Fidelity

W tej części lekcji omówimy fidelity między stanami kwantowymi — miarę ich podobieństwa, czyli stopień, w jakim na siebie „nachodzą".

Dla dwóch wektorów stanu kwantowego fidelity między czystymi stanami skojarzonymi z tymi wektorami jest równe wartości bezwzględnej iloczynu wewnętrznego tych wektorów. Daje to podstawowy sposób pomiaru podobieństwa: wynik przyjmuje wartość z przedziału $0$ do $1,$ przy czym większe wartości oznaczają większe podobieństwo. W szczególności wartość ta wynosi zero dla stanów ortogonalnych (z definicji), natomiast wynosi $1$ dla stanów równoważnych z dokładnością do globalnej fazy.

Intuicyjnie fidelity można postrzegać jako rozszerzenie tej podstawowej miary podobieństwa — od wektorów stanu kwantowego do macierzy gęstości.

Definition of fidelity

Zacznijmy od definicji fidelity. Na pierwszy rzut oka poniższa definicja może wydawać się niezwykła lub tajemnicza, a praca z nią — nieoczywista. Okazuje się jednak, że zdefiniowana w ten sposób funkcja ma wiele interesujących własności i kilka równoważnych sformułowań, dzięki czemu jest o wiele wygodniejsza w użyciu, niż mogłoby się początkowo wydawać.

Definicja

Niech $\rho$ i $\sigma$ będą macierzami gęstości reprezentującymi stany kwantowe tego samego układu. Fidelity między $\rho$ a $\sigma$ jest zdefiniowane jako

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}.$$

Uwaga

Choć jest to powszechna definicja, równie często spotykana jest definicja, w której fidelity określa się jako kwadrat wielkości zdefiniowanej powyżej — ta ostatnia bywa wtedy nazywana root-fidelity. Żadna z definicji nie jest lepsza ani gorsza — to zasadniczo kwestia preferencji. Niemniej zawsze trzeba uważnie sprawdzić lub wyjaśnić, która definicja jest stosowana.

Aby nadać sens wzorowi zawartemu w definicji, zauważ najpierw, że $\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}$ jest macierzą dodatnio półokreśloną:

$$\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho} = M^{\dagger} M$$

dla $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}.$ Jak każda macierz dodatnio półokreślona, ta macierz dodatnio półokreślona ma jednoznaczny dodatnio półokreślony pierwiastek kwadratowy, którego ślad jest właśnie fidelity.

Dla dowolnej kwadratowej macierzy $M$ wartości własne dwóch macierzy dodatnio półokreślonych $M^{\dagger} M$ i $M M^{\dagger}$ są zawsze takie same, a zatem to samo dotyczy pierwiastków kwadratowych tych macierzy. Wybierając $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$ i korzystając z faktu, że ślad macierzy kwadratowej jest sumą jej wartości własnych, otrzymujemy:

$$\begin{aligned} \operatorname{F}(\rho,\sigma) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M} = \operatorname{Tr}\sqrt{M M^{\dagger}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\sigma} \rho \sqrt{\sigma}}\\ & = \operatorname{F}(\sigma,\rho). \end{aligned}$$

Choć nie wynika to wprost z definicji, fidelity jest symetryczne względem swoich dwóch argumentów.

Fidelity in terms of the trace norm

Równoważny sposób wyrażenia fidelity daje następujący wzór:

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \bigl\|\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\bigr\|_1.$$

Widzimy tu trace norm, którą napotkaliśmy w poprzedniej lekcji w kontekście rozróżniania stanów. Trace norm (nie koniecznie kwadratowej) macierzy $M$ można zdefiniować jako

$$\| M \|_1 = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M},$$

a stosując tę definicję do macierzy $\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho},$ otrzymujemy wzór podany w definicji.

Alternatywny sposób wyrażenia trace norm (kwadratowej) macierzy $M$ daje poniższy wzór.

$$\| M \|_1 = \max_{U\:\text{unitary}} \bigl\vert \operatorname{Tr}(M U) \bigr\vert.$$

Tutaj maksimum jest brane po wszystkich macierzach unitary $U$ mających tyle samo wierszy i kolumn co $M.$ Zastosowanie tego wzoru w omawianej sytuacji ujawnia kolejne wyrażenie na fidelity.

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max_{U\:\text{unitary}} \bigl\vert\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\, U\bigr) \bigr\vert$$

Fidelity for pure states

Ostatnia uwaga dotycząca definicji fidelity: każdy czysty stan jest (jako macierz gęstości) równy swojemu własnemu pierwiastkowi kwadratowemu, co pozwala znacznie uprościć wzór na fidelity, gdy jeden lub oba stany są czyste. W szczególności, gdy jeden z dwóch stanów jest czysty, mamy następujący wzór.

