontekście korekcji błędów przyjęło się stosować wielkie litery $X,$ $Y$ i $Z.$ Tej konwencji trzymaliśmy się w poprzedniej lekcji i będziemy jej przestrzegać w pozostałych lekcjach.

Różne niejednostkowe macierze Pauli antykomutują ze sobą.

$$XY = -YX \qquad XZ = -ZX \qquad YZ = -ZY$$

Te relacje antykomutacji są proste i łatwe do zweryfikowania przez wykonanie mnożeń, ale mają kluczowe znaczenie — zarówno w formalizmie Stabilizer, jak i gdzie indziej. Jak zobaczymy, znaki minus pojawiające się przy odwróceniu kolejności dwóch różnych niejednostkowych macierzy Pauli w iloczynie macierzowym odpowiadają dokładnie wykrywaniu błędów w formalizmie Stabilizer.

Mamy też następujące reguły mnożenia.

$$XX = YY = ZZ = \mathbb{I} \qquad XY = iZ \qquad YZ = iX \qquad ZX = iY$$

Oznacza to, że każda macierz Pauli jest swoją własną odwrotnością (co zawsze zachodzi dla macierzy jednocześnie unitarnych i Hermitian), a iloczyn dwóch różnych niejednostkowych macierzy Pauli wynosi zawsze $\pm i$ razy pozostała niejednostkowa macierz Pauli. W szczególności, z dokładnością do czynnika fazowego, $Y$ jest równoważne $XZ,$ co tłumaczy, dlaczego skupiamy się na błędach $X$ i $Z,$ a pozornie nie interesujemy się błędami $Y$ w kwantowej korekcji błędów; $X$ reprezentuje bit-flip, $Z$ reprezentuje phase-flip, więc (z dokładnością do globalnego czynnika fazowego) $Y$ reprezentuje oba te błędy występujące jednocześnie na tym samym qubit.

Operacje Pauli na wielu qubitach

Wszystkie cztery macierze Pauli reprezentują operacje (które mogą być błędami) na jednym qubit — a biorąc ich iloczyny tensorowe, otrzymujemy operacje na wielu qubitach. Dla porządku terminologicznego: gdy mówimy o n-qubitowej operacji Pauli, mamy na myśli iloczyn tensorowy dowolnych $n$ macierzy Pauli, jak w poniższych przykładach, dla których $n=9.$

$$\begin{gathered} \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \\[1mm] X \otimes X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \\[1mm] X \otimes Y \otimes Z \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes X \otimes Y \otimes Z \end{gathered}$$

Często termin operacja Pauli odnosi się do iloczynu tensorowego macierzy Pauli wraz z czynnikiem fazowym, a niekiedy jedynie do pewnych czynników fazowych, takich jak $\pm 1$ i $\pm i.$ Z matematycznego punktu widzenia istnieją dobre powody, aby dopuszczać takie czynniki fazowe — jednak, żeby zachować możliwie największą prostotę, w tym kursie będziemy używać terminu operacja Pauli w odniesieniu do iloczynu tensorowego macierzy Pauli bez możliwości wystąpienia czynnika fazowego różnego od 1.

Waga n-qubitowej operacji Pauli to liczba niejednostkowych macierzy Pauli w iloczynie tensorowym. Na przykład pierwszy z powyższych przykładów ma wagę $0,$ drugi — wagę $2,$ a trzeci — wagę $6.$ Intuicyjnie rzecz biorąc, waga n-qubitowej operacji Pauli to liczba qubitów, na których działa ona nietrywialnie. Typowo kwantowe kody korekcji błędów projektuje się tak, aby potrafiły wykrywać i korygować błędy reprezentowane przez operacje Pauli, o ile ich waga nie jest zbyt duża.

