Algorytmy wariacyjne

Ten kurs omawia szczegóły algorytmów wariacyjnych i krótkoterminowych hybrydowych algorytmów kwantowo-klasycznych opartych na twierdzeniu wariacyjnym mechaniki kwantowej. Algorytmy te mogą wykorzystywać możliwości dzisiejszych komputerów kwantowych nieodpornych na błędy, co czyni je idealnymi kandydatami do osiągnięcia przewagi kwantowej.

W trakcie tego kursu zbadasz:

• Każdy krok w przepływie pracy projektowania algorytmów wariacyjnych

• Kompromisy związane z każdym krokiem

• Jak używać prymitywów IBM Quantum do optymalizacji szybkości i dokładności

Choć ten kurs jest punktem wyjścia dla badaczy i deweloperów chcących odkrywać możliwości komputerów kwantowych, możesz też swobodnie zgłębiać wiedzę teoretyczną i podstawy informatyki kwantowej w ogólności w kursie Podstawy informacji i obliczeń kwantowych (dostępnym również jako seria filmów na YouTube).

Uproszczony przepływ pracy hybrydowej

Algorytmy wariacyjne obejmują kilka modułowych komponentów, które można łączyć i optymalizować w zależności od postępów w algorytmach, oprogramowaniu i sprzęcie. Należą do nich: funkcja kosztu opisująca konkretny problem z zestawem parametrów, ansatz wyrażający przestrzeń poszukiwań przy użyciu tych parametrów oraz optymalizator iteracyjnie eksplorujący tę przestrzeń. W każdej iteracji optymalizator ocenia funkcję kosztu dla bieżących parametrów i wybiera parametry do następnej iteracji, aż zbiegnie się do optymalnego rozwiązania. Hybrydowy charakter tej rodziny algorytmów wynika z faktu, że funkcje kosztu są obliczane przy użyciu zasobów kwantowych, a optymalizowane za pomocą zasobów klasycznych.

1. Zainicjuj problem: Algorytmy wariacyjne zaczynają od zainicjowania komputera kwantowego w stanie domyślnym $|0\rangle$, a następnie przekształcenia go do pewnego pożądanego (nieparametryzowanego) stanu $|\rho\rangle$, który będziemy nazywać stanem referencyjnym.

   To przekształcenie jest reprezentowane przez zastosowanie unitarnego operatora referencyjnego $U_R$ na stanie domyślnym, tak że $U_R|0\rangle = |\rho\rangle$.

2. Przygotuj ansatz: Aby iteracyjnie optymalizować od stanu domyślnego $|0\rangle$ do stanu docelowego $|\psi(\vec\theta)\rangle$, musisz zdefiniować formę wariacyjną $U_V(\vec\theta)$ reprezentującą zbiór stanów parametryzowanych, które algorytm wariacyjny będzie eksplorować.

   Dowolną kombinację stanu referencyjnego i formy wariacyjnej nazywamy ansatz, tak że: $U_A(\vec\theta) := U_V(\vec\theta) U_R$. Ansatze przyjmą ostatecznie postać parametryzowanych Circuit kwantowych zdolnych do przekształcenia stanu domyślnego $|0\rangle$ w stan docelowy $|\psi(\vec\theta)\rangle$.

   Podsumowując, będziemy mieć:

   $$\begin{aligned} |0\rangle \xrightarrow{U_R} U_R|0\rangle & = |\rho\rangle \xrightarrow{U_V(\vec{\theta})} U_A(\vec{\theta})|0\rangle \\[1mm] & = U_V(\vec{\theta})U_R|0\rangle \\[1mm] & = U_V(\vec{\theta})|\rho\rangle \\[1mm] & = |\psi(\vec{\theta})\rangle \\[1mm] \end{aligned}$$

3. Oceń funkcję kosztu: Problem można zakodować w funkcji kosztu $C(\vec\theta)$ jako liniową kombinację operatorów Pauli, uruchomioną na systemie kwantowym. Choć mogą to być informacje o układzie fizycznym, takie jak energia lub spin, można również kodować problemy niefizyczne. Możesz korzystać z prymitywów IBM Quantum, aby radzić sobie z szumem za pomocą tłumienia i łagodzenia błędów podczas obliczania funkcji kosztu.

4. Zoptymalizuj parametry: Wyniki są przekazywane do komputera klasycznego, gdzie klasyczny optymalizator analizuje je i wybiera kolejny zestaw wartości parametrów wariacyjnych. Jeśli masz gotowe optymalne rozwiązanie wstępne, możesz ustawić je jako punkt startowy $\vec\theta_0$, aby przyspieszyć optymalizację. Użycie tego stanu początkowego $|\psi(\vec\theta_0)\rangle$ może pomóc optymalizatorowi szybciej znaleźć poprawne rozwiązanie.

5. Dostosuj parametry ansatz na podstawie wyników i uruchom ponownie: Cały proces jest powtarzany, aż zostaną spełnione kryteria zakończenia klasycznego optymalizatora i zostanie zwrócony optymalny zestaw wartości parametrów $\vec\theta^*$. Proponowany stan rozwiązania naszego problemu będzie wtedy $|\psi(\vec\theta^*)\rangle = U_A(\vec\theta^*)|0\rangle$.