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \sigma \bigr) = \sqrt{\langle \phi\vert \sigma \vert \phi \rangle}$$

Gdy oba stany są czyste, wzór upraszcza się do wartości bezwzględnej iloczynu wewnętrznego odpowiadających im wektorów stanu kwantowego, o czym wspomniano na początku tej sekcji.

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigr) = \bigl\vert \langle \phi\vert \psi \rangle \bigr\vert$$

Podstawowe własności fidelity

Fidelity ma wiele niezwykłych własności i kilka równoważnych sformułowań. Poniżej podano kilka podstawowych własności bez dowodów.

1. Dla dowolnych dwóch macierzy gęstości $\rho$ i $\sigma$ tego samego rozmiaru fidelity $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ zawiera się między zerem a jedynką: $0\leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq 1.$ Zachodzi $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\rho$ i $\sigma$ mają ortogonalne obrazy (a więc można je rozróżnić bez błędu), natomiast $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\rho = \sigma.$
2. Fidelity jest multiplikatywna, co oznacza, że fidelity między dwoma stanami iloczynowymi równa się iloczynowi fidelity poszczególnych składników: $$\operatorname{F}(\rho_1\otimes\cdots\otimes\rho_m,\sigma_1\otimes\cdots\otimes\sigma_m) = \operatorname{F}(\rho_1,\sigma_1)\cdots \operatorname{F}(\rho_m,\sigma_m).$$
3. Fidelity między stanami jest niemalejąca pod działaniem dowolnego kanału. To znaczy, jeśli $\rho$ i $\sigma$ są macierzami gęstości, a $\Phi$ jest kanałem, który może przyjąć te dwa stany jako wejście, to musi zachodzić $$\operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \operatorname{F}(\Phi(\rho),\Phi(\sigma)).$$
4. Nierówności Fuchsa–van de Graafa ustalają bliski (choć nie dokładny) związek między fidelity a odległością śladu: dla dowolnych dwóch stanów $\rho$ i $\sigma$ mamy $$1 - \frac{1}{2}\|\rho - \sigma\|_1 \leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \sqrt{1 - \frac{1}{4}\|\rho - \sigma\|_1^2}.$$

Ostatnią własność można przedstawić w postaci rysunku:

Konkretnie, dla dowolnego wyboru stanów $\rho$ i $\sigma$ tego samego układu, pozioma linia przecinająca oś $y$ w punkcie $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ oraz pionowa linia przecinająca oś $x$ w punkcie $\frac{1}{2}\|\rho-\sigma\|_1$ muszą przecinać się w szarej strefie ograniczonej od dołu prostą $y = 1-x$, a od góry okręgiem jednostkowym. Najbardziej interesującym obszarem tego rysunku z praktycznego punktu widzenia jest górny lewy narożnik szarej strefy: jeśli fidelity między dwoma stanami jest bliska jedynce, ich odległość śladu jest bliska zeru, i odwrotnie.

Lemat o łagodnym pomiarze

Przyjrzyjmy się teraz prostemu, lecz ważnemu faktowi, zwanemu lematem o łagodnym pomiarze (ang. gentle measurement lemma), który łączy fidelity z pomiarami niszczącymi jak najmniej informacji. Jest to bardzo użyteczny lemat, który pojawia się od czasu do czasu, a warto też zwrócić uwagę na to, że pozornie niezgrabna definicja fidelity sprawia, że dowód tego lematu jest bardzo prosty.

Sytuacja jest następująca. Niech $\mathsf{X}$ będzie układem w stanie $\rho$, a $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ — zbiorem macierzy dodatnio półokreślonych reprezentujących ogólny pomiar układu $\mathsf{X}.$ Załóżmy dodatkowo, że wykonując ten pomiar na układzie $\mathsf{X}$ będącym w stanie $\rho$, jeden z wyników jest bardzo prawdopodobny. Dla konkretności przyjmijmy, że prawdopodobnym wynikiem pomiaru jest $0$, a dokładniej założmy, że

$$\operatorname{Tr}(P_0 \rho) > 1 - \varepsilon$$

dla małej dodatniej liczby rzeczywistej $\varepsilon > 0.$

Lemat o łagodnym pomiarze mówi, że przy tych założeniach niedestruktywny pomiar uzyskany z $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ przez twierdzenie Naimarka powoduje jedynie małe zaburzenie stanu $\rho$, gdy obserwowany jest prawdopodobny wynik pomiaru $0$.

Dokładniej, lemat stwierdza, że kwadrat fidelity między $\rho$ a stanem uzyskanym z niedestruktywnego pomiaru, pod warunkiem że wynik to $0$, jest większy niż $1-\varepsilon.$

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 > 1-\varepsilon.$$

Do udowodnienia tego potrzebujemy pewnego podstawowego faktu dotyczącego pomiarów. Macierze pomiaru $P_0, \ldots, P_{m-1}$ są dodatnio półokreślone i sumują się do macierzy jednostkowej, co pozwala stwierdzić, że wszystkie wartości własne $P_0$ są liczbami rzeczywistymi z przedziału od $0$ do $1.$ Wynika to z faktu, że dla dowolnego wektora jednostkowego $\vert\psi\rangle$ wartość $\langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle$ jest nieujemną liczbą rzeczywistą dla każdego $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ (ponieważ każde $P_a$ jest dodatnio półokreślone), a liczby te sumują się do jedynki.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} \langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \mathbb{I} \vert \psi \rangle = 1.$$

A zatem $\langle \psi \vert P_0 \vert \psi \rangle$ jest zawsze liczbą rzeczywistą z przedziału $[0,1]$, co oznacza, że każda wartość własna $P_0$ jest liczbą rzeczywistą z tego przedziału — wystarczy bowiem wybrać $\vert\psi\rangle$ jako jednostkowy wektor własny odpowiadający danej wartości własnej.

Z tej obserwacji możemy wyprowadzić następującą nierówność dla dowolnej macierzy gęstości $\rho.$

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) \geq \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

Przechodząc do szczegółów, zaczynając od rozkładu spektralnego

$$P_0 = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert$$

wnioskujemy, że

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle \geq \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

na podstawie faktu, że $\langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle$ jest nieujemną liczbą rzeczywistą oraz $\sqrt{\lambda_k} \geq \lambda_k$ dla każdego $k = 0,\ldots,n-1.$ (Podnoszenie liczb z przedziału $[0,1]$ do kwadratu nigdy nie może ich powiększyć.)

Możemy teraz udowodnić lemat o łagodnym pomiarze, obliczając fidelity i korzystając z naszej nierówności. Najpierw uprośćmy interesujące nas wyrażenie.

$$\begin{aligned} \operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)^2}\\ & = \operatorname{Tr}\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)\\ & = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \end{aligned}$$

Zwróć uwagę, że są to same równości — w tym miejscu nie skorzystaliśmy jeszcze z naszej nierówności (ani żadnej innej), mamy więc dokładne wyrażenie na fidelity. Możemy teraz użyć naszej nierówności i stwierdzić

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \geq \frac{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} = \sqrt{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}$$

a zatem, podnosząc obie strony do kwadratu,

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 \geq \operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr) > 1-\varepsilon.$$

Twierdzenie Uhlmanna

Na zakończenie tej lekcji przyjrzymy się twierdzeniu Uhlmanna, które jest fundamentalnym faktem dotyczącym fidelity, łączącym je z pojęciem puryfikacji. Twierdzenie mówi, w prostych słowach, że fidelity między dowolnymi dwoma stanami kwantowymi jest równe maksymalnemu iloczynowi wewnętrznemu (w wartości bezwzględnej) między dwoma puryfikacjami tych stanów.

Twierdzenie

Twierdzenie Uhlmanna: Niech $\rho$ i $\sigma$ będą macierzami gęstości reprezentującymi stany układu $\mathsf{X},$ a niech $\mathsf{Y}$ będzie układem mającym co najmniej tyle samo stanów klasycznych co $\mathsf{X}.$ Fidelity między $\rho$ i $\sigma$ wyraża się wzorem

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max\bigl\{ \vert \langle \phi \vert \psi \rangle \vert \,:\, \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \rho,\; \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sigma\bigr\},$$

gdzie maksimum jest brane po wszystkich wektorach stanu kwantowego $\vert\phi\rangle$ i $\vert\psi\rangle$ układu $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Możemy udowodnić to twierdzenie, korzystając z unitarnej równoważności puryfikacji — nie jest to jednak całkowicie proste i po drodze posłużymy się pewnym trikiem.

Na początek rozważmy rozkłady spektralne dwóch macierzy gęstości $\rho$ i $\sigma.$

$$\begin{aligned} \rho & = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert u_a\rangle\langle u_a\vert \\[2mm] \sigma & = \sum_{b = 0}^{n-1} q_b \vert v_b\rangle\langle v_b\vert \end{aligned}$$

Dwa zbiory $\{\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle\}$ i $\{\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle\}$ są ortonormalnymi bazami wektorów własnych odpowiednio $\rho$ i $\sigma,$ a $p_0,\ldots,p_{n-1}$ i $q_0,\ldots,q_{n-1}$ są odpowiadającymi im wartościami własnymi.

Zdefiniujemy również $\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle$ i $\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle$ jako wektory otrzymane przez wzięcie sprzężenia zespolonego każdego elementu wektorów $\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle$ i $\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle.$ To znaczy, dla dowolnego wektora $\vert w\rangle$ możemy zdefiniować $\vert\overline{w}\rangle$ zgodnie z następującym równaniem dla każdego $c\in\{0,\ldots,n-1\}.$

$$\langle c \vert \overline{w}\rangle = \overline{\langle c \vert w\rangle}$$

Zauważmy, że dla dowolnych dwóch wektorów $\vert u\rangle$ i $\vert v\rangle$ zachodzi $\langle \overline{u} \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert u\rangle.$ Bardziej ogólnie, dla dowolnej macierzy kwadratowej $M$ mamy następujący wzór.

$$\langle \overline{u} \vert M \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert M^T \vert u\rangle$$

Wynika z tego, że $\vert u\rangle$ i $\vert v\rangle$ są ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy $\vert \overline{u}\rangle$ i $\vert \overline{v}\rangle$ są ortogonalne, a zatem $\{\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle\}$ i $\{\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle\}$ są obydwoma bazami ortonormalnymi.

Rozważmy teraz następujące dwa wektory $\vert\phi\rangle$ i $\vert\psi\rangle,$ które są puryfikacjami odpowiednio $\rho$ i $\sigma.$

$$\begin{aligned} \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a}\, \vert u_a\rangle \otimes \vert \overline{u_a}\rangle \\[2mm] \vert\psi\rangle & = \sum_{b = 0}^{n-1} \sqrt{q_b}\, \vert v_b\rangle \otimes \vert \overline{v_b}\rangle \end{aligned}$$

To jest właśnie trik, o którym wspomniano wcześniej. Na tym etapie nic nie wskazuje wprost, że dokonanie właśnie takich wyborów puryfikacji $\rho$ i $\sigma$ jest dobrym pomysłem, ale są to poprawne puryfikacje, a sprzężenia zespolone pozwolą algebrze zadziałać tak, jak potrzebujemy.

Z unitarnej równoważności puryfikacji wiemy, że każda puryfikacja $\rho$ dla pary układów $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ musi mieć postać $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes U)\vert\phi\rangle$ dla pewnej unitarnej macierzy $U,$ a analogicznie każda puryfikacja $\sigma$ dla pary $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ musi mieć postać $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes V)\vert\psi\rangle$ dla pewnej unitarnej macierzy $V.$ Iloczyn wewnętrzny dwóch takich puryfikacji można uprościć w następujący sposób.

$$\begin{aligned} \langle \phi \vert (\mathbb{I}\otimes U^{\dagger}) (\mathbb{I}\otimes V) \vert \psi \rangle \hspace{-2.5cm}\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle \overline{u_a} \vert U^{\dagger} V \vert \overline{v_b} \rangle \\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T \vert u_a \rangle \\ & = \operatorname{Tr}\Biggl( \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \vert u_a \rangle\langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T\Biggr)\\ & = \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr) \end{aligned}$$

Gdy $U$ i $V$ przebiega wszystkie możliwe unitarne macierze, macierz $(U^{\dagger} V)^T$ również przebiega wszystkie możliwe unitarne macierze. Zatem maksymalizacja wartości bezwzględnej iloczynu wewnętrznego dwóch puryfikacji $\rho$ i $\sigma$ daje następujące równanie.

$$\begin{aligned} \max_{U,V\:\text{unitary}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr)\biggr\vert & = \max_{W\:\text{unitary}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, W\Bigr)\biggr\vert\\[2mm] & = \bigl\| \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma} \bigr\|_1\\[2mm] & = \operatorname{F}(\rho,\sigma) \end{aligned}$$

Ankieta po kursie

Gratulacje ukończenia tego kursu! Prosimy o chwilę, aby pomóc nam ulepszyć nasz kurs, wypełniając następującą krótką ankietę. Twoje opinie zostaną wykorzystane do poprawy naszej oferty treści i doświadczenia użytkownika. Dziękujemy!

Note: This survey is provided by IBM Quantum and relates to the original English content. To give feedback on doQumentation's website, translations, or code execution, please open a GitHub issue.