9-kubitowy kod Shora

Teraz przejdziemy do 9-kubitowego kodu Shora, który jest kwantowym kodem korekcji błędów uzyskanym przez połączenie dwóch kodów omawianych w poprzedniej sekcji: 3-bitowego kodu repetycyjnego dla qubitów, umożliwiającego korektę pojedynczego błędu bitowego, oraz zmodyfikowanej wersji tego kodu, umożliwiającej korektę pojedynczego błędu fazowego.

Opis kodu

9-kubitowy kod Shora to kod uzyskany przez konkatenację dwóch kodów z poprzedniej sekcji. Oznacza to, że najpierw stosujemy jedno kodowanie, które koduje jeden qubit w trzech, a następnie stosujemy drugie kodowanie do każdego z trzech qubitów użytych w pierwszym kodowaniu, co daje łącznie dziewięć qubitów.

Mówiąc dokładniej, choć w tym konkretnym przypadku moglibyśmy zastosować oba kody w dowolnej kolejności, wybierzemy następujące podejście: najpierw zastosujemy zmodyfikowaną wersję 3-bitowego kodu repetycyjnego (wykrywającego błędy fazowe), a następnie każdy z trzech wynikowych qubitów zakodujemy niezależnie przy użyciu oryginalnego 3-bitowego kodu repetycyjnego (wykrywającego błędy bitowe). Poniżej przedstawiono schemat obwodu tego kodowania.

Jak sugeruje rysunek, będziemy myśleć o dziewięciu qubitach kodu Shora jako o trzech blokach po trzy qubity, gdzie każdy blok pochodzi z drugiego etapu kodowania (czyli zwykłego 3-bitowego kodu repetycyjnego). Zwykły 3-bitowy kod repetycyjny, stosowany tutaj trzykrotnie niezależnie, nazywany jest kodem wewnętrznym, natomiast kod zewnętrzny to kod użyty w pierwszym etapie kodowania — zmodyfikowana wersja 3-bitowego kodu repetycyjnego wykrywająca błędy fazowe.

Kod możemy również opisać przez podanie sposobu kodowania dwóch standardowych stanów bazowych naszego pierwotnego qubitu.

$$\begin{aligned} \vert 0\rangle & \:\mapsto\: \frac{1}{2\sqrt{2}} (\vert 000\rangle + \vert 111\rangle) \otimes (\vert 000\rangle + \vert 111\rangle) \otimes (\vert 000\rangle + \vert 111\rangle) \\[4mm] \vert 1\rangle & \:\mapsto\: \frac{1}{2\sqrt{2}} (\vert 000\rangle - \vert 111\rangle) \otimes (\vert 000\rangle - \vert 111\rangle) \otimes (\vert 000\rangle - \vert 111\rangle) \end{aligned}$$

Znając te zależności, możemy z zasady liniowości wyznaczyć sposób kodowania dowolnego wektora stanu qubitu.

Korekcja błędów bitowych i fazowych

Błędy i bramki CNOT

Aby przeanalizować wpływ błędów $X$ i $Z$ na kodowania qubitów — zarówno w 9-kubitowym kodzie Shora, jak i w innych kodach — warto zauważyć kilka prostych zależności między tymi błędami a bramkami CNOT. Gdy zaczynamy analizować 9-kubitowy kod Shora, jest to dobry moment, by to zrobić.

Poniższe schematy obwodów ilustrują trzy podstawowe zależności między bramkami $X$ a bramkami CNOT. Mianowicie: zastosowanie bramki $X$ do qubitu docelowego przed CNOT jest równoważne odwróceniu kolejności i wykonaniu najpierw CNOT, natomiast zastosowanie bramki $X$ do qubitu kontrolnego przed CNOT jest równoważne zastosowaniu bramek $X$ do obu qubitów po CNOT. Wreszcie, zastosowanie bramek $X$ do obu qubitów przed CNOT jest równoważne wykonaniu najpierw CNOT, a następnie zastosowaniu bramki $X$ do qubitu kontrolnego. Zależności te można zweryfikować przez odpowiednie mnożenie macierzy lub obliczanie wpływu obwodów na stany standardowej bazy.

Analogiczna sytuacja zachodzi dla bramek $Z$, z tą różnicą, że role qubitu kontrolnego i docelowego zamieniają się. W szczególności mamy trzy zależności przedstawione na poniższych obwodach kwantowych.

Korekcja błędów bitowych

Teraz rozważymy wykrywanie i korygowanie błędów przy użyciu 9-kubitowego kodu Shora, zaczynając od błędów bitowych — które dalej będziemy nazywać błędami $X$ dla zwięzłości.

