Podstawy mechaniki kwantowej

Wprowadzenie

W poniższym filmie Olivia Lanes przeprowadzi cię przez materiał z tej lekcji. Możesz też otworzyć film na YouTube w osobnym oknie.

W poprzedniej lekcji nauczyliśmy się, jak wytworzyć stan splątany dwóch Qubitów, zwany „stanem Bella". Podczas pomiaru zaobserwowaliśmy, że wyniki pomiarów obu Qubitów były skorelowane: gdy jeden Qubit był mierzony jako 0, drugi również był mierzony jako 0, a gdy jeden dawał 1, drugi też pokazywał 1. Przekonaliśmy się, że jest to cecha charakterystyczna splątania kwantowego. Dziś zagłębimy się w ten stan i zbadamy, co ujawnia on na temat fizyki kwantowej leżącej u podstaw obliczeń kwantowych.

Stan Bella

Wiele zjawisk kwantowych sprawiających, że komputery kwantowe zachowują się inaczej niż klasyczne, jest już obecnych w pozornie prostym stanie Bella wytworzonym w poprzedniej lekcji. Przypomnijmy Circuit tworzący ten stan Bella:

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q qiskit

from qiskit import QuantumCircuit

qc = QuantumCircuit(2)
qc.h(0)
qc.cx(0, 1)
qc.measure_all()
qc.draw("mpl")

Powyższy obraz przedstawia Circuit kwantowy tworzący stan Bella $\vert\Phi^+\rangle$. Dwie czarne poziome linie reprezentują nasze dwa Qubity, a prostokąty i inne symbole na tych liniach to Gate'y lub operacje wykonywane na odpowiednich Qubitach. Szara podwójna linia to klasyczna magistrala informacyjna, która umożliwia przechowywanie informacji klasycznej uzyskanej przez pomiar obu Qubitów. Przyjrzymy się szczegółom tego Circuit i powstałego stanu Bella, aby zrozumieć podstawy obliczeń kwantowych.

Matematyka obliczeń kwantowych

Reprezentacja stanu kwantowego

Na początku potrzebujemy wspólnego języka do opisu stanów kwantowych i Circuit'ów. Istnieje kilka sposobów reprezentowania stanów kwantowych. Pierwszy z nich to notacja Diraca. W notacji Diraca stan wygląda tak:

$$\vert \Phi^+\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}} ( \vert 00 \rangle + \vert 11 \rangle )$$

Tutaj stan jest zapisany między nawiasami kątowymi a pionowymi kreskami. Dwa człony reprezentują dwa możliwe wyniki pomiaru stanu. Zatem mierząc ten stan, stwierdzimy, że oba Qubity są w stanie 0 albo że oba są w stanie 1. Wyrażenie $\frac{1}{\sqrt{2}}$ nazywa się „stałą normalizacyjną". Zapewnia ono, że suma kwadratów wszystkich współczynników w stanie wynosi $1$. Wyjaśnimy, dlaczego tak jest, w późniejszej sekcji poświęconej pomiarom.

Drugi sposób reprezentowania stanu to standardowy język algebry liniowej: wektor, w którym każdy element odpowiada innemu możliwemu wynikowi pomiaru. W tej notacji nasz stan Bella można zapisać tak:

$$\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ~.$$

Zgodnie z konwencją elementy wektora są uporządkowane następująco:

• Pierwszy element odpowiada dwu-Qubitowemu stanowi $\vert00\rangle$
• Drugi odpowiada $\vert01\rangle$
• Trzeci odpowiada $\vert10\rangle$
• Czwarty odpowiada $\vert11\rangle$

Jak można się spodziewać, w wektorze stanu Bella $\vert\Phi^+\rangle$ pierwszy i czwarty element są niezerowe, podczas gdy drugi i trzeci są zerowe. Stała normalizacyjna $1/\sqrt{2}$ zapewnia, że długość wektora wynosi $1$.

