Podstawy quantum channel

W matematycznym ujęciu channels są liniowymi odwzorowaniami z density matrices do density matrices, które spełniają określone wymagania. W całej tej lekcji będziemy używać wielkich greckich liter, w tym $\Phi$ i $\Psi,$ a w szczególnych przypadkach także innych liter, do oznaczania channels.

Każdy channel $\Phi$ ma system wejściowy i system wyjściowy; będziemy zazwyczaj używać nazwy $\mathsf{X}$ dla systemu wejściowego i $\mathsf{Y}$ dla systemu wyjściowego. Często zdarza się, że system wyjściowy channel jest taki sam jak system wejściowy — wówczas możemy używać tej samej litery $\mathsf{X}$ dla obu.

Channels are linear mappings

Channels opisywane są przez liniowe odwzorowania, podobnie jak operacje probabilistyczne w standardowym sformułowaniu klasycznej informacji oraz operacje unitary w uproszczonym sformułowaniu informacji kwantowej.

Jeśli channel $\Phi$ jest wykonywany na systemie wejściowym $\mathsf{X},$ którego stan opisuje density matrix $\rho,$ to system wyjściowy channel opisywany jest przez density matrix $\Phi(\rho).$ W sytuacji, gdy system wyjściowy $\Phi$ jest również $\mathsf{X},$ możemy po prostu traktować channel jako zmianę stanu $\mathsf{X}$ z $\rho$ na $\Phi(\rho).$ Gdy system wyjściowy $\Phi$ jest innym systemem, $\mathsf{Y},$ a nie $\mathsf{X},$ należy rozumieć, że $\mathsf{Y}$ jest nowym systemem tworzonym przez proces zastosowania channel i że system wejściowy $\mathsf{X}$ nie jest już dostępny po zastosowaniu channel — tak jakby channel sam w sobie przekształcił $\mathsf{X}$ w $\mathsf{Y},$ pozostawiając go w stanie $\Phi(\rho).$

Założenie, że channels opisywane są przez liniowe odwzorowania, można traktować jako aksjomat — innymi słowy, jako podstawowy postulat teorii, a nie coś, co się udowadnia. Możemy jednak dostrzec potrzebę, by channels działały liniowo na kombinacjach wypukłych density matrix na wejściu, tak aby były spójne z teorią prawdopodobieństwa i tym, czego już nauczyliśmy się o density matrices.

Mówiąc dokładniej, załóżmy, że mamy channel $\Phi$ i stosujemy go do systemu, który jest w jednym z dwóch stanów reprezentowanych przez density matrices $\rho$ i $\sigma.$ Jeśli zastosujemy channel do $\rho,$ otrzymamy density matrix $\Phi(\rho),$ a jeśli zastosujemy go do $\sigma,$ otrzymamy density matrix $\Phi(\sigma).$ Zatem jeśli losowo wybierzemy stan wejściowy $\mathsf{X}$ tak, że z prawdopodobieństwem $p$ jest to $\rho,$ a z prawdopodobieństwem $1-p$ jest to $\sigma,$ to z prawdopodobieństwem $p$ otrzymamy stan wyjściowy $\Phi(\rho),$ a z prawdopodobieństwem $1-p$ — $\Phi(\sigma),$ co reprezentujemy jako ważoną średnią density matrices: $p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma).$

Z drugiej strony możemy myśleć o stanie wejściowym channel jako o ważonej średniej $p\rho + (1-p)\sigma,$ w którym to przypadku wyjściem jest $\Phi(p\rho + (1-p)\sigma).$ To ten sam stan niezależnie od tego, jak o nim myślimy, więc musi zachodzić

$$\Phi(p\rho + (1-p)\sigma) = p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma).$$

Ilekroć mamy odwzorowanie spełniające ten warunek dla każdego wyboru density matrices $\rho$ i $\sigma$ oraz skalarów $p\in [0,1],$ zawsze istnieje dokładnie jeden sposób rozszerzenia tego odwzorowania na każde macierzowe wejście (tzn. nie tylko na wejścia będące density matrices) tak, aby było liniowe.

Channels transform density matrices into density matrices

Naturalnie, oprócz tego, że są liniowymi odwzorowaniami, channels muszą również przekształcać density matrices w density matrices. Jeśli channel $\Phi$ jest zastosowany do systemu wejściowego, gdy system ten jest w stanie reprezentowanym przez density matrix $\rho,$ to otrzymujemy system, którego stan jest reprezentowany przez $\Phi(\rho),$ a ta wartość musi być poprawną density matrix, abyśmy mogli interpretować ją jako stan.