Operacje Pauli jako generatory

Czasem przydatne jest rozpatrywanie kolekcji operacji Pauli jako generatorów zbiorów (a dokładniej — grup) operacji, w sensie algebraicznym, który może być Ci znany, jeśli masz doświadczenie z teorią grup. Jeśli nie jesteś zaznajomiony/-a z teorią grup, nic nie szkodzi — nie jest ona niezbędna do zrozumienia lekcji. Znajomość podstaw teorii grup jest jednak zdecydowanie zalecana osobom zainteresowanym głębszym zgłębianiem kwantowej korekcji błędów.

Przyjmijmy, że $P_1, \ldots, P_r$ to n-qubitowe operacje Pauli. Gdy mówimy o zbiorze generowanym przez $P_1, \ldots, P_r,$ mamy na myśli zbiór wszystkich macierzy, które można uzyskać przez mnożenie tych macierzy, w dowolnych kombinacjach i w dowolnej kolejności, biorąc każdą dowolną liczbę razy. Do oznaczania tego zbioru używamy notacji $\langle P_1, \ldots, P_r \rangle.$

Na przykład zbiór generowany przez trzy niejednostkowe macierze Pauli jest następujący.

$$\langle X, Y, Z \rangle = \bigl\{\alpha P\,:\,\alpha\in\{1,i,-1,-i\},\; P\in\{\mathbb{I},X,Y,Z\} \bigr\}$$

Można to uzasadnić, korzystając z reguł mnożenia podanych wcześniej. Ten zbiór zawiera 16 różnych macierzy i jest powszechnie nazywany grupą Pauli.

Jako drugi przykład: jeśli usuniemy $Y,$ otrzymamy połowę grupy Pauli.

$$\langle X, Z\rangle = \{ \mathbb{I}, X, Z, -iY, -\mathbb{I}, -X, -Z, iY \}$$

Oto jeszcze jeden ostatni przykład (na razie), tym razem dla $n=2.$

$$\langle X \otimes X, Z \otimes Z\rangle = \{ \mathbb{I}\otimes\mathbb{I}, X\otimes X, Z\otimes Z, -Y\otimes Y \}$$

W tym przypadku otrzymujemy tylko cztery elementy, co wynika z faktu, że $X\otimes X$ i $Z\otimes Z$ komutują:

$$\begin{aligned} (X\otimes X)(Z\otimes Z) & = (XZ) \otimes (XZ)\\ & = (-ZX)\otimes (-ZX)\\ & = (ZX)\otimes (ZX)\\ & = (Z\otimes Z)(X\otimes X). \end{aligned}$$

Obserwable Pauli

Macierze Pauli — i ogólniej n-qubitowe operacje Pauli — są unitarne, a zatem opisują unitarne operacje na qubitach. Są jednak również macierzami Hermitian, co sprawia, że opisują pomiary, co zostanie teraz wyjaśnione.

Obserwable jako macierze Hermitian

Rozważmy najpierw dowolną macierz Hermitian $A.$ Gdy nazywamy $A$ observable, przypisujemy jej pewien jednoznacznie określony pomiar rzutowy. Słowami: możliwe wyniki to różne eigenvalue macierzy $A,$ a rzutowania definiujące pomiar to takie, które rzutują na przestrzenie rozpięte przez odpowiadające im eigenvektory macierzy $A.$ Tak więc wyniki takiego pomiaru są liczbami rzeczywistymi — jednak ponieważ macierze mają tylko skończenie wiele eigenvalue, dla danego wyboru $A$ będzie tylko skończenie wiele różnych wyników pomiaru.

Dokładniej, na mocy twierdzenia spektralnego, możliwe jest zapisanie

$$A = \sum_{k = 1}^m \lambda_k \Pi_k$$

dla różnych rzeczywistych eigenvalue $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ oraz rzutowań $\Pi_1,\ldots,\Pi_m$ spełniających

$$\Pi_1 + \cdots + \Pi_m = \mathbb{I}.$$

Takie przedstawienie macierzy jest jedyne z dokładnością do kolejności eigenvalue. Inaczej mówiąc, jeśli nalegamy, aby eigenvalue były uporządkowane malejąco $\lambda_1 > \lambda_2 > \cdots > \lambda_m,$ to istnieje tylko jeden sposób zapisania $A$ w powyższej postaci.