Uwaga dotycząca kolejności Qubitów

Qiskit używa kolejności little endian. Oznacza to, że Qubit skrajny po prawej stronie jest traktowany jako pierwszy (lub najmniej znaczący), a Qubit skrajny po lewej jest najbardziej znaczący. Zatem gdy zapisujemy stan taki jak $\vert01\rangle$:

• bit skrajny po prawej odpowiada Qubitowi $0$ i jest w stanie $\vert1\rangle$,
• bit skrajny po lewej odpowiada Qubitowi $1$ i jest w stanie $\vert0\rangle$.

Reprezentacja Gate'ów

Podobnie jak stany można reprezentować jako wektory, Gate'y można reprezentować jako macierze. Gate działa na stan, przekształcając jego wektor w nowy wektor.

Każdy Gate odpowiada konkretnej macierzy, która określa sposób przekształcenia stanu. Przekształcenie to stosujemy, mnożąc macierz Gate'u przez pierwotny wektor stanu, przy czym macierz Gate'u stoi po lewej stronie wektora stanu, w taki sposób:

$$U |\psi\rangle$$

gdzie $U$ reprezentuje macierz Gate'u, a $|\psi\rangle$ reprezentuje wektor stanu.

Jako przykład przyjrzyjmy się bramce Hadamarda. Gate Hadamarda to jednoQubitowy Gate (czerwony prostokąt oznaczony „H" na schemacie Circuit powyżej), który przekształca stan $\vert0\rangle$ na $\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert0\rangle+\vert1\rangle)$, a stan $\vert1\rangle$ na $\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert0\rangle-\vert1\rangle)$. W notacji macierzowej bramka Hadamarda wygląda tak:

$$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} ~.$$

Sprawdź swoje zrozumienie

Użyj mnożenia macierzy, aby pokazać, że macierz Hadamarda przekształca stany zgodnie z oczekiwaniami. (W razie potrzeby możesz dowiedzieć się, jak wykonywać mnożenie macierzy.)

Odpowiedź

$$H |0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ~\checkmark$$$$H |1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} ~\checkmark$$

Warto pamiętać o kilku właściwościach macierzy Gate'ów:

1. Zawsze są to macierze kwadratowe $N \times N$, gdzie $N$ jest jednocześnie wymiarem wektora stanu, na który działają. Na przykład gdy mamy tylko jeden Qubit, wektor stanu jest dwuwymiarowy i reprezentuje dwa możliwe stany 0 i 1 Qubitu. W takim przypadku wymiary macierzy Gate'u działającej na ten system wynoszą $2\times 2$.
2. Gate'y kwantowe są odwracalne. Innymi słowy, można znaleźć inną macierz, która jest odwrotnością danego Gate'u — cofa jego działanie i przywraca Qubity do pierwotnego stanu.
3. Gate'y kwantowe zachowują też długość przekształcanych przez siebie wektorów. Wektory stanu kwantowego zawsze mają długość $1$ (zagwarantowaną przez wspomniane wcześniej stałe normalizacyjne). Gate'y nie wydłużają ani nie skracają tych wektorów, lecz jedynie je obracają.

Wszystkie te właściwości są cechami macierzy unitarnych. Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o matematycznych właściwościach macierzy unitarnych, możesz przeczytać lekcję Johna Watrouса o układach złożonych w kursie Basics of Quantum Information.

Jak działają pomiary

Gdy mierzymy stan kwantowy, wynikiem jest zawsze jeden z możliwych wyników (dla pojedynczego Qubitu: 0 albo 1). Który wynik otrzymamy, jest losowe, lecz stan kwantowy mówi nam o prawdopodobieństwach każdego z wyników.

Elementy wektora stanu wyznaczają te prawdopodobieństwa. Aby uzyskać prawdopodobieństwo danego wyniku, bierzemy kwadrat elementu odpowiadającego temu wynikowi. Na przykład, jeśli Qubit jest w stanie:

$$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle),$$

pierwszy element (odpowiadający 0) wynosi $1/\sqrt{2}$, a drugi element (odpowiadający 1) również $1/\sqrt{2}$. Podnosząc te liczby do kwadratu, otrzymujemy

$$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} = 0.5,$$

co oznacza 50% szansy na zmierzenie 0 i 50% szansy na zmierzenie 1.

