Określanie obserwabli w bazie Pauliego

Wersje pakietów

Kod na tej stronie został opracowany przy użyciu poniższych wymagań. Zalecamy używanie tych wersji lub nowszych.

qiskit[all]~=2.3.0

W mechanice kwantowej obserwable odpowiadają właściwościom fizycznym, które można mierzyć. Rozważając na przykład układ spinów, możesz być zainteresowany pomiarem energii systemu lub uzyskaniem informacji o wyrównaniu spinów, takich jak namagnesowanie lub korelacje między spinami.

Aby zmierzyć $n$-qubitową obserwablę $O$ na komputerze kwantowym, musisz przedstawić ją jako sumę iloczynów tensorowych operatorów Pauliego, to znaczy

$$O = \sum_{k=1}^K \alpha_k P_k,~~ P_k \in \{I, X, Y, Z\}^{\otimes n},~~ \alpha_k \in \mathbb{R},$$

gdzie

$$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ~~ X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ~~ Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} ~~ Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

i korzystasz z faktu, że obserwabla jest hermitowska, tzn. $O^\dagger = O$. Jeśli $O$ nie jest hermitowska, nadal można ją rozłożyć jako sumę Paulich, ale współczynnik $\alpha_k$ staje się zespolony.

W wielu przypadkach obserwabla jest naturalnie określona w tej reprezentacji po odwzorowaniu badanego układu na Qubity. Na przykład układ spinów 1/2 można odwzorować na hamiltoniana Isinga

$$H = \sum_{\langle i, j\rangle} Z_i Z_j - \sum_{i=1}^n X_i,$$

gdzie indeksy $\langle i, j\rangle$ biegną po oddziałujących spinach, a spiny podlegają poprzecznemu polu w $X$. Indeks dolny wskazuje, na który Qubit działa operator Pauliego, tzn. $X_i$ stosuje operator $X$ na Qubicie $i$, pozostawiając resztę bez zmian.

W Qiskit SDK ten hamiltoniana można skonstruować następującym kodem.

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q numpy qiskit

from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp

# define the number of qubits
n = 12

# define the single Pauli terms as ("Paulis", [indices], coefficient)
interactions = [
    ("ZZ", [i, i + 1], 1) for i in range(n - 1)
]  # we assume spins on a 1D line
field = [("X", [i], -1) for i in range(n)]

# build the operator
hamiltonian = SparsePauliOp.from_sparse_list(
    interactions + field, num_qubits=n
)
print(hamiltonian)

SparsePauliOp(['IIIIIIIIIIZZ', 'IIIIIIIIIZZI', 'IIIIIIIIZZII', 'IIIIIIIZZIII', 'IIIIIIZZIIII', 'IIIIIZZIIIII', 'IIIIZZIIIIII', 'IIIZZIIIIIII', 'IIZZIIIIIIII', 'IZZIIIIIIIII', 'ZZIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIX', 'IIIIIIIIIIXI', 'IIIIIIIIIXII', 'IIIIIIIIXIII', 'IIIIIIIXIIII', 'IIIIIIXIIIII', 'IIIIIXIIIIII', 'IIIIXIIIIIII', 'IIIXIIIIIIII', 'IIXIIIIIIIII', 'IXIIIIIIIIII', 'XIIIIIIIIIII'],
              coeffs=[ 1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,
  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j,
 -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j])

Jeśli chcemy zmierzyć energię, obserwablą jest sam hamiltoniana. Alternatywnie możemy być zainteresowani pomiarem właściwości systemu, takich jak średnie namagnesowanie, poprzez liczenie spinów wyrównanych w kierunku $Z$ za pomocą obserwabli

$$O = \frac{1}{n} \sum_{i=1} Z_i$$

Dla obserwabli, które nie są podane w kategoriach operatorów Pauliego, lecz w postaci macierzowej, musimy najpierw sformułować je w bazie Pauliego, aby ocenić je na komputerze kwantowym. Zawsze jesteśmy w stanie znaleźć taką reprezentację, ponieważ macierze Pauliego tworzą bazę dla hermitowskich macierzy $2^n \times 2^n$. Rozwijamy obserwablę $O$ jako

$$O = \sum_{P \in \{I, X, Y, Z\}^{\otimes n}} \mathrm{Tr}(O P) P,$$

gdzie suma przebiega po wszystkich możliwych $n$-qubitowych składowych Pauliego, a $\mathrm{Tr}(\cdot)$ jest śladem macierzy, który pełni rolę iloczynu skalarnego. Tę dekompozycję z macierzy na składowe Pauliego możesz zaimplementować za pomocą metody SparsePauliOp.from_operator, jak poniżej:

import numpy as np
from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp

matrix = np.array(
    [[-1, 0, 0.5, -1], [0, 1, 1, 0.5], [0.5, 1, -1, 0], [-1, 0.5, 0, 1]]
)

observable = SparsePauliOp.from_operator(matrix)
print(observable)

SparsePauliOp(['IZ', 'XI', 'YY'],
              coeffs=[-1. +0.j,  0.5+0.j,  1. -0.j])

Oznacza to, że macierz można zapisać jako składowe Pauliego jako $O = -Z_1 + 0.5 X_2 + Y_2 Y_1$.

uwaga

Pamiętaj, że kolejność iloczynu tensorowego odwzorowuje się na Qubity jako $q_n \otimes q_{n-1} \otimes \cdots \otimes q_1$.

uwaga

Jeśli obserwabla jest hermitowska (tzn. $O^\dagger = O$), współczynniki Pauliego są liczbami rzeczywistymi. Możemy jednak również rozłożyć dowolną inną macierz zespoloną na składowe Pauliego, jeśli dopuścimy zespolone współczynniki.

Pomiar w bazach Pauliego

Pomiar rzutuje stan Qubitu na bazę obliczeniową $\{|0\rangle, |1\rangle\}$. Oznacza to, że możesz mierzyć tylko obserwable diagonalne w tej bazie, takie jak Paulie składające się wyłącznie ze składowych $I$ i $Z$. Mierzenie dowolnych składowych Pauliego wymaga zatem zmiany bazy w celu ich diagonalizacji. Aby to zrobić, wykonaj następujące przekształcenia:

$$\begin{aligned} X &\rightarrow Z = H X H \\ Y &\rightarrow Z = H S^\dagger Y S H, \end{aligned}$$

gdzie $H$ jest bramką Hadamarda, a $S = \sqrt{Z}$ jest czasami nazywana bramką fazową. Jeśli używasz Estimator do obliczania wartości oczekiwanych, przekształcenia bazy są wykonywane automatycznie.

Poniżej znajduje się przykład demonstrujący, jak przygotować Circuit kwantowy i ręcznie mierzyć Qubit 0 w bazie X, Qubit 1 w bazie Y i Qubit 2 w bazie Z. Stosujemy przekształcenia pokazane w poprzednim równaniu i uzyskujemy następujący Circuit:

from qiskit.circuit import QuantumCircuit

# create a circuit, where we would like to measure
# q0 in the X basis, q1 in the Y basis and q2 in the Z basis
circuit = QuantumCircuit(3)
circuit.ry(0.8, 0)
circuit.cx(0, 1)
circuit.cx(1, 2)
circuit.barrier()

# diagonalize X with the Hadamard gate
circuit.h(0)

# diagonalize Y with Hadamard as S^\dagger
circuit.sdg(1)
circuit.h(1)

# the Z basis is the default, no action required here

# measure all qubits
circuit.measure_all()
circuit.draw("mpl")

Kolejne kroki

Zalecenia

• Przeczytaj dokumentację API SparsePauliOp.