Informacja kwantowa

Teraz jesteśmy gotowi, aby przejść do informacji kwantowej, gdzie dokonujemy innego wyboru co do typu wektora reprezentującego stan — w tym przypadku stan kwantowy — rozważanego systemu. Podobnie jak w poprzedniej dyskusji o informacji klasycznej, zajmować się będziemy systemami mającymi skończone i niepuste zbiory stanów klasycznych, i będziemy korzystać z dużej części tej samej notacji.

Kwantowe wektory stanu

Stan kwantowy systemu jest reprezentowany przez wektor kolumnowy, podobnie jak stan probabilistyczny. Tak jak poprzednio, indeksy wektora etykietują klasyczne stany systemu. Wektory reprezentujące stany kwantowe charakteryzują się tymi dwiema właściwościami:

1. Wpisy kwantowego wektora stanu są liczbami zespolonymi.
2. Suma kwadratów wartości bezwzględnych wpisów kwantowego wektora stanu wynosi $1.$

Zatem w przeciwieństwie do stanów probabilistycznych, wektory reprezentujące stany kwantowe nie muszą mieć nieujemnych rzeczywistych wpisów, i to suma kwadratów wartości bezwzględnych wpisów (w przeciwieństwie do sumy wpisów) musi być równa $1.$ Choć te zmiany są proste, dają one początek różnicom między informacją kwantową a klasyczną; każde przyspieszenie z komputera kwantowego lub ulepszenie z protokołu komunikacji kwantowej ostatecznie wynika z tych prostych zmian matematycznych.

Norma euklidesowa wektora kolumnowego

$$v = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix}$$

jest oznaczana i definiowana następująco:

$$\| v \| = \sqrt{\sum_{k=1}^n |\alpha_k|^2}.$$

Warunek, że suma kwadratów wartości bezwzględnych kwantowego wektora stanu wynosi $1,$ jest zatem równoważny temu, że ten wektor ma normę euklidesową równą $1.$ To znaczy, kwantowe wektory stanu są wektorami jednostkowymi względem normy euklidesowej.

Przykłady stanów kubitu

Termin kubit odnosi się do systemu kwantowego, którego zbiorem stanów klasycznych jest $\{0,1\}.$ To znaczy, kubit to tak naprawdę zwykły bit — ale używając tej nazwy, wyraźnie uznajemy, że ten bit może znajdować się w stanie kwantowym.

Oto przykłady stanów kwantowych kubitu:

$$\begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle \quad\text{i}\quad \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1\rangle,$$ $$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 1\rangle, \tag{1}$$

oraz

$$\begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{1+2i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle.$$

Dwa pierwsze przykłady, $\vert 0\rangle$ i $\vert 1\rangle,$ ilustrują, że standardowe elementy bazowe są prawidłowymi kwantowymi wektorami stanu: ich wpisy są liczbami zespolonymi, w których części urojone tych liczb przypadkiem wynoszą $0,$ a obliczenie sumy kwadratów wartości bezwzględnych wpisów daje

$$\vert 1\vert^2 + \vert 0\vert^2 = 1 \quad\text{i}\quad \vert 0\vert^2 + \vert 1\vert^2 = 1,$$

zgodnie z wymaganiem. Podobnie jak w ustawieniu klasycznym, kojarzymy kwantowe wektory stanu $\vert 0\rangle$ i $\vert 1\rangle$ odpowiednio z kubitem znajdującym się w stanie klasycznym $0$ i $1.$

W pozostałych dwóch przykładach ponownie mamy wpisy będące liczbami zespolonymi, a obliczenie sumy kwadratów wartości bezwzględnych wpisów daje

$$\biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 + \biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

oraz

$$\biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 + \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} = 1.$$

Są to zatem prawidłowe kwantowe wektory stanu. Zauważmy, że są one kombinacjami liniowymi standardowych stanów bazowych $\vert 0 \rangle$ i $\vert 1 \rangle,$ i z tego powodu często mówimy, że są one superpozycjami stanów $0$ i $1.$ W kontekście stanów kwantowych superpozycja i kombinacja liniowa są zasadniczo synonimami.