Przypomnijmy, że suma wszystkich podniesionych do kwadratu elementów zawsze wynosi 1. Ma to sens, ponieważ mierząc, musimy otrzymać jakiś wynik — prawdopodobieństwa wszystkich możliwych wyników muszą sumować się do 100%.

Po pomiarze Qubit zapada się do zaobserwowanego wyniku, a wszelka poprzednia superpozycja zostaje utracona. Qubit zachowuje się teraz jak klasyczny bit. Pomiary zasadniczo różnią się od Gate'ów kwantowych. Podczas gdy Gate'y zmieniają stany kwantowe w sposób deterministyczny i odwracalny, pomiar jest z natury losowy i nieodwracalny.

Pomiar w różnych bazach

Domyślnie, gdy mierzysz Qubit w Circuit kwantowym, mierzysz jego stan tylko wzdłuż jednej osi. Nazywa się to bazą obliczeniową lub bazą $Z$, która jest definiowana przez stany $\vert 0\rangle$ i $\vert 1\rangle$. Możesz wyobrazić sobie stan $\vert 0\rangle$ jako wektor skierowany prosto w górę, a stan $\vert 1\rangle$ jako wektor skierowany prosto w dół. Pomiar w bazie $Z$ odpowiada na pytanie: „Czy stan Qubitu wskazuje w górę czy w dół?"

To jednak nie jedyne pytanie, jakie można zadać Qubitowi. Wektor stanu Qubitu nie musi wskazywać wyłącznie w górę lub w dół. Superpozycja stanów $\vert 0\rangle$ i $\vert 1\rangle$ daje wektor stanu wskazujący w dowolnym kierunku w przestrzeni trójwymiarowej — dokładny kierunek zależy od względnych amplitud i faz obu składowych superpozycji. Zatem standardowy pomiar w bazie $Z$ pyta „w górę czy w dół?", ale można też zapytać „w lewo czy w prawo?" albo „do przodu czy do tyłu?"

Te pytania odpowiadają pomiarom w różnych bazach. Każda baza ma swój własny zestaw dwóch wektorów bazowych, które określają dwa możliwe wyniki pomiaru w tej bazie (tak jak $\vert 0\rangle$ lub $\vert 1\rangle$ dla bazy $Z$).

• Wyniki pomiaru w bazie Z zapadają się do $\vert 0\rangle$ lub $\vert 1\rangle$
• Wyniki pomiaru w bazie X zapadają się do $\vert +\rangle$ lub $\vert -\rangle$
• Wyniki pomiaru w bazie Y zapadają się do $\vert i\rangle$ lub $\vert -i\rangle$

gdzie

$$\begin{aligned} \lvert +\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle + \lvert 1\rangle) \\ \lvert -\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle - \lvert 1\rangle) \\ \lvert i\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle + i\lvert 1\rangle) \\ \lvert -i\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle - i\lvert 1\rangle) \end{aligned}$$

gdzie $i=\sqrt{−1}$ jest jednostką urojoną. Po raz pierwszy widzimy tu superpozycje z różnicą fazy między dwoma składowymi. Faza jest zazwyczaj zapisywana jako $e^{i\theta}$, gdzie $\theta$ to kąt amplitudy stanu kwantowego na płaszczyźnie zespolonej — płaszczyźnie dwuwymiarowej, w której oś pozioma reprezentuje liczby rzeczywiste, a oś pionowa — urojone. Bardziej intuicyjnie można to sobie wyobrazić jako przesunięcie jednej fali względem drugiej: czy ich szczyty są wyrównane, czy jedna fala jest przesunięta tak, że jej szczyt pokrywa się z dołkiem drugiej?

Macierze Pauliego i obserwable

Istnieją trzy macierze, zwane macierzami Pauliego, powiązane z trzema różnymi wyborami baz $X$, $Y$ i $Z$:

$$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Jak dokładnie odnoszą się one do baz pomiarowych? Na pierwszy rzut oka wyglądają jak zwykłe macierze Gate'ów — i rzeczywiście nimi są. Każda macierz Pauliego może działać na Qubit i zmieniać jego stan:

• Pauli-X zamienia miejscami $|0\rangle$ i $|1\rangle$, niczym klasyczny Gate NOT.
• Pauli-Z pozostawia $|0\rangle$ bez zmian, ale mnoży $|1\rangle$ przez $-1$, zmieniając względną fazę.
• Pauli-Y odwraca Qubit i wprowadza fazę.