Niezwykle istotne jest jednak rozważenie bardziej ogólnej sytuacji, w której channel $\Phi$ przekształca system $\mathsf{X}$ w system $\mathsf{Y}$ w obecności dodatkowego systemu $\mathsf{Z},$ na który nic nie wpływa. To znaczy, jeśli zaczynamy od pary systemów $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ w stanie opisanym przez pewną density matrix i następnie stosujemy $\Phi$ tylko do $\mathsf{X},$ przekształcając go w $\mathsf{Y},$ musimy otrzymać density matrix opisującą stan pary $(\mathsf{Z},\mathsf{Y}).$

Możemy opisać matematycznie, jak channel $\Phi$ z systemem wejściowym $\mathsf{X}$ i systemem wyjściowym $\mathsf{Y}$ przekształca stan pary $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ w stan $(\mathsf{Z},\mathsf{Y}),$ gdy $\mathsf{Z}$ nie jest poddawany żadnym operacjom. Dla uproszczenia przyjmijmy, że klasyczny zbiór stanów $\mathsf{Z}$ wynosi $\{0,\ldots,m-1\}.$ Pozwala nam to zapisać dowolną density matrix $\rho,$ reprezentującą stan $(\mathsf{Z},\mathsf{X}),$ w następującej postaci.

$$\rho = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \rho_{a,b} = \begin{pmatrix} \rho_{0,0} & \rho_{0,1} & \cdots & \rho_{0,m-1} \\[1mm] \rho_{1,0} & \rho_{1,1} & \cdots & \rho_{1,m-1} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \rho_{m-1,0} & \rho_{m-1,1} & \cdots & \rho_{m-1,m-1} \end{pmatrix}$$

Po prawej stronie tego równania mamy macierz blokową, którą można traktować jako macierz macierzy, tyle że bez nawiasów wewnętrznych. Daje nam to zwykłą macierz, którą alternatywnie można opisać za pomocą notacji Diraca, tak jak zrobiliśmy to w środkowym wyrażeniu. Każda macierz $\rho_{a,b}$ ma wiersze i kolumny odpowiadające klasycznym stanom $\mathsf{X},$ a macierze te można wyznaczyć prostym wzorem.

$$\rho_{a,b} = \bigl(\langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr) \rho \bigl(\vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr)$$

Zauważ, że generalnie nie są to density matrices — dopiero gdy złożymy je razem, tworząc $\rho,$ otrzymamy density matrix.

Poniższe równanie opisuje stan $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$ uzyskiwany, gdy $\Phi$ jest stosowany do $\mathsf{X}.$

$$\sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \Phi(\rho_{a,b}) = \begin{pmatrix} \Phi(\rho_{0,0}) & \Phi(\rho_{0,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{0,m-1}) \\[1mm] \Phi(\rho_{1,0}) & \Phi(\rho_{1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{1,m-1}) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi(\rho_{m-1,0}) & \Phi(\rho_{m-1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{m-1,m-1}) \end{pmatrix}$$

Zauważ, że aby obliczyć to wyrażenie dla danego wyboru $\Phi$ i $\rho,$ musimy rozumieć, jak $\Phi$ działa jako liniowe odwzorowanie na wejściach niebędących density matrix, gdyż każde $\rho_{a,b}$ na ogół samo w sobie nie będzie density matrix. Równanie to jest spójne z wyrażeniem $(\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}} \otimes \,\Phi)(\rho),$ w którym $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}$ oznacza identity channel na systemie $\mathsf{Z}.$ Zakłada się tutaj, że rozszerzyliśmy pojęcie iloczynu tensorowego na liniowe odwzorowania z macierzy do macierzy, co jest prostym krokiem — nie jest to jednak niezbędne dla tej lekcji i nie będzie dalej wyjaśniane.

Powtarzając powyższe stwierdzenie: aby liniowe odwzorowanie $\Phi$ było poprawnym channel, musi zachodzić, że dla każdego wyboru $\mathsf{Z}$ i każdej density matrix $\rho$ pary $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ zawsze otrzymujemy density matrix, gdy $\Phi$ jest stosowany do $\mathsf{X}.$ W matematycznym ujęciu właściwości, które odwzorowanie musi posiadać, aby być channel, to trace-preserving — tak żeby macierz uzyskana przez zastosowanie channel miała trace równy jeden — oraz completely positive — tak żeby wynikowa macierz była dodatnio półokreślona. Obie te właściwości są ważne i można je rozważać oraz badać oddzielnie, jednak na potrzeby tej lekcji nie jest konieczne rozpatrywanie ich w izolacji.