Przykład $(1)$ wektora stanu kubitu powyżej jest bardzo często spotykany — nazywa się go stanem plus i oznacza następująco:

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

Używamy również notacji

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle$$

do odwoływania się do powiązanego kwantowego wektora stanu, w którym drugi wpis jest ujemny zamiast dodatni, i nazywamy ten stan stanem minus.

Ten rodzaj notacji, w którym wewnątrz keta pojawia się jakiś symbol inny niż odnoszący się do stanu klasycznego, jest powszechny — możemy użyć dowolnej nazwy, jaką chcemy, wewnątrz keta, aby nazwać wektor. Dość powszechnie używa się notacji $\vert\psi\rangle,$ lub innej nazwy w miejsce $\psi,$ do odwoływania się do dowolnego wektora, który niekoniecznie musi być standardowym wektorem bazowym.

Zauważmy, że jeśli mamy wektor $\vert \psi \rangle,$ którego indeksy odpowiadają pewnemu zbiorowi stanów klasycznych $\Sigma,$ i jeśli $a\in\Sigma$ jest elementem tego zbioru stanów klasycznych, to iloczyn macierzowy $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ jest równy wpisowi wektora $\vert \psi \rangle,$ którego indeks odpowiada $a.$ Tak jak w przypadku, gdy $\vert \psi \rangle$ był standardowym wektorem bazowym, piszemy $\langle a \vert \psi \rangle$ zamiast $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ dla czytelności.

Na przykład, jeśli $\Sigma = \{0,1\}$ i

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix}, \tag{2}$$

to

$$\langle 0 \vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \quad\text{i}\quad \langle 1 \vert \psi \rangle = -\frac{2}{3}.$$

Ogólnie, używając notacji Diraca dla dowolnych wektorów, notacja $\langle \psi \vert$ odnosi się do wektora wierszowego uzyskanego przez wzięcie sprzężenia hermitowskiego wektora kolumnowego $\vert\psi\rangle,$ gdzie wektor jest transponowany z wektora kolumnowego na wektor wierszowy, a każdy wpis jest zastępowany przez swoje sprzężenie zespolone. Na przykład, jeśli $\vert\psi\rangle$ jest wektorem zdefiniowanym w $(2),$ to

$$\langle\psi\vert = \frac{1-2i}{3} \langle 0\vert - \frac{2}{3} \langle 1\vert = \begin{pmatrix} \frac{1-2i}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}.$$

Powód, dla którego bierzemy sprzężenie zespolone, oprócz transpozycji, zostanie wyjaśniony dokładniej później, gdy będziemy omawiać iloczyny skalarne.

Stany kwantowe innych układów

Możemy rozważać stany kwantowe układów posiadających dowolne klasyczne zbiory stanów. Na przykład, oto wektor stanu kwantowego dla przełącznika wentylatora elektrycznego:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[1mm] 0 \\[1mm] -\frac{i}{2}\\[1mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \vert\mathrm{high}\rangle - \frac{i}{2} \vert\mathrm{low}\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert\mathrm{off}\rangle.$$

Przyjęte tu założenie jest takie, że klasyczne stany są uporządkowane jako high, medium, low, off. Może nie istnieć żaden szczególny powód, dla którego ktoś chciałby rozważać stan kwantowy przełącznika wentylatora elektrycznego, ale w zasadzie jest to możliwe.

Oto kolejny przykład, tym razem kwantowej cyfry dziesiętnej, której klasyczne stany to $0, 1, \ldots, 9:$

$$\frac{1}{\sqrt{385}} \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\\ 6\\ 7\\ 8\\ 9\\ 10 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{385}}\sum_{k = 0}^9 (k+1) \vert k \rangle.$$

Ten przykład ilustruje wygodę zapisywania wektorów stanu przy użyciu notacji Diraca. W tym konkretnym przykładzie zapis w postaci wektora kolumnowego jest jedynie uciążliwy — ale gdyby klasycznych stanów było znacznie więcej, stałby się bezużyteczny. Notacja Diraca natomiast umożliwia precyzyjne opisanie dużych i skomplikowanych wektorów w zwięzłej formie.

Notacja Diraca pozwala również na wyrażenie wektorów, w których różne aspekty są nieokreślone, czyli nieznane lub jeszcze nieustalone. Na przykład, dla dowolnego klasycznego zbioru stanów $\Sigma,$ możemy rozważyć wektor stanu kwantowego

$$\frac{1}{\sqrt{|\Sigma|}} \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle,$$

gdzie notacja $\sqrt{|\Sigma|}$ odnosi się do normy euklidesowej zbioru $\Sigma,$ a $\vert\Sigma\vert$ w tym przypadku to po prostu liczba elementów w $\Sigma.$ Innymi słowy, jest to jednolita superpozycja nad klasycznymi stanami w $\Sigma.$

W kolejnych lekcjach spotkamy się z dużo bardziej skomplikowanymi wyrażeniami wektorów stanu kwantowego, gdzie użycie wektorów kolumnowych byłoby niepraktyczne lub niemożliwe. Faktycznie, w większości przypadków porzucimy reprezentację wektorów stanu w postaci wektorów kolumnowych, z wyjątkiem wektorów mających niewielką liczbę wpisów (często w kontekście przykładów), gdzie pomocne może być jawne wyświetlenie i zbadanie wpisów.

Oto jeszcze jeden powód, dla którego wyrażanie wektorów stanu za pomocą notacji Diraca jest wygodne: zwalnia to z konieczności jawnego określenia porządku klasycznych stanów (lub, równoważnie, odpowiedniości między klasycznymi stanami a indeksami wektora).

Na przykład, wektor stanu kwantowego dla układu posiadającego klasyczny zbiór stanów $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\},$ taki jak

$$\frac{1}{2} \vert\clubsuit\rangle + \frac{i}{2} \vert\diamondsuit\rangle - \frac{1}{2} \vert\heartsuit\rangle - \frac{i}{2} \vert\spadesuit\rangle,$$

jest jednoznacznie opisany przez to wyrażenie i tak naprawdę nie ma potrzeby wybierania ani określania porządku tego klasycznego zbioru stanów, aby nadać sens temu wyrażeniu. W tym przypadku określenie porządku standardowych kolorów kart nie jest trudne — na przykład możemy zdecydować się uporządkować je w ten sposób: $\clubsuit,$ $\diamondsuit,$ $\heartsuit,$ $\spadesuit.$ Jeśli wybierzemy ten konkretny porządek, powyższy wektor stanu kwantowego byłby reprezentowany przez wektor kolumnowy

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} \end{pmatrix}.$$

Ogólnie jednak wygodnie jest móc po prostu ignorować kwestię tego, w jaki sposób klasyczne zbiory stanów są uporządkowane.

Pomiar stanów kwantowych

Następnie rozważmy, co się dzieje, gdy stan kwantowy jest mierzony, skupiając się na prostym rodzaju pomiaru znanym jako pomiar w bazie standardowej. (Istnieją bardziej ogólne pojęcia pomiaru, które omówimy w dalszej części.)

Podobnie jak w ujęciu probabilistycznym, gdy układ w stanie kwantowym jest mierzony, hipotetyczny obserwator wykonujący pomiar nie zobaczy wektora stanu kwantowego, lecz zobaczy jakiś klasyczny stan. W tym sensie pomiary działają jako interfejs między informacją kwantową a klasyczną, poprzez który informacja klasyczna jest wydobywana ze stanów kwantowych.

Reguła jest prosta: jeśli stan kwantowy jest mierzony, każdy klasyczny stan układu pojawia się z prawdopodobieństwem równym kwadratowi wartości bezwzględnej wpisu w wektorze stanu kwantowego odpowiadającego temu klasycznemu stanowi. Jest to znane jako reguła Borna w mechanice kwantowej. Zauważmy, że ta reguła jest zgodna z wymaganiem, aby kwadraty wartości bezwzględnych wpisów w wektorze stanu kwantowego sumowały się do $1,$ ponieważ implikuje, że prawdopodobieństwa różnych klasycznych wyników pomiaru sumują się do $1.$

Na przykład, pomiar stanu plus

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

daje dwa możliwe wyniki, $0$ i $1,$ z prawdopodobieństwami jak poniżej.

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

Co ciekawe, pomiar stanu minus

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

daje dokładnie te same prawdopodobieństwa dla obu wyników.

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

To sugeruje, że jeśli chodzi o pomiary w bazie standardowej, stany plus i minus nie różnią się między sobą. Dlaczego więc mielibyśmy chcieć je rozróżniać? Odpowiedź jest taka, że te dwa stany zachowują się inaczej, gdy wykonuje się na nich operacje, co omówimy w następnym podrozdziale poniżej.

Oczywiście pomiar stanu kwantowego $\vert 0\rangle$ daje klasyczny stan $0$ z pewnością, a podobnie pomiar stanu kwantowego $\vert 1\rangle$ daje klasyczny stan $1$ z pewnością. Jest to zgodne z utożsamieniem tych stanów kwantowych z sytuacją, gdy układ znajduje się w odpowiadającym klasycznym stanie, jak sugerowano wcześniej.

Jako ostatni przykład, pomiar stanu

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle$$

powoduje, że dwa możliwe wyniki pojawiają się z prawdopodobieństwami jak poniżej:

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9},$$

oraz

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{4}{9}.$$

Operacje unitarne

Jak dotąd może nie być oczywiste, dlaczego informacja kwantowa fundamentalnie różni się od informacji klasycznej. Oznacza to, że gdy stan kwantowy jest mierzony, prawdopodobieństwo uzyskania każdego stanu klasycznego jest dane przez kwadrat wartości bezwzględnej odpowiadającego wpisu wektora — więc dlaczego po prostu nie zapisać tych prawdopodobieństw w wektorze prawdopodobieństwa?

Odpowiedź, przynajmniej częściowo, polega na tym, że zbiór dozwolonych operacji, które można wykonać na stanie kwantowym, jest inny niż w przypadku informacji klasycznej. Podobnie jak w ustawieniu probabilistycznym, operacje na stanach kwantowych są odwzorowaniami liniowymi — ale zamiast być reprezentowane przez macierze stochastyczne, jak w przypadku klasycznym, operacje na wektorach stanów kwantowych są reprezentowane przez macierze unitarne.

Kwadratowa macierz $U$ mająca wpisy w postaci liczb zespolonych jest unitarna, jeśli spełnia równania

$$\begin{aligned} U U^{\dagger} &= \mathbb{I} \\ U^{\dagger} U &= \mathbb{I}. \end{aligned} \tag{3}$$

Tutaj $\mathbb{I}$ jest macierzą jednostkową, a $U^{\dagger}$ jest sprzężeniem hermitowskim $U,$ co oznacza macierz uzyskaną przez transpozycję $U$ i wzięcie sprzężenia zespolonego każdego wpisu.

$$U^{\dagger} = \overline{U^T}$$

Jeśli jedna z dwóch równości oznaczonych $(3)$ powyżej jest prawdziwa, to druga również musi być prawdziwa. Obie równości są równoważne temu, że $U^{\dagger}$ jest odwrotnością $U:$

$$U^{-1} = U^{\dagger}.$$

(Ostrzeżenie: jeśli $M$ nie jest macierzą kwadratową, to może być tak, że $M^{\dagger} M = \mathbb{I}$ oraz $M M^{\dagger} \neq \mathbb{I},$ na przykład. Równoważność dwóch równości w pierwszym równaniu powyżej jest prawdziwa tylko dla macierzy kwadratowych.)

Warunek, że $U$ jest unitarna, jest równoważny warunkowi, że mnożenie przez $U$ nie zmienia normy euklidesowej żadnego wektora. Oznacza to, że macierz $U$ o wymiarze $n\times n$ jest unitarna wtedy i tylko wtedy, gdy $\| U \vert \psi \rangle \| = \|\vert \psi \rangle \|$ dla każdego $n$-wymiarowego wektora kolumnowego $\vert \psi \rangle$ o wpisach w postaci liczb zespolonych. Zatem, ponieważ zbiór wszystkich wektorów stanów kwantowych jest taki sam, jak zbiór wektorów o normie euklidesowej równej $1,$ pomnożenie macierzy unitarnej przez wektor stanu kwantowego daje inny wektor stanu kwantowego.

Rzeczywiście, macierze unitarne są dokładnie tym zbiorem odwzorowań liniowych, które zawsze przekształcają wektory stanów kwantowych w inne wektory stanów kwantowych. Zauważ tu podobieństwo do klasycznego przypadku probabilistycznego, gdzie operacje są powiązane z macierzami stochastycznymi, które są tymi, które zawsze przekształcają wektory prawdopodobieństwa w wektory prawdopodobieństwa.

Przykłady operacji unitarnych na kubitach

Poniższa lista opisuje niektóre często spotykane operacje unitarne na kubitach.

1. Operacje Pauliego. Cztery macierze Pauliego są następujące:

   $$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

   Częstą alternatywną notacją jest $X = \sigma_x,$ $Y = \sigma_y,$ oraz $Z = \sigma_z$ (ale należy pamiętać, że litery $X,$ $Y,$ i $Z$ są również powszechnie używane w innych celach). Operacja $X$ jest również nazywana negacją bitu (ang. bit flip) lub operacją NOT, ponieważ wywołuje takie działanie na bitach:

   $$X \vert 0\rangle = \vert 1\rangle \quad \text{i} \quad X \vert 1\rangle = \vert 0\rangle.$$

   Operacja $Z$ jest również nazywana negacją fazy (ang. phase flip) i ma takie działanie:

   $$Z \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad \text{i} \quad Z \vert 1\rangle = - \vert 1\rangle.$$

2. Operacja Hadamarda. Operacja Hadamarda jest opisana przez tę macierz:

   $$H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

3. Operacje fazowe. Operacja fazowa to taka, która jest opisana przez macierz

   $$P_{\theta} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^{i\theta} \end{pmatrix}$$

   dla dowolnego wyboru liczby rzeczywistej $\theta.$ Operacje

   $$S = P_{\pi/2} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \quad \text{i} \quad T = P_{\pi/4} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

   są szczególnie ważnymi przykładami. Inne przykłady to $\mathbb{I} = P_0$ oraz $Z = P_{\pi}.$

Wszystkie zdefiniowane powyżej macierze są unitarne, a zatem reprezentują operacje kwantowe na pojedynczym kubicie. Na przykład poniżej znajduje się obliczenie, które weryfikuje, że $H$ jest unitarna:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}^{\dagger} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

A oto działanie operacji Hadamarda na kilku często spotykanych wektorach stanów kubitu.

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert + \rangle\\[6mm] H \vert 1 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert - \rangle\\[6mm] H \vert + \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0 \rangle\\[6mm] H \vert - \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

Bardziej zwięźle, otrzymujemy te cztery równania.

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle = \vert {+} \rangle & \qquad H \vert {+} \rangle = \vert 0 \rangle \\[1mm] H \vert 1 \rangle = \vert {-} \rangle & \qquad H \vert {-} \rangle = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

Warto zatrzymać się i rozważyć fakt, że $H\vert {+} \rangle = \vert 0\rangle$ oraz $H\vert {-} \rangle = \vert 1\rangle,$ w świetle pytania zasugerowanego w poprzedniej sekcji dotyczącego różnicy między stanami $\vert {+} \rangle$ i $\vert {-} \rangle.$

Wyobraź sobie sytuację, w której kubit jest przygotowany w jednym z dwóch stanów kwantowych $\vert {+} \rangle$ lub $\vert {-} \rangle,$ ale nie wiemy, w którym z nich. Pomiar dowolnego z tych stanów daje ten sam rozkład wyjściowy, co drugi, jak już zauważyliśmy: $0$ i $1$ pojawiają się oba z równym prawdopodobieństwem $1/2,$ co nie dostarcza żadnej informacji o tym, który z dwóch stanów został przygotowany.

Jeśli jednak najpierw zastosujemy operację Hadamarda, a następnie wykonamy pomiar, otrzymamy wynik $0$ z pewnością, jeśli stanem początkowym był $\vert {+} \rangle,$ oraz otrzymamy wynik $1,$ również z pewnością, jeśli stanem początkowym był $\vert {-} \rangle.$ Stany kwantowe $\vert {+} \rangle$ i $\vert {-} \rangle$ mogą zatem być doskonale rozróżniane. Pokazuje to, że zmiany znaku, lub bardziej ogólnie zmiany faz (które są również tradycyjnie nazywane argumentami) wpisów liczb zespolonych wektora stanu kwantowego, mogą znacząco zmienić ten stan.