Twierdzenie wariacyjne

Częstym celem algorytmów wariacyjnych jest znalezienie stanu kwantowego o najniższej lub najwyższej wartości własnej pewnej obserwowalnej. Kluczowym spostrzeżeniem, z którego będziemy korzystać, jest twierdzenie wariacyjne mechaniki kwantowej. Zanim przejdziemy do jego pełnego sformułowania, przeanalizujmy matematyczną intuicję leżącą u jego podstaw.

Matematyczna intuicja dla energii i stanów podstawowych

W mechanice kwantowej energia ma postać kwantowej obserwowalnej, którą zazwyczaj nazywamy Hamiltonianem, oznaczanym przez $\hat{\mathcal{H}}$. Rozważmy jego rozkład spektralny:

$$\hat{\mathcal{H}} = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\phi_k\rangle \langle \phi_k|$$

gdzie $N$ jest wymiarem przestrzeni stanów, $\lambda_{k}$ jest $k$-tą wartością własną lub, fizycznie, $k$-tym poziomem energetycznym, a $|\phi_k\rangle$ jest odpowiednim stanem własnym: $\hat{\mathcal{H}}|\phi_k\rangle = \lambda_k |\phi_k\rangle$; oczekiwana energia układu w (znormalizowanym) stanie $|\psi\rangle$ wyniesie:

$$\begin{aligned} \langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle & = \langle \psi |\bigg(\sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\phi_k\rangle \langle \phi_k|\bigg) | \psi \rangle \\[1mm] & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k \langle \psi |\phi_k\rangle \langle \phi_k| \psi \rangle \\[1mm] & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] \end{aligned}$$

Uwzględniając, że $\lambda_0\leq \lambda_k, \forall k$, mamy:

$$\begin{aligned} \langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & \geq \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_0 |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & = \lambda_0 \sum_{k=0}^{N-1} |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & = \lambda_0 \\[1mm] \end{aligned}$$

Ponieważ $\{|\phi_k\rangle \}_{k=0}^{N-1}$ jest bazą ortonormalną, prawdopodobieństwo zmierzenia $|\phi_{k} \rangle$ wynosi $p_k = |\langle \psi |\phi_{k} \rangle |^2$, a suma wszystkich prawdopodobieństw spełnia $\sum_{k=0}^{N-1} |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 = \sum_{k=0}^{N-1}p_k = 1$. Krótko mówiąc, oczekiwana energia dowolnego układu jest wyższa niż najniższa energia, czyli energia stanu podstawowego:

$$\langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle \geq \lambda_0.$$

Powyższy argument stosuje się do dowolnego poprawnego (znormalizowanego) stanu kwantowego $|\psi\rangle$, więc można rozważać stany parametryzowane $|\psi(\vec\theta)\rangle$ zależące od wektora parametrów $\vec\theta$. Tu właśnie pojawia się „wariacyjna" część. Jeśli weźmiemy funkcję kosztu zadaną przez $C(\vec\theta) := \langle \psi(\vec\theta)|\hat{\mathcal{H}}|\psi(\vec\theta)\rangle$ i chcemy ją zminimalizować, minimum zawsze spełnia:

$$\min_{\vec\theta} C(\vec\theta) = \min_{\vec\theta} \langle \psi(\vec\theta)|\hat{\mathcal{H}}|\psi(\vec\theta)\rangle \geq \lambda_0.$$

Minimalna wartość $C(\vec\theta)$ będzie najbliższą wartością $\lambda_0$ osiągalną za pomocą stanów parametryzowanych $|\psi(\vec\theta)\rangle$, a równość zostanie osiągnięta tylko wtedy, gdy istnieje wektor parametrów $\vec\theta^*$ taki, że $|\psi(\vec\theta^*)\rangle = |\phi_0\rangle$.

Twierdzenie wariacyjne mechaniki kwantowej

Jeśli (znormalizowany) stan $|\psi\rangle$ układu kwantowego zależy od wektora parametrów $\vec\theta$, to optymalne przybliżenie stanu podstawowego (czyli stanu własnego $|\phi_0\rangle$ o minimalnej wartości własnej $\lambda_0$) to takie, które minimalizuje wartość oczekiwaną Hamiltonianu $\hat{\mathcal{H}}$:

$$\langle \hat{\mathcal{H}} \rangle(\vec\theta) := \langle \psi(\vec\theta) |\hat{\mathcal{H}}| \psi(\vec\theta) \rangle \geq \lambda_0$$

Twierdzenie wariacyjne jest sformułowane w kategoriach minimów energii, ponieważ zawiera szereg założeń matematycznych:

• Ze względów fizycznych musi istnieć skończone dolne ograniczenie energii $E \geq \lambda_0 > -\infty$, nawet dla $N\rightarrow\infty$.

• Górne ograniczenia na ogół nie istnieją.

Jednak z matematycznego punktu widzenia nie ma nic szczególnego w Hamiltonianie $\hat{\mathcal{H}}$ poza tymi założeniami, więc twierdzenie można uogólnić na inne kwantowe obserwowalne i ich stany własne, o ile spełniają te same ograniczenia. Należy również zauważyć, że jeśli istnieją skończone górne ograniczenia, te same argumenty matematyczne można zastosować do maksymalizacji wartości własnych, zamieniając dolne ograniczenia na górne.

Podsumowanie

W tej lekcji poznałeś ogólny obraz algorytmów wariacyjnych. W kolejnych lekcjach zbadamy szczegółowo każdy krok oraz związane z nim kompromisy.