Na podstawie tego przedstawienia pomiar, który przypisujemy observable $A,$ to pomiar rzutowy opisany przez rzutowania $\Pi_1,\ldots,\Pi_m,$ a eigenvalue $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ rozumiane są jako wyniki pomiaru odpowiadające tym rzutowaniom.

Pomiary z operacji Pauli

Zobaczmy, jak wyglądają pomiary opisanego rodzaju dla operacji Pauli, zaczynając od trzech niejednostkowych macierzy Pauli. Rozkłady spektralne tych macierzy są następujące.

$$\begin{gathered} X = \vert {+} \rangle\langle {+} \vert - \vert {-} \rangle\langle {-} \vert\\ Y = \vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert - \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert\\ Z = \vert {0} \rangle\langle {0} \vert - \vert {1} \rangle\langle {1} \vert \end{gathered}$$

Pomiary definiowane przez $X,$ $Y$ i $Z,$ traktowane jako obserwable, to zatem pomiary rzutowe określone przez następujące zbiory rzutowań (odpowiednio).

$$\begin{gathered} \bigl\{\vert {+} \rangle\langle {+} \vert, \vert {-} \rangle\langle {-} \vert \bigr\} \\ \bigl\{\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert, \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert\bigr\} \\ \bigl\{\vert {0} \rangle\langle {0} \vert, \vert {1} \rangle\langle {1} \vert\bigr\} \end{gathered}$$

We wszystkich trzech przypadkach dwa możliwe wyniki pomiaru to eigenvalue $+1$ i $-1.$ Takie pomiary są powszechnie nazywane pomiarami $X$, pomiarami $Y$ i pomiarami $Z$. Spotkaliśmy się z tymi pomiarami w lekcji „General measurements" kursu „General formulation of quantum information," gdzie pojawiły się w kontekście tomografii stanu kwantowego.

Oczywiście pomiar $Z$ to w zasadzie pomiar w standardowej bazie, a pomiar $X$ to pomiar w bazie plus/minus qubit — jednak w tej formie opisujemy je tak, że eigenvalue $+1$ i $-1$ są rzeczywistymi wynikami pomiaru.

Ten sam schemat można stosować do operacji Pauli na $n\geq 2$ qubitach, przy czym należy podkreślić, że nadal będą tylko dwa możliwe wyniki opisanych w ten sposób pomiarów: $+1$ i $-1,$ które są jedynymi możliwymi eigenvalue operacji Pauli. Dwa odpowiadające rzutowania będą miały zatem w tym przypadku rząd wyższy niż jeden. Dokładniej, dla każdej niejednostkowej n-qubitowej operacji Pauli przestrzeń stanów wymiaru $2^n$ zawsze dzieli się na dwie podprzestrzenie eigenvektorów o równym wymiarze, więc oba rzutowania definiujące powiązany pomiar będą miały rząd $2^{n-1}.$

Pomiar opisany przez n-qubitową operację Pauli, traktowaną jako observable, nie jest zatem tym samym co pomiar względem ortonormalnej bazy eigenvektorów tej operacji, ani też tym samym co niezależne mierzenie każdej z odpowiednich macierzy Pauli z osobna, jako obserwabli, na $n$ qubitach. Obie te alternatywy wymagałyby $2^n$ możliwych wyników pomiaru, tutaj mamy zaś tylko dwa możliwe wyniki: $+1$ i $-1.$

Rozważmy na przykład 2-qubitową operację Pauli $Z\otimes Z$ jako observable. Możemy wziąć iloczyn tensorowy rozkładów spektralnych, aby uzyskać rozkład spektralny iloczynu tensorowego.