Oto kolejny przykład pokazujący, jak operacja Hadamarda działa na wektor stanu, który był wspomniany wcześniej.

$$H \biggl(\frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle\biggr) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}} | 0 \rangle + \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} | 1 \rangle$$

Następnie rozważmy działanie operacji $T$ na stan plus.

$$T \vert {+} \rangle = T \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) = \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle$$

Zauważ, że nie zadaliśmy sobie trudu konwersji do równoważnych postaci macierzowych/wektorowych, a zamiast tego wykorzystaliśmy liniowość mnożenia macierzy wraz ze wzorami

$$T \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad\text{oraz}\quad T \vert 1\rangle = \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

W podobny sposób możemy obliczyć wynik zastosowania operacji Hadamarda do właśnie otrzymanego wektora stanu kwantowego:

$$\begin{aligned} H\, \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle\biggr) & = \frac{1}{\sqrt{2}} H \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} H \vert 1\rangle\\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert +\rangle + \frac{1+i}{2} \vert -\rangle \\ & = \biggl(\frac{1}{2} \vert 0\rangle + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\biggr) + \biggl(\frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr)\\ & = \biggl(\frac{1}{2} + \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 0\rangle + \biggl(\frac{1}{2} - \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 1\rangle. \end{aligned}$$

Oba podejścia — jedno, w którym jawnie konwertujemy do reprezentacji macierzowych, oraz drugie, w którym używamy liniowości i wstawiamy działania operacji na stanach bazy standardowej — są równoważne. Możemy użyć tego, które jest wygodniejsze w danym przypadku.

Złożenia unitarnych operacji na kubicie

Złożenia operacji unitary są reprezentowane przez mnożenie macierzy, tak jak miało to miejsce w ustawieniu probabilistycznym.

Załóżmy na przykład, że najpierw stosujemy operację Hadamarda, następnie operację $S$, a potem kolejną operację Hadamarda. Wynikowa operacja, którą na potrzeby tego przykładu nazwiemy $R$, wygląda następująco:

$$R = H S H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}.$$

Ta unitary operacja $R$ jest ciekawym przykładem. Stosując tę operację dwukrotnie, co jest równoważne podniesieniu jej reprezentacji macierzowej do kwadratu, otrzymujemy operację NOT:

$$R^2 = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[2mm] 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Innymi słowy, $R$ jest operacją pierwiastka kwadratowego z NOT. Takie zachowanie, w którym ta sama operacja zastosowana dwukrotnie daje operację NOT, nie jest możliwe dla klasycznej operacji na pojedynczym bicie.

Operacje unitary na większych układach

W kolejnych lekcjach zobaczymy wiele przykładów operacji unitary na układach mających więcej niż dwa stany klasyczne. Przykład operacji unitary na układzie mającym trzy stany klasyczne jest dany przez następującą macierz.

$$A = \begin{pmatrix} {0} & {0} & {1} \\ {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \end{pmatrix}$$

Zakładając, że stany klasyczne układu to $0,$ $1$ oraz $2,$ możemy opisać tę operację jako dodawanie modulo $3.$

$$A \vert 0\rangle = \vert 1\rangle, \quad A \vert 1\rangle = \vert 2\rangle, \quad\text{oraz}\quad A \vert 2\rangle = \vert 0\rangle$$

Macierz $A$ jest przykładem macierzy permutacji, czyli macierzy, w której każdy wiersz i każda kolumna zawierają dokładnie jedną $1.$ Takie macierze jedynie przestawiają, czyli permutują, elementy wektorów, na które działają. Macierz identycznościowa jest być może najprostszym przykładem macierzy permutacji, a innym przykładem jest operacja NOT na bicie lub kubicie. Każda macierz permutacji, w dowolnym dodatnim wymiarze całkowitym, jest unitary. Są to jedyne przykłady macierzy reprezentujących zarówno operacje klasyczne, jak i kwantowe: macierz jest jednocześnie stochastyczna i unitary wtedy i tylko wtedy, gdy jest macierzą permutacji.

Innym przykładem macierzy unitary, tym razem będącej macierzą $4\times 4$, jest ta:

$$U = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\[1mm] 1 & i & -1 & -i \\[1mm] 1 & -1 & 1 & -1 \\[1mm] 1 & -i & -1 & i \end{pmatrix}.$$

Ta macierz opisuje operację znaną jako kwantowa transformata Fouriera, konkretnie w przypadku $4\times 4$.