Aby wykryć i skorygować błędy $X$, możemy po prostu traktować każdy z trzech bloków w kodowaniu oddzielnie. Każdy blok jest kodowaniem qubitu przy użyciu 3-bitowego kodu repetycyjnego, który chroni przed błędami $X$ — wykonując zatem pomiary syndromu i korekty błędów $X$ opisane wcześniej dla każdego bloku osobno, możemy wykryć i skorygować co najwyżej jeden błąd $X$ na blok. W szczególności, jeśli na dziewięciu qubitach kodowania wystąpi co najwyżej jeden błąd $X$, zostanie on wykryty i skorygowany tą procedurą.

Krótko mówiąc, korekcja błędów bitowych jest prosta w tym kodzie, ponieważ kod wewnętrzny koryguje właśnie błędy bitowe.

Korekcja błędów fazowych

Teraz rozważymy błędy fazowe, czyli błędy $Z$ w skrócie. Tym razem nie jest od razu jasne, co należy zrobić, ponieważ to kod zewnętrzny wykrywa błędy $Z$, a kod wewnętrzny zdaje się być niejako „na drodze", co nieco utrudnia wykrywanie i korekcję tych błędów.

Załóżmy, że na jednym z 9 qubitów kodu Shora wystąpi błąd $Z$, tak jak wskazano na tym schemacie.

Już wiemy, co się dzieje, gdy błąd $Z$ wystąpi przy użyciu 3-bitowego kodu repetycyjnego — jest to równoważne błędowi $Z$ występującemu przed kodowaniem. W kontekście 9-kubitowego kodu Shora oznacza to, że błąd $Z$ na którymkolwiek z trzech qubitów wewnątrz bloku zawsze ma ten sam efekt, równoważny błędowi $Z$ na odpowiednim qubicie przed zastosowaniem kodu wewnętrznego.

Na przykład powyższy schemat obwodu jest równoważny poniższemu schematowi. Można to uzasadnić, korzystając ze zależności między $Z$ a bramkami CNOT opisanych powyżej, lub po prostu obliczając wpływ obwodów na dowolny stan qubitu $\vert\psi\rangle.$

Sugeruje to jedną możliwość wykrywania i korekcji błędów $Z$: dekodujemy kod wewnętrzny, pozostawiając trzy qubity użyte do zewnętrznego kodowania wraz z sześcioma zainicjalizowanymi qubitami roboczymi. Następnie sprawdzamy te trzy qubity kodu zewnętrznego pod kątem błędów $Z$, po czym ponownie kodujemy przy użyciu kodu wewnętrznego, wracając do 9-kubitowego kodowania kodu Shora. Jeśli wykryjemy błąd $Z$, możemy go skorygować przed ponownym kodowaniem kodem wewnętrznym lub po nim, stosując bramkę $Z$ do dowolnego qubitu w danym bloku.

Poniżej przedstawiono schemat obwodu zawierający obwód kodowania i opisany wyżej błąd wraz z krokami właśnie opisanymi (bez samego kroku korekcji).

W tym konkretnym przykładzie pomiar syndromu wynosi $11,$ co lokalizuje błąd $Z$ w jednym z qubitów środkowego bloku.

Jedną z zalet korygowania błędów $Z$ po ponownym kodowaniu, zamiast przed nim, jest uproszczenie powyższego obwodu. Poniższy obwód jest równoważny, ale wymaga o cztery bramki CNOT mniej.

Ponownie: syndrom nie wskazuje, który qubit był dotknięty błędem $Z$, lecz który blok doświadczył błędu $Z$ — efekt jest taki sam niezależnie od tego, który qubit wewnątrz bloku był nim dotknięty. Błąd możemy następnie skorygować, stosując bramkę $Z$ do dowolnego z trzech qubitów dotkniętego bloku.

Warto przy okazji zauważyć, że mamy tu przykład degeneracji w kwantowym kodzie korekcji błędów — jesteśmy w stanie skorygować pewne błędy (w tym przypadku błędy $Z$) bez możliwości ich jednoznacznej identyfikacji.

Jednoczesne błędy bitowe i fazowe

Wiemy już, jak wykrywać i korygować błędy $X$ i $Z$ przy użyciu 9-kubitowego kodu Shora, a w szczególności jak wykrywać i korygować co najwyżej jeden błąd $X$ lub co najwyżej jeden błąd $Z$. Zastanówmy się teraz, co się dzieje, gdy wystąpią jednocześnie błąd bitowy i błąd fazowy, możliwie na tym samym qubicie. Jak się okazuje, w tej sytuacji nie trzeba robić nic innego niż to, co już zostało omówione — kod jest w stanie wykryć i skorygować co najwyżej jeden błąd $X$ i jeden błąd $Z$ jednocześnie, bez żadnych modyfikacji.

