QUICK-PDE: Funkcja Qiskit od ColibriTD

Zobacz dokumentację API

uwaga

Funkcje Qiskit to eksperymentalna funkcjonalność dostępna dla użytkowników planów IBM Quantum® Premium Plan, Flex Plan oraz On-Prem (przez IBM Quantum Platform API). Są one w fazie wstępnego wydania i mogą ulec zmianie.

Przegląd

Solver równań różniczkowych cząstkowych (PDE) przedstawiony tutaj jest częścią naszej platformy Quantum Innovative Computing Kit (QUICK) (QUICK-PDE) i jest dostarczany jako Funkcja Qiskit. Za pomocą funkcji QUICK-PDE możesz rozwiązywać dziedzinowe równania różniczkowe cząstkowe na QPU IBM Quantum. Funkcja ta opiera się na algorytmie opisanym w artykule ColibriTD dotyczącym H-DES. Algorytm ten potrafi rozwiązywać złożone problemy wielofizyczne, zaczynając od Obliczeniowej Dynamiki Płynów (CFD) i Deformacji Materiałów (MD), a kolejne zastosowania pojawią się wkrótce.

Aby zmierzyć się z równaniami różniczkowymi, rozwiązania próbne są kodowane jako liniowe kombinacje funkcji ortogonalnych (zazwyczaj wielomianów Czebyszewa, a dokładniej $2^n$ z nich, gdzie $n$ to liczba Qubitów kodujących twoją funkcję), parametryzowane kątami Zmiennego Obwodu Kwantowego (VQC). Ansatz generuje stan kodujący funkcję, która jest oceniana przez obserwable, których kombinacje pozwalają na wyznaczenie funkcji we wszystkich punktach. Możesz następnie ocenić funkcję straty, w której zakodowane są równania różniczkowe, i doprecyzować kąty w pętli hybrydowej, jak pokazano poniżej. Rozwiązania próbne stopniowo zbliżają się do rzeczywistych rozwiązań, aż uzyskasz zadowalający wynik.

Oprócz tej pętli hybrydowej, możesz też łączyć ze sobą różne optymalizatory. Jest to przydatne, gdy chcesz, aby globalny optymalizator znalazł dobry zestaw kątów, a następnie bardziej precyzyjny optymalizator podążał gradientem do najlepszego zestawu sąsiednich kątów. W przypadku obliczeniowej dynamiki płynów (CFD) domyślna sekwencja optymalizacji daje najlepsze wyniki – natomiast w przypadku deformacji materiałów (MD), mimo że wartości domyślne zapewniają dobre rezultaty, możesz ją dalej konfigurować z korzyścią dla konkretnego problemu.

Zauważ, że dla każdej zmiennej funkcji określamy liczbę Qubitów (którą możesz modyfikować). Układając 10 identycznych Circuit i wyznaczając 10 identycznych obserwabli na różnych Qubitach w ramach jednego dużego Circuit, możesz ograniczać szum w procesie optymalizacji CMA, opierając się na metodzie uczenia szumu, i znacznie zmniejszyć potrzebną liczbę pomiarów.

Obliczeniowa dynamika płynów

Bezlepkowe równanie Burgersa modeluje przepływ nielepkich płynów w następujący sposób:

$\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} = 0,$

$u$ reprezentuje pole prędkości płynu. Ten przypadek użycia ma czasowy warunek brzegowy: możesz wybrać warunek początkowy, a następnie pozwolić systemowi się zrelaksować. Obecnie akceptowane są wyłącznie liniowe warunki początkowe: $ax + b$. Rozwiązanie analityczne to:

$u(t, x) = \frac{ax + b}{at + 1}.$

Bezciśnieniowe równania Eulera modelują przepływ ściśliwego płynu nielepkiego z tłumieniem w następujący sposób:

$\frac{\partial g}{\partial t} + u\frac{\partial g}{\partial x} + g\frac{\partial u}{\partial x} = 0,$

$u\frac{\partial g}{\partial t} + g\frac{\partial u}{\partial t} + u^2\frac{\partial g}{\partial x} + 2gu\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\mu}{(1+t)^{\lambda}} g u = 0,$

$g$ reprezentuje pole gęstości, $u$ pole prędkości, a $\mu$ współczynnik tłumienia. W naszym sformułowaniu przyjmujemy $\lambda = 1$, więc nie będzie on używany jako parametr w dalszej części. Ten przypadek użycia ma warunki brzegowe czasowe: $g(0, x) = e^{-x}$ i $u(0, x) = x$. Rozwiązanie analityczne to:

$g(t, x) = \frac{1-\mu}{(1+t)^{1-\mu} - \mu} \exp\!\left(\frac{(\mu-1)\, x}{(1+t)^{1-\mu} - \mu}\right),$

$u(t, x) = \frac{(1-\mu)\, x}{\left((1+t)^{1-\mu} - \mu\right)(1+t)^{\mu}}.$

Argumenty równań różniczkowych CFD są na stałej siatce, jak następuje:

• $t$ jest z przedziału od 0 do 0,95 z 41 punktami próbkowania. $x$ jest z przedziału od 0 do 0,95 z 41 punktami próbkowania.

Deformacja Materiałów

Ten przypadek użycia dotyczy hipoelastycznej deformacji przy jednowymiarowym teście rozciągania, w którym pręt zamocowany w przestrzeni jest ciągnięty na swoim drugim końcu. Problem opisujemy w następujący sposób:

$u' - \frac{\sigma}{3K} - \frac{2}{\sqrt{3}}\epsilon_0\left(\frac{\sigma'}{\sigma_0\sqrt{3}}\right)^n = 0,$

$\sigma' - b = 0,$

$K$ reprezentuje moduł objętościowy rozciąganego materiału, $n$ wykładnik prawa potęgowego, $b$ siłę na jednostkę masy, $\epsilon_0$ proporcjonalny limit naprężenia, $\sigma_0$ proporcjonalny limit odkształcenia, $u$ funkcję naprężenia, a $\sigma$ funkcję odkształcenia. Rozwiązanie analityczne to:

$\sigma(x) = \sigma_0 - bx,$

$u(x) = -\frac{3^{-(3+n)/2}}{2bK(1+n)\,\sigma_0^{n}}\Biggl[3^{(1+n)/2}b^2\sigma_0^n(1+n)x^2 - 2\cdot 3^{(1+n)/2}b\sigma_0^n(1+n)\sigma_0 x - 12\epsilon_0 K\sigma_0^{1+n}$ $- 12b\epsilon_0 K\sigma_0^n x\left(\frac{-bx+\sigma_0}{\sigma_0}\right)^n + 12\epsilon_0 K\sigma_0^{n+1}\left(\frac{-bx+\sigma_0}{\sigma_0}\right)^n - 12\epsilon_0 K \sigma_0^{1+n}\Biggr],$

gdzie $\sigma_0 = g(0)$ jest warunkiem brzegowym dla odkształcenia przy $x=0$.

Rozważany pręt ma długość jednostkową. Ten przypadek użycia ma warunek brzegowy dla naprężenia powierzchniowego $t$, czyli ilości pracy potrzebnej do rozciągnięcia pręta.

Argumenty równań różniczkowych MD są na stałej siatce, jak następuje:

• $x$ jest z przedziału od 0 do 1 z 30 punktami próbkowania.

Testy porównawcze

Poniższa tabela przedstawia statystyki różnych przebiegów naszej funkcji.

Przykład	Liczba qubitów	Inicjalizacja	Błąd	Całkowity czas (min)	Użycie środowiska uruchomieniowego (min)
Bezlepkowe równanie Burgersa	50	PHYSICALLY_INFORMED	$10^{-2}$	66	25
Bezciśnieniowe równania Eulera	70	PHYSICALLY_INFORMED	$10^{-2}$	48	34
Hipoelastyczny 1D test rozciągania	18	RANDOM	$10^{-2}$	123	100

Pierwsze kroki

Wypełnij formularz, aby poprosić o dostęp do funkcji QUICK-PDE. Następnie, zakładając że masz już zapisane konto w swoim lokalnym środowisku, wybierz funkcję w następujący sposób:

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q matplotlib numpy qiskit-ibm-catalog

from qiskit_ibm_catalog import QiskitFunctionsCatalog

catalog = QiskitFunctionsCatalog(
    channel="ibm_cloud / ibm_quantum_platform",
    instance="USER_CRN / HGP",
    token="USER_API_KEY / IQP_API_TOKEN",
)

catalog = QiskitFunctionsCatalog(channel="ibm_quantum_platform")

# Verify that you have access to the function
catalog.list()

quick = catalog.load("colibritd/quick-pde")

Przykłady

Aby zacząć, wypróbuj jeden z poniższych przykładów:

Równanie Burgersa nielepkie (CFD)