Istnieją w rzeczywistości liniowe odwzorowania, które zawsze zwracają density matrix, gdy na wejściu podana jest density matrix, ale nie przekształcają density matrices w density matrices dla systemów złożonych — eliminujemy więc pewne liniowe odwzorowania z klasy channels w ten sposób. (Najprostszym przykładem jest liniowe odwzorowanie zadane przez transponowanie macierzy.)

Mamy analogiczny wzór do powyższego w przypadku, gdy dwa systemy $\mathsf{X}$ i $\mathsf{Z}$ są zamienione miejscami, tak że $\Phi$ jest stosowany do systemu po lewej stronie, a nie po prawej.

$$\bigl(\Phi\otimes\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}\bigr)(\rho) = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \Phi(\rho_{a,b}) \otimes \vert a\rangle\langle b\vert$$

Zakłada się, że $\rho$ jest stanem $(\mathsf{X},\mathsf{Z}),$ a nie $(\mathsf{Z},\mathsf{X}).$ Tym razem opis za pomocą macierzy blokowej nie działa, ponieważ macierze $\rho_{a,b}$ nie układają się w kolejnych wierszach i kolumnach $\rho,$ ale leżąca u podstaw struktura matematyczna jest taka sama.

Każde liniowe odwzorowanie spełniające wymóg, że zawsze przekształca density matrices w density matrices, nawet gdy jest stosowane tylko do jednej części systemów złożonych, reprezentuje poprawny channel. Zatem w sensie abstrakcyjnym pojęcie channel wyznaczone jest przez pojęcie density matrix, wraz z założeniem, że channels działają liniowo. Pod tym względem channels są analogiczne do operacji unitary w uproszczonym sformułowaniu informacji kwantowej, które są dokładnie tymi liniowymi odwzorowaniami, które zawsze przekształcają wektory stanu kwantowego w wektory stanu kwantowego dla danego systemu; a także do operacji probabilistycznych (reprezentowanych przez macierze stochastyczne) w standardowym sformułowaniu klasycznej informacji, które są dokładnie tymi liniowymi odwzorowaniami, które zawsze przekształcają wektory prawdopodobieństwa w wektory prawdopodobieństwa.

Unitary operations as channels

Załóżmy, że $\mathsf{X}$ jest układem, a $U$ jest macierzą unitary reprezentującą operację na $\mathsf{X}.$ Channel $\Phi$ opisujący tę operację na density matrices jest zdefiniowany w następujący sposób dla każdej density matrix $\rho$ reprezentującej kwantowy stan $\mathsf{X}.$

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger} \tag{1}$$

To działanie — mnożenie przez $U$ z lewej i $U^{\dagger}$ z prawej — jest powszechnie nazywane sprzężeniem przez macierz $U.$

Opis ten jest zgodny z faktem, że density matrix reprezentująca dany wektor stanu kwantowego $\vert\psi\rangle$ wynosi $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert.$ W szczególności, jeśli na $\vert\psi\rangle$ zostanie wykonana operacja unitary $U,$ to stan wyjściowy jest reprezentowany przez wektor $U\vert\psi\rangle,$ więc density matrix opisująca ten stan jest równa

$$(U \vert \psi \rangle )( U \vert \psi \rangle )^{\dagger} = U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}.$$

Gdy już wiemy, że operacja $U$ traktowana jako channel działa według wzoru $\vert\psi\rangle\langle \psi\vert \mapsto U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}$ na stanach czystych, możemy z zasady liniowości wywnioskować, że musi działać zgodnie z równaniem $(1)$ powyżej dla dowolnej density matrix $\rho.$

Szczególnym channel uzyskiwanym dla $U = \mathbb{I}$ jest identity channel $\;\operatorname{Id},$ któremu możemy dodać indeks dolny (np. $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}},$ jak już wcześniej spotykaliśmy), gdy chcemy wprost wskazać, na jaki układ ten channel działa. Jego wyjście jest zawsze równe wejściu: $\operatorname{Id}(\rho) = \rho.$ Może się to wydawać mało interesującym channel, ale w rzeczywistości jest bardzo ważny — i nie bez powodu to właśnie on jest naszym pierwszym przykładem. Identity channel jest idealnym channel w pewnych kontekstach — reprezentuje doskonałą pamięć lub bezstratne przesłanie informacji od nadawcy do odbiorcy.

