Informacja kwantowa

Jesteśmy teraz przygotowani, aby przejść do informacji kwantowej w kontekście wielu systemów. Podobnie jak w poprzedniej lekcji dotyczącej pojedynczych systemów, matematyczny opis informacji kwantowej dla wielu systemów jest dość podobny do przypadku probabilistycznego i wykorzystuje analogiczne pojęcia i techniki.

Stany kwantowe

Wiele systemów można rozpatrywać zbiorczo jako pojedyncze, złożone systemy. Zaobserwowaliśmy to już w kontekście probabilistycznym, a przypadek kwantowy jest analogiczny. Stany kwantowe wielu systemów są zatem reprezentowane przez wektory kolumnowe o zespolonych wpisach i normie euklidesowej równej $1,$ tak jak stany kwantowe pojedynczych systemów. W przypadku wielu systemów wpisy tych wektorów są powiązane z iloczynem kartezjańskim klasycznych zbiorów stanów skojarzonych z każdym z poszczególnych systemów, ponieważ jest to klasyczny zbiór stanów systemu złożonego.

Na przykład, jeśli $\mathsf{X}$ i $\mathsf{Y}$ są kubitami, to klasyczny zbiór stanów pary kubitów $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ rozpatrywanej zbiorczo jako pojedynczy system, jest iloczynem kartezjańskim $\{0,1\}\times\{0,1\}.$ Reprezentując pary wartości binarnych jako łańcuchy binarne o długości dwa, powiązujemy ten zbiór iloczynu kartezjańskiego ze zbiorem $\{00,01,10,11\}.$ Następujące wektory są zatem przykładami wektorów stanów kwantowych pary $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11\rangle, \quad \frac{3}{5} \vert 00\rangle - \frac{4}{5} \vert 11\rangle, \quad \text{and} \quad \vert 01 \rangle.$$

Istnieją różne warianty zapisu wektorów stanów kwantowych wielu systemów i możemy wybrać dowolny wariant, który odpowiada naszym preferencjom. Oto kilka przykładów dla pierwszego wektora stanu kwantowego powyżej.

1. Możemy wykorzystać fakt, że $\vert ab\rangle = \vert a\rangle \vert b\rangle$ (dla dowolnych stanów klasycznych $a$ i $b$), aby zapisać to jako

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 1\rangle.$$

2. Możemy wybrać jawny zapis symbolu iloczynu tensorowego w ten sposób:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\otimes\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\otimes\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 1\rangle.$$

3. Możemy opatrzyć kety indeksami, aby wskazać, jak odpowiadają one rozpatrywanym systemom, w ten sposób:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0 \rangle_{\mathsf{Y}} - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}}.$$

Oczywiście, możemy także zapisywać wektory stanów kwantowych jawnie jako wektory kolumnowe:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] - \frac{1}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{i}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.$$

W zależności od kontekstu, w którym się pojawia, jeden z tych wariantów może być preferowany — ale wszystkie są równoważne w tym sensie, że opisują ten sam wektor.

Iloczyny tensorowe wektorów stanów kwantowych

Podobnie jak w przypadku wektorów probabilistycznych, iloczyny tensorowe wektorów stanów kwantowych również są wektorami stanów kwantowych — i ponownie reprezentują niezależność pomiędzy systemami.

Bardziej szczegółowo, zaczynając od przypadku dwóch systemów, załóżmy, że $\vert \phi \rangle$ jest wektorem stanu kwantowego systemu $\mathsf{X},$ a $\vert \psi \rangle$ jest wektorem stanu kwantowego systemu $\mathsf{Y}.$ Iloczyn tensorowy $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$ który alternatywnie można zapisać jako $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ lub jako $\vert \phi \otimes \psi \rangle,$ jest wówczas wektorem stanu kwantowego wspólnego systemu $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Ponownie odnosimy się do stanu tej postaci jako do stanu iloczynowego.

Intuicyjnie mówiąc, gdy para systemów $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ jest w stanie iloczynowym $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$ możemy to interpretować jako oznaczające, że $\mathsf{X}$ jest w stanie kwantowym $\vert \phi \rangle,$ $\mathsf{Y}$ jest w stanie kwantowym $\vert \psi \rangle,$ a stany tych dwóch systemów nie mają ze sobą nic wspólnego.

Fakt, że wektor iloczynu tensorowego $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ jest rzeczywiście wektorem stanu kwantowego, jest zgodny z multiplikatywnością normy euklidesowej względem iloczynów tensorowych:

$$\begin{aligned} \bigl\| \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr\| & = \sqrt{ \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \bigl\vert\langle ab \vert \phi\otimes\psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert\langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \biggl(\sum_{a\in\Sigma} \bigl\vert \langle a \vert \phi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) \biggl(\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) }\\[1mm] & = \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|. \end{aligned}$$

Ponieważ $\vert \phi \rangle$ i $\vert \psi \rangle$ są wektorami stanów kwantowych, mamy $\|\vert \phi \rangle\| = 1$ i $\|\vert \psi \rangle\| = 1,$ a zatem $\|\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle\| = 1,$ więc $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ również jest wektorem stanu kwantowego.

Uogólnia się to na więcej niż dwa systemy. Jeśli $\vert \psi_0 \rangle,\ldots,\vert \psi_{n-1} \rangle$ są wektorami stanów kwantowych systemów $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$ to $\vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle$ jest wektorem stanu kwantowego reprezentującym stan iloczynowy wspólnego systemu $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$ Ponownie wiemy, że jest to wektor stanu kwantowego, ponieważ

$$\bigl\| \vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle \bigr\| = \bigl\|\vert \psi_{n-1} \rangle\bigl\| \cdots \bigl\|\vert \psi_0 \rangle \bigr\| = 1^n = 1.$$

Stany splątane

Nie wszystkie wektory stanów kwantowych wielu systemów są stanami iloczynowymi. Na przykład wektor stanu kwantowego

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle \tag{1}$$

dwóch kubitów nie jest stanem iloczynowym. Aby to uzasadnić, możemy podążać dokładnie tym samym argumentem, którego użyliśmy w poprzedniej sekcji dla stanu probabilistycznego. Oznacza to, że gdyby $(1)$ był stanem iloczynowym, istniałyby wektory stanów kwantowych $\vert\phi\rangle$ i $\vert\psi\rangle,$ dla których

$$\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle.$$

Ale wówczas musiałoby być tak, że

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 01 \vert \phi\otimes\psi\rangle = 0$$

co oznacza, że $\langle 0 \vert \phi\rangle = 0$ lub $\langle 1 \vert \psi\rangle = 0$ (albo obie te wielkości). Jest to sprzeczne z faktem, że

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 0 \vert \psi\rangle = \langle 00 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

oraz

$$\langle 1 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 11 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

są obie niezerowe. Wobec tego kwantowy wektor stanu $(1)$ reprezentuje korelację między dwoma systemami, a dokładniej mówimy, że systemy te są splątane.

Zauważmy, że konkretna wartość $1/\sqrt{2}$ nie jest istotna dla tego argumentu — ważne jest jedynie, że wartość ta jest niezerowa. Zatem, na przykład, stan kwantowy

$$\frac{3}{5} \vert 00\rangle + \frac{4}{5} \vert 11\rangle$$

również nie jest stanem iloczynowym, na mocy tego samego argumentu.

Splątanie jest kwintesencjonalną cechą informacji kwantowej, która zostanie omówiona szczegółowo w jednej z późniejszych lekcji. Splątanie może być skomplikowane, w szczególności dla zaszumionych stanów kwantowych, które można opisać macierzami gęstości (które są omówione w kursie General formulation of quantum information, będącym trzecim kursem w serii Understanding Quantum Information and Computation). Jednakże dla kwantowych wektorów stanu splątanie jest równoważne korelacji: każdy kwantowy wektor stanu, który nie jest stanem iloczynowym, reprezentuje stan splątany.

Natomiast kwantowy wektor stanu

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle$$

jest przykładem stanu iloczynowego.

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr) \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr)$$

Dlatego stan ten nie jest splątany.