Macierze Pauliego mają jednak drugą, równie ważną interpretację. W mechanice kwantowej każda mierzalna wielkość nazywana jest obserwablą, a obserwable są reprezentowane przez macierze. Macierze Pauliego odpowiadają pomiarom wzdłuż trzech różnych osi, a ich stany własne odpowiadają dwóm możliwym wynikom pomiaru wzdłuż każdej osi. (Jeśli termin „stan własny" jest ci nieznany — nie przejmuj się — to po prostu specjalne wektory związane z daną macierzą.)

• $Z$ → pomiar w bazie Z ($|0\rangle$, $|1\rangle$)
• $X$ → pomiar w bazie X ($|+\rangle$, $|-\rangle$)
• $Y$ → pomiar w bazie Y ($|i\rangle$, $|-i\rangle$)

To wyjaśnia, dlaczego macierze Pauliego zdają się pełnić podwójną rolę. Zarówno działają na stany (jako Gate'y), jak i definiują kierunki pomiarów (jako obserwable). Obie te role wynikają z tej samej matematyki.

Jak więc w praktyce mierzyć w bazie X lub Y? Domyślnie nasze komputery kwantowe są skonfigurowane do pomiarów wyłącznie w bazie Z. Musisz więc zmienić bazę, obracając wektor stanu Qubitu w taki sposób, aby interesująca cię informacja — X lub Y — znajdowała się teraz w kierunku Z. Następnie wykonujesz standardowy pomiar Z.

Na przykład pomiar w bazie X można wykonać, stosując Gate Hadamarda, a następnie mierząc w bazie Z. Hadamard obraca stan tak, że „informacja X" staje się „informacją Z". Potem normalny pomiar daje pożądany wynik.

W następnej lekcji zobaczysz więcej zastosowań macierzy Pauliego, gdy wykorzystamy nasze nowe umiejętności pisania Circuit'ów kwantowych do rozwiązania prawdziwego problemu z fizyki kwantowej.

Circuit stanu Bella

Teraz, gdy mamy punkt wyjścia — wiemy, że stany można reprezentować wektorami, Gate'y macierzami, a pomiar powoduje „zapadnięcie się" stanu — przejdźmy krok po kroku przez Circuit, który tworzy i mierzy powyższy stan Bella.

Zaczynamy od stanu początkowego dwóch Qubitów $|00\rangle$:

$$|00\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Utwórz superpozycję

Circuit zaczyna się od zastosowania Gate'u Hadamarda do Qubitu 0. Jak widzieliśmy w poprzedniej sekcji, Hadamard przenosi Qubit ze stanu określonego, $|0\rangle$ lub $|1\rangle$, do kombinacji obu tych stanów. Przypomnijmy, że Gate Hadamarda to:

$$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

Aby zastosować go do pierwszego Qubitu w układzie dwuQubitowym, używamy rozszerzonej macierzy 4x4, która stosuje $H$ do Qubitu 0, pozostawiając Qubit 1 bez zmian. Można to ująć jako „zastosuj $H$ do pierwszego Qubitu i nie ruszaj drugiego":

$$H_0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$

Następnie mnożymy to przez wektor stanu początkowego:

$$H_0 |00\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |01\rangle)$$

Teraz Qubit 0 jest w stanie superpozycji.

Więcej o superpozycji kwantowej

Superpozycja kwantowa powyższego rodzaju jest często opisywana jako Qubit znajdujący się jednocześnie w obu stanach. Jednak gdy mierzymy taki stan superpozycji, wynik zawsze wynosi $0$ lub $1$ — nigdy nie możemy bezpośrednio zaobserwować samej superpozycji. W rzeczywistości sformułowanie „Qubit jest jednocześnie w obu stanach" może być mylące. Dokładniejszy opis brzmi: superpozycja to matematyczny opis stanu kwantowego, który pozwala nam obliczać prawdopodobieństwa różnych wyników pomiarów. Niektórzy uważają, że superpozycje są fizycznie realne, ale jest to filozoficzna interpretacja, której nie można przetestować — mechanika kwantowa przewiduje jedynie prawdopodobieństwa wyników pomiarów.