Każdy channel zdefiniowany w ten sposób przez operację unitary jest rzeczywiście poprawnym channel: sprzężenie przez macierz $U$ daje nam odwzorowanie liniowe; a jeśli $\rho$ jest density matrix układu $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ i $U$ jest unitary, to wynik, który możemy zapisać jako

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}),$$

również jest density matrix. W szczególności macierz ta musi być dodatnio półokreślona, bo jeśli $\rho = M^{\dagger} M,$ to

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}) = K^{\dagger} K$$

dla $K = M (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}),$ a jej trace musi być równy jedności na mocy cyklicznej własności trace.

$$\operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}(\rho) = 1$$

Convex combinations of channels

Załóżmy, że mamy dwa channels, $\Phi_0$ i $\Phi_1,$ o tym samym układzie wejściowym i tym samym układzie wyjściowym. Dla dowolnej liczby rzeczywistej $p\in[0,1]$ możemy zdecydować, że $\Phi_0$ stosujemy z prawdopodobieństwem $p,$ a $\Phi_1$ z prawdopodobieństwem $1-p,$ co daje nam nowy channel, który można zapisać jako $p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1.$ Wprost, sposób działania tego channel na daną density matrix opisuje następujące proste równanie.

$$(p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1)(\rho) = p \Phi_0(\rho) + (1-p) \Phi_1(\rho)$$

Ogólniej, jeśli mamy channels $\Phi_{0},\ldots,\Phi_{m-1}$ i wektor prawdopodobieństwa $(p_0,\ldots, p_{m-1}),$ możemy uśrednić te channels, aby otrzymać nowy channel.

$$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \Phi_k$$

Jest to convex combination channels i zawsze otrzymujemy w ten sposób poprawny channel. Prostym sposobem na wyrażenie tego w języku matematyki jest stwierdzenie, że dla danego wyboru układu wejściowego i wyjściowego zbiór wszystkich channels jest zbiorem wypukłym.

Jako przykład możemy wybrać, że na dany układ stosujemy jedną z kolekcji operacji unitary. Otrzymujemy wtedy tzw. mixed unitary channel, czyli channel, który można wyrazić w następującej postaci.

$$\Phi(\rho) = \sum_{k=0}^{m-1} p_k U_k \rho U_k^{\dagger}$$

Mixed unitary channels, w których wszystkie operacje unitary są macierzami Pauli (lub ich iloczynami tensorowymi), nazywane są Pauli channels i często pojawiają się w obliczeniach kwantowych.

Przykłady qubit channels

Przyjrzyjmy się teraz kilku konkretnym przykładom channels, które nie są unitarne. We wszystkich tych przykładach układem wejściowym i wyjściowym jest pojedynczy qubit — czyli mamy do czynienia z przykładami qubit channels.

The qubit reset channel

Ten channel robi coś bardzo prostego: resetuje qubit do stanu $\vert 0\rangle$. Jako odwzorowanie liniowe channel ten można wyrazić w następujący sposób dla każdej qubitowej density matrix $\rho.$

$$\Lambda(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle\langle 0\vert$$

Choć trace każdej density matrix $\rho$ jest równy $1,$ zapisanie channel w ten sposób jasno pokazuje, że jest to odwzorowanie liniowe, które można zastosować do dowolnej macierzy $2\times 2$, a nie tylko do density matrix. Jak już zauważyliśmy, musimy rozumieć, jak channels działają jako odwzorowania liniowe na wejściach niebędących density matrix, aby opisać, co się dzieje, gdy są stosowane tylko do jednej części układu złożonego.

Przypuśćmy na przykład, że $\mathsf{A}$ i $\mathsf{B}$ są qubitami, a para $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ razem jest w stanie Bella $\vert \phi^+\rangle.$ Jako density matrix ten stan jest dany przez

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Używając notacji Diraca, możemy alternatywnie wyrazić ten stan w następujący sposób.