Mówiąc dokładniej, błędy $X$ są wykrywane przez zastosowanie pomiaru syndromu zwykłego 3-bitowego kodu repetycyjnego, wykonanego oddzielnie na każdym z trzech bloków trzech qubitów; błędy $Z$ są natomiast wykrywane przez procedurę opisaną powyżej, równoważną dekodowaniu kodu wewnętrznego, wykonaniu pomiaru syndromu zmodyfikowanego 3-bitowego kodu repetycyjnego dla błędów fazowych, a następnie ponownemu kodowaniu. Te dwa kroki wykrywania błędów — a także odpowiednie korekcje — można wykonać całkowicie niezależnie od siebie, a kolejność, w jakiej się je wykonuje, nie ma znaczenia.

Aby zobaczyć, dlaczego tak jest, rozważmy przykład przedstawiony na poniższym schemacie obwodu, gdzie zarówno błąd $X$, jak i $Z$ dotknęły dolny qubit środkowego bloku.

Zauważmy najpierw, że kolejność błędów nie ma znaczenia w tym sensie, że odwrócenie pozycji błędów $X$ i $Z$ daje równoważny obwód. Żeby być precyzyjnym: $X$ i $Z$ nie komutują, lecz antykomutują:

$$XZ = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix} = -ZX.$$

Wynika z tego, że poniższy obwód jest równoważny powyższemu z dokładnością do globalnego czynnika fazowego $-1.$

Możemy teraz przesunąć błąd $Z$ tak jak poprzednio, otrzymując kolejny równoważny obwód.

W tym momencie jest już jasne, że jeśli najpierw wykonamy procedurę wykrywania i korekcji błędów $X$, błąd $X$ zostanie skorygowany, po czym można wykonać procedurę wykrywania i korekcji błędów $Z$, aby wyeliminować błąd $Z$ jak poprzednio.

Można też najpierw wykonać procedurę wykrywania i korekcji błędów $Z$. To, że procedura ta działa zgodnie z oczekiwaniami nawet w obecności jednego lub więcej błędów $X$, wynika z faktu, że bramki $X$ na dowolnym z dziewięciu qubitów używanych do kodowania komutują ze wszystkimi bramkami w naszym uproszczonym obwodzie pomiaru syndromu dla błędów $Z$. Zatem pomiar syndromu nadal poprawnie wskaże, który blok był dotknięty błędem $Z$. To, że błąd $Z$ na dowolnym bloku jest korygowany przez zastosowanie bramki $Z$ do dowolnego qubitu tego bloku, nawet jeśli wystąpił też błąd $X$, wynika z tego samego argumentu dotyczącego kolejności bramek $X$ i $Z$, który daje równoważne obwody z dokładnością do globalnej fazy.

Wynika z tego, że 9-kubitowy kod Shora może skorygować błąd $X$, błąd $Z$ lub oba jednocześnie na dowolnym z dziewięciu qubitów tego kodu. Co więcej, możemy skorygować więcej błędów, w tym wiele błędów $X$ (o ile przypadają na różne bloki) lub wiele błędów $Z$ (o ile co najwyżej jeden blok doświadcza nieparzystej ich liczby) — jednak do celów tej lekcji najważniejsze jest to, że możemy skorygować błąd $X$, błąd $Z$ lub oba na dowolnym jednym qubicie.

Redukcja błędów przy błędach losowych

Zanim przejdziemy do ostatniej sekcji lekcji dotyczącej dowolnych błędów kwantowych, przyjrzyjmy się krótko wydajności 9-kubitowego kodu Shora, gdy błędy reprezentowane przez macierze Pauliego występują losowo na qubitach.

Żeby być bardziej konkretnym, rozważmy prosty model szumów, w którym błędy występują niezależnie na qubitach — każdy qubit doświadcza błędu z prawdopodobieństwem $p$, bez korelacji między błędami na różnych qubitach — podobnie jak binarny kanał symetryczny dla klasycznych bitów. Moglibyśmy przypisać różne prawdopodobieństwa dla błędów $X,$ $Y$ i $Z$, ale żeby uprościć analizę do maksimum, rozważymy najgorszy przypadek dla 9-kubitowego kodu Shora, czyli taki, w którym na każdym dotkniętym qubicie wystąpuje błąd $Y$. Błąd $Y$, nawiasem mówiąc, jest równoważny (z dokładnością do nieistotnego globalnego czynnika fazowego) jednoczesnemu wystąpieniu błędów $X$ i $Z$ na tym samym qubicie, ponieważ $Y = iXZ.$ To wyjaśnia, dlaczego pozornie ignorowaliśmy do tej pory błędy $Y$.

Przyjmijmy teraz, że $\mathsf{Q}$ to qubit w pewnym konkretnym stanie, który chcemy chronić przed błędami, i rozważmy możliwość użycia 9-kubitowego kodu Shora. Nasuwa się naturalne pytanie: „Czy powinniśmy go użyć?"

Odpowiedź brzmi: niekoniecznie „tak". Jeśli szumów jest zbyt dużo — w tym kontekście oznacza to, że $p$ jest zbyt duże — użycie kodu Shora może w rzeczywistości pogorszyć sytuację, tak jak 3-bitowy kod repetycyjny jest gorszy niż brak kodu, gdy $p$ jest większe od jednej drugiej. Ale jeśli $p$ jest wystarczająco małe, odpowiedź brzmi „tak" — powinniśmy użyć kodu, bo zmniejsza on prawdopodobieństwo uszkodzenia zakodowanego stanu. Zobaczmy, dlaczego tak jest i co oznacza, że $p$ jest zbyt duże lub wystarczająco małe dla tego kodu.

Kod Shora koryguje dowolny błąd Pauliego na pojedynczym qubicie, w tym oczywiście błąd $Y$, ale nie koryguje poprawnie dwóch lub więcej błędów $Y$. Jasne jest, że zakładamy tu korekcje błędów $X$ i $Z$ opisane wcześniej w tej sekcji. (Oczywiście, gdybyśmy z góry wiedzieli, że musimy się martwić tylko błędami $Y$, naturalnie wybralibyśmy inne korekcje — ale to oszukiwałoby model szumów, a zawsze można by zmienić model, wybierając inne błędy Pauliego, by ta nowa strategia korekcji zawiodła, gdy dwa lub więcej qubitów zostanie dotkniętych błędami.)

A zatem kod chroni $\mathsf{Q}$ tak długo, jak co najwyżej jeden z dziewięciu qubitów jest dotknięty błędem, co zachodzi z prawdopodobieństwem

$$(1-p)^9 + 9 p (1-p)^8.$$

W przeciwnym razie, z prawdopodobieństwem

$$1 - (1-p)^9 - 9 p (1-p)^8,$$

kod nie chroni $\mathsf{Q}.$

Konkretnie oznacza to, że — z dokładnością do globalnej fazy — na nasz qubit $\mathsf{Q}$ (jako logiczny qubit) zostanie zastosowana niejednostkowa operacja Pauliego. To znaczy: jeśli błędy $X$ i $Z$ są wykrywane i korygowane dla kodu Shora zgodnie z opisem wcześniej w lekcji, zostaniemy z kodowaniem stanu równoważnego, z dokładnością do globalnej fazy, kodowaniu niejednostkowej operacji Pauliego zastosowanej do pierwotnego stanu $\mathsf{Q}.$ Zwięźlej można powiedzieć, że wystąpił logiczny błąd. Może to, ale nie musi, wpłynąć na pierwotny stan $\mathsf{Q}$ — czyli innymi słowy na logiczny qubit zakodowany przy użyciu dziewięciu fizycznych qubitów — ale na potrzeby tej analizy uznajemy to zdarzenie za niepowodzenie.

Z drugiej strony, gdybyśmy nie zdecydowali się użyć kodu, nasz jedyny qubit uległby podobnemu losowi (byłaby na nim zastosowana niejednostkowa operacja Pauliego) z prawdopodobieństwem $p.$ Kod jest pomocny, gdy pierwsze prawdopodobieństwo jest mniejsze od drugiego:

$$1 - (1-p)^9 - 9 p (1-p)^8 < p.$$

Poniższy wykres ilustruje, dla bardzo małych wartości $p,$ że kod zapewnia przewagę, a punkt równowagi wypada w okolicach $0{,}0323.$

Jeśli $p$ jest mniejsze od tego punktu równowagi, kod jest pomocny; w punkcie równowagi prawdopodobieństwa są równe, więc używamy kodu i 8 dodatkowych qubitów bez żadnego pożytku; a powyżej punktu równowagi zdecydowanie nie powinniśmy używać tego kodu, ponieważ zwiększa on szansę na logiczny błąd na $\mathsf{Q}.$

Nieco ponad trzy i ćwierć procent może nie wydawać się dobrym punktem równowagi, zwłaszcza w porównaniu z $50\%,$ który jest analogicznym punktem równowagi dla 3-bitowego kodu repetycyjnego dla informacji klasycznej. Różnica ta wynika w dużej mierze z faktu, że informacja kwantowa jest delikatniejsza i trudniejsza do ochrony niż informacja klasyczna. Ale też — uznając, że 9-kubitowy kod Shora stanowi błyskotliwe odkrycie jako pierwszy na świecie kwantowy kod korekcji błędów — trzeba przyznać, że w praktycznych zastosowaniach nie jest to wcale bardzo dobry kod.