$$\begin{aligned} Z\otimes Z & = (\vert 0\rangle\langle 0\vert - \vert 1\rangle\langle 1\vert) \otimes (\vert 0\rangle\langle 0\vert - \vert 1\rangle\langle 1\vert)\\ & = \bigl( \vert 00\rangle\langle 00\vert + \vert 11\rangle\langle 11\vert \bigr) - \bigl( \vert 01\rangle\langle 01\vert + \vert 10\rangle\langle 10\vert \bigr) \end{aligned}$$

Oznacza to, że $Z\otimes Z = \Pi_0 - \Pi_1$ dla

$$\Pi_0 = \vert 00\rangle\langle 00\vert + \vert 11\rangle\langle 11\vert \quad\text{and}\quad \Pi_1 = \vert 01\rangle\langle 01\vert + \vert 10\rangle\langle 10\vert,$$

więc to właśnie te dwa rzutowania definiują pomiar. Na przykład, gdybyśmy mierzyli stan Bella $\vert\phi^+\rangle$ niedestrukcyjnie za pomocą tego pomiaru, mielibyśmy pewność uzyskania wyniku $+1,$ a stan pozostałby niezmieniony w wyniku pomiaru. W szczególności stan nie zkolapsowałby do $\vert 00\rangle$ ani $\vert 11\rangle.$

Niedestrukcyjna implementacja przez estymację fazy

Dla dowolnej n-qubitowej operacji Pauli możemy wykonać pomiar powiązany z tą observable niedestrukcyjnie, korzystając z estymacji fazy.

Oto układ oparty na estymacji fazy, działający dla dowolnej macierzy Pauli $P,$ gdzie pomiar jest wykonywany na górnym qubit. Wyniki $0$ i $1$ pomiaru w standardowej bazie w tym układzie odpowiadają eigenvalue $+1$ i $-1,$ tak jak zwykle w estymacji fazy z jednym qubirem sterującym. (Zauważ, że qubit sterujący jest na dole tego diagramu, podczas gdy w lekcji „Phase estimation and factoring" kursu „Fundamentals of quantum algorithms" qubity sterujące były rysowane na górze.)

Podobna metoda działa dla operacji Pauli na wielu qubitach. Na przykład poniższy diagram ilustruje niedestrukcyjny pomiar 3-qubitowej observable Pauli $P_2\otimes P_1\otimes P_0,$ dla dowolnego wyboru $P_0,P_1,P_2 \in \{X,Y,Z\}.$

To podejście uogólnia się na n-qubitowe obserwable Pauli, dla dowolnego $n,$ w naturalny sposób. Oczywiście, implementując takie pomiary, uwzględniamy bramy kontrolowane tylko dla niejednostkowych czynników tensorowych obserwabli Pauli; bramy controlled-identity są po prostu bramami jednostkowymi i można je pominąć. Oznacza to, że obserwable Pauli o mniejszej wadze wymagają mniejszych układów do implementacji tym podejściem.

Zauważ, że niezależnie od $n$ te układy do estymacji fazy mają tylko jeden qubit sterujący, co jest zgodne z faktem, że te pomiary mają tylko dwa możliwe wyniki. Użycie większej liczby qubitów sterujących nie ujawniłoby dodatkowych informacji, ponieważ te pomiary są już doskonałe przy użyciu jednego qubit sterującego. (Można to zobaczyć bezpośrednio z ogólnej procedury estymacji fazy: założenie $U^2 = \mathbb{I}$ sprawia, że jakiekolwiek dodatkowe qubity sterujące poza pierwszym są bezużyteczne.)

Oto konkretny przykład niedestrukcyjnej implementacji pomiaru $Z\otimes Z,$ który jest istotny dla opisu 3-bitowego kodu repetycji jako kodu Stabilizer, co zobaczymy wkrótce.

W tym przypadku, a ogólniej dla iloczynów tensorowych więcej niż dwóch obserwabli $Z,$ układ można uprościć.

A zatem ten pomiar jest równoważny niedestrukcyjnemu pomiarowi parzystości (lub XOR) stanów standardowej bazy dwóch qubitów.