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert$$

Stosując the qubit reset channel do $\mathsf{A}$ i nie robiąc nic z $\mathsf{B}$, otrzymujemy następujący stan.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \frac{\mathbb{I}}{2} & \end{aligned}$$

Można by ulec pokusie, żeby powiedzieć, że reset $\mathsf{A}$ wywarł wpływ na $\mathsf{B}$, powodując, że stał się całkowicie mieszany — ale w pewnym sensie jest wręcz odwrotnie. Przed resetem $\mathsf{A}$ zredukowany stan $\mathsf{B}$ był stanem całkowicie mieszanym i to się nie zmienia wskutek zresetowania $\mathsf{A}.$

The completely dephasing channel

Oto przykład qubit channel o nazwie $\Delta,$ opisanego przez jego działanie na macierzach $2\times 2$:

$$\Delta \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & 0\\[1mm] 0 & \alpha_{11} \end{pmatrix}.$$

Innymi słowy, $\Delta$ zeruje elementy pozadiagonalne macierzy $2\times 2.$ Ten przykład można uogólnić na dowolne układy, nie tylko na qubity: niezależnie od tego, jaka density matrix zostanie podana na wejściu, channel zeruje wszystkie elementy pozadiagonalne i pozostawia przekątną bez zmian.

Ten channel nosi nazwę completely dephasing channel i można go traktować jako reprezentację ekstremalnej postaci procesu zwanego dekoherencją — który w istocie niszczy kwantowe superpozycje i zamienia je w klasyczne stany probabilistyczne.

Innym sposobem na zrozumienie tego channel jest to, że opisuje on standardowy pomiar bazowy na qubicie: wejściowy qubit jest mierzony, a następnie odrzucany, zaś na wyjściu otrzymujemy density matrix opisującą wynik pomiaru. Alternatywnie — lecz równoważnie — możemy wyobrazić sobie, że wynik pomiaru jest odrzucany, a qubit pozostaje w swoim stanie po pomiarze.

Rozważmy ponownie e-bit i zobaczmy, co się dzieje, gdy $\Delta$ zostanie zastosowany tylko do jednego z dwóch qubitów. Konkretnie: mamy qubity $\mathsf{A}$ i $\mathsf{B}$, dla których $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ jest w stanie $\vert\phi^+\rangle,$ i tym razem zastosujmy channel do drugiego qubitu. Oto stan, który otrzymujemy.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert & \end{aligned}$$

Alternatywnie możemy wyrazić to równanie za pomocą macierzy blokowych.

$$\begin{pmatrix} \Delta\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

Możemy również rozważyć qubit channel, który tylko nieznacznie dephases qubit — w odróżnieniu od całkowitego dephasing — co jest mniej ekstremalną formą dekoherencji niż ta reprezentowana przez completely dephasing channel. W szczególności, załóżmy, że $\varepsilon \in (0,1)$ jest małą, lecz niezerową liczbą rzeczywistą. Możemy zdefiniować channel

$$\Delta_{\varepsilon} = (1 - \varepsilon) \operatorname{Id} + \varepsilon \Delta,$$

który przekształca daną qubit density matrix $\rho$ w następujący sposób:

$$\Delta_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Delta(\rho).$$

Czyli z prawdopodobieństwem $1-\varepsilon$ nic się nie dzieje, a z prawdopodobieństwem $\varepsilon$ qubit ulega dephasing. W postaci macierzowej działanie to można wyrazić następująco: elementy diagonalne pozostają bez zmian, natomiast elementy pozadiagonalne są mnożone przez $1-\varepsilon.$

$$\rho = \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & (1-\varepsilon) \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] (1-\varepsilon) \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

Całkowicie depolaryzujący channel

Oto kolejny przykład qubit channel o nazwie $\Omega.$

$$\Omega(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}$$

Tutaj $\mathbb{I}$ oznacza macierz jednostkową $2\times 2$. Innymi słowy, dla dowolnej density matrix $\rho$ podanej na wejście, channel $\Omega$ zwraca stan całkowicie mieszany. Trudno sobie wyobrazić większy szum! Ten channel nosi nazwę całkowicie depolaryzującego channel i — podobnie jak całkowicie defazujący channel — można go uogólnić na dowolne układy zamiast qubitów.

Możemy też rozważyć mniej ekstremalny wariant tego channel, w którym depolaryzacja zachodzi z prawdopodobieństwem $\varepsilon,$ analogicznie do tego, co widzieliśmy w przypadku dephasing channel.

$$\Omega_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Omega(\rho).$$