Dla równania Burgersa, gdy warunki początkowe są ustawione na $u(0,x) = x$, wyniki są następujące:

# launch the simulation with initial conditions u(0,x) = a*x + b
job = quick.run(
    use_case="CFD_BURGER", physical_parameters={"a": 1.0, "b": 0.0}
)

Sprawdź status swojego obciążenia Funkcji Qiskit lub pobierz wyniki w następujący sposób:

# Print the ID so you can use it later, if necessary
print(job.job_id)
print(job.status())
solution = job.result()

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def plot_result_3d(result):
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(projection="3d")

    t, x = np.meshgrid(result["samples"]["t"], result["samples"]["x"])

    ax.plot_surface(
        t,
        x,
        result["functions"]["u"],
        edgecolor="royalblue",
        lw=0.25,
        rstride=26,
        cstride=26,
        alpha=0.3,
    )
    ax.scatter(t, x, result["functions"]["u"], marker=".")
    ax.set(xlabel="t", ylabel="x", zlabel="u(t,x)")

    plt.show()

# Call
plot_result_3d(solution)

Bezciśnieniowe równanie Eulera (CFD)

Dla równania Eulera, gdy warunki początkowe są ustawione na $g(0, x) = e^{-x}$ i $u(0, x) = x$, dla danego $\mu$ (tutaj $\mu = 0.1$) i $\lambda = 1$, wyniki są następujące:

# Launches the solving for an arbitrary mu
job = quick.run(use_case="CFD_EULER", physical_parameters={"mu": 0.1})

solution = job.result()

# Colorplot function
def plot_result_2d(result):
    fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

    configs = {
        "g": {"cmap": "viridis", "title": "g(t, x)"},
        "u": {"cmap": "plasma", "title": "u(t, x)"},
    }

    t = result["samples"]["t"]
    x = result["samples"]["x"]

    for ax, (field, cfg) in zip(axes, configs.items()):
        v = result["functions"][field]

        im = ax.contourf(t, x, v, levels=50, cmap=cfg["cmap"])
        fig.colorbar(im, ax=ax, label=cfg["title"])

        ax.set_xlabel("t")
        ax.set_ylabel("x")
        ax.set_title(cfg["title"], fontsize=13, fontweight="bold")

    plt.tight_layout()
    plt.show()

plot_result_2d(solution)

Deformacja Materiałów

Przypadek użycia deformacji materiałów wymaga parametrów fizycznych materiału i przyłożonej siły, jak następuje:

# Select the properties of your material
job = quick.run(
    use_case="MD",
    physical_parameters={
        "t": 12.0,
        "K": 100.0,
        "n": 4.0,
        "b": 10.0,
        "epsilon_0": 0.1,
        "sigma_0": 5.0,
    },
)

# Plot the result
solution = job.result()

_ = plt.figure()
stress_plot = plt.subplot(211)
plt.plot(solution["samples"]["x"], solution["functions"]["u"])
strain_plot = plt.subplot(212)
plt.plot(solution["samples"]["x"], solution["functions"]["sigma"])

plt.show()

Poniżej przykład, jak uzyskać wartość funkcji dla konkretnego zestawu współrzędnych:

# u(t=0.2, x=0.7) == 2
assert solution["samples"]["t"][1] == 0.2
assert solution["samples"]["x"][2] == 0.7
assert solution["functions"]["u"][1, 2] == 2

Pobieranie komunikatów o błędach

Jeśli status twojego obciążenia to ERROR, użyj job.error_message(), aby pobrać komunikat o błędzie pomocny przy debugowaniu, w następujący sposób:

job = quick.run(use_case="MD", physical_params={})

print(job.error_message())

# A wrapper can also be used for a more human readable version
def pprint_error(job):
    print("".join(eval(job.error_message())["error"]))

print("___")
pprint_error(job)

Uzyskaj wsparcie

W celu uzyskania wsparcia skontaktuj się pod adresem qiskit-function-support@colibritd.com.

Kolejne kroki

Rekomendacje

• Wypełnij formularz, aby poprosić o dostęp do funkcji QUICK-PDE.
• Odwiedź dokumentację API tej Funkcji Qiskit.
• Wypróbuj modelowanie przepływu nielepkiego płynu za pomocą QUICK-PDE w samouczku.
• Zapoznaj się z Jaffali, H., et al. (2025). H-DES: a Quantum-Classical Hybrid Differential Equation Solver. arXiv preprint arXiv:2410.01130.