W odróżnieniu od klasycznego rozkładu prawdopodobieństwa, superpozycja kwantowa pozwala też poszczególnym składowym interferować ze sobą, jak nakładające się fale, które mogą się wzmacniać lub niwelować. Ta interferencja umożliwia algorytmom kwantowym generowanie wzorców wyników pomiarów niemożliwych do uzyskania za pomocą klasycznej losowości.

---

Splątaj Qubity

Następnie stosowana jest bramka controlled-NOT (CNOT) (widoczna jako niebieski punkt, pionowa linia i kółko ze znakiem plus łączące oba Qubity). Ta bramka splątuje ze sobą dwa Qubity. Po tym kroku stan jednego Qubitu nie może być opisany niezależnie od drugiego.

Gate CNOT odwraca Qubit 1 (zwany Qubitem docelowym) tylko wtedy, gdy Qubit 0 (zwany Qubitem sterującym) jest w stanie $\vert 1\rangle$. Jego macierz to:

$$\text{CNOT} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Zastosujemy ją do stanu z kroku 1:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$$

Teraz Qubity są splątane: pomiar jednego natychmiast determinuje drugi.

Więcej o splątaniu kwantowym

Splątanie, podobnie jak superpozycja, to zjawisko kwantowe niemające klasycznego odpowiednika. W układach klasycznych dwa skorelowane bity mogą mieć powiązane wartości, ale każdy bit nadal posiada określoną wartość — nawet jeśli jej nie znamy. Na przykład, gdy dwie monety są sklejone tak, że zawsze lądują tak samo, widząc jedną orła, natychmiast wiemy, że druga też pokazuje orła. Jednak zanim na nie spojrzymy, każda moneta jest już w określonym stanie.

W przypadku splątanych Qubitów sytuacja jest zasadniczo inna. Przed pomiarem żaden z Qubitów sam w sobie nie ma określonej wartości. Tylko para ma dobrze zdefiniowany stan. Pomiar jednego Qubitu natychmiast wpływa na prawdopodobieństwa dla drugiego, niezależnie od dzielącej je odległości. Jest to czysto kwantowy efekt: nie można go wyjaśnić klasyczną statystyką ani ukrytą informacją o poszczególnych Qubitach.

Zmierz stany

Na koniec oba Qubity są mierzone. Podczas pomiaru stan kwantowy zapada się do jednego z klasycznie dozwolonych stanów:

• 00 z prawdopodobieństwem $|1/\sqrt{2}|^2 = 0.5$.
• 11 z prawdopodobieństwem $|1/\sqrt{2}|^2 = 0.5$.

Odtwarza to skorelowane wyniki pomiarów, które zaobserwowaliśmy w Circuit w lekcji 1.

Podsumowanie

W tej lekcji odbyliśmy błyskawiczny przegląd koncepcji mechaniki kwantowej i narzędzi matematycznych niezbędnych do pewnego i samodzielnego uruchamiania Circuit'ów kwantowych na komputerze kwantowym. Omówiliśmy reprezentację stanów kwantowych, sposób, w jaki Gate'y przekształcają te stany, zasady działania pomiarów oraz to, jak superpozycja i splątanie pojawiają się naturalnie w prostych Circuit'ach.

W lekcji 3 przełożymy te pomysły na praktykę, przechodząc krok po kroku przez pełny proces rozwiązywania przykładowego problemu na komputerze kwantowym i interpretowania wyników.

Cel kształcenia

Przypomnij sobie cel kształcenia z lekcji 1, w którym poprosiliśmy cię o zmianę Circuit, aby stworzyć stan Bella $\Psi^-$. Teraz, korzystając z tego Circuit, przeprowadź algebrę macierzową i potwierdź, że twój Circuit daje pożądany stan. (Wskazówka: musisz ustalić postać macierzową Gate'u NOT lub X.)