Stany Bella

Przyjrzymy się teraz kilku ważnym przykładom wielokubitowych stanów kwantowych, zaczynając od stanów Bella. Są to następujące cztery stany dwukubitowe:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[3mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Stany Bella zostały tak nazwane na cześć Johna Bella. Zauważmy, że ten sam argument, który dowodzi, iż $\vert\phi^+\rangle$ nie jest stanem iloczynowym, ujawnia, że żaden z pozostałych stanów Bella również nie jest stanem iloczynowym: wszystkie cztery stany Bella reprezentują splątanie między dwoma kubitami.

Zbiór wszystkich czterech stanów Bella

$$\bigl\{\vert \phi^+ \rangle, \vert \phi^- \rangle, \vert \psi^+ \rangle, \vert \psi^- \rangle\bigr\}$$

jest znany jako baza Bella. Zgodnie ze swoją nazwą, jest to baza; każdy kwantowy wektor stanu dwóch kubitów, lub w istocie dowolny wektor zespolony mający współrzędne odpowiadające czterem klasycznym stanom dwóch bitów, może być wyrażony jako kombinacja liniowa czterech stanów Bella. Na przykład,

$$\vert 0 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^-\rangle.$$

Stany GHZ i W

Rozważymy teraz dwa interesujące przykłady stanów trzech kubitów. Pierwszym przykładem jest stan GHZ (tak nazwany na cześć Daniela Greenbergera, Michaela Horne'a i Antona Zeilingera, którzy jako pierwsi badali niektóre jego własności):

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

Drugim przykładem jest tak zwany stan W:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle.$$

Żaden z tych stanów nie jest stanem iloczynowym, co oznacza, że nie można ich zapisać jako iloczynu tensorowego trzech kubitowych kwantowych wektorów stanu. Przeanalizujemy oba te stany później, gdy omówimy pomiary częściowe stanów kwantowych systemów wieloczłonowych.

Dodatkowe przykłady

Przykłady stanów kwantowych systemów wieloczłonowych, które dotąd widzieliśmy, to stany dwóch lub trzech kubitów, ale możemy również rozważać stany kwantowe systemów wieloczłonowych mających różne zbiory stanów klasycznych.

Na przykład, oto stan kwantowy trzech systemów, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y}$ i $\mathsf{Z},$ gdzie zbiór stanów klasycznych systemu $\mathsf{X}$ to alfabet binarny (zatem $\mathsf{X}$ jest kubitem), a zbiór stanów klasycznych systemów $\mathsf{Y}$ i $\mathsf{Z}$ to $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \heartsuit \rangle + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \vert \spadesuit\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \diamondsuit \rangle.$$

A oto przykład stanu kwantowego trzech systemów, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y}$ i $\mathsf{Z},$ które dzielą ten sam zbiór stanów klasycznych $\{0,1,2\}:$

$$\frac{ \vert 012 \rangle - \vert 021 \rangle + \vert 120 \rangle - \vert 102 \rangle + \vert 201 \rangle - \vert 210 \rangle }{\sqrt{6}}.$$

Układy mające zbiór stanów klasycznych $\{0,1,2\}$ są często nazywane tritami lub (przy założeniu, że mogą znajdować się w stanie kwantowym) kutritami. Termin kudit odnosi się do systemu mającego zbiór stanów klasycznych $\{0,\ldots,d-1\}$ dla dowolnego wyboru $d.$

Pomiary stanów kwantowych

Pomiary w bazie standardowej stanów kwantowych pojedynczych systemów zostały omówione w poprzedniej lekcji: jeżeli system posiadający klasyczny zbiór stanów $\Sigma$ znajduje się w stanie kwantowym reprezentowanym przez wektor $\vert \psi \rangle,$ i ten system jest mierzony (za pomocą pomiaru w bazie standardowej), to każdy klasyczny stan $a\in\Sigma$ pojawia się z prawdopodobieństwem $\vert \langle a \vert \psi \rangle\vert^2.$ Mówi to nam, co się dzieje, gdy mamy stan kwantowy wielu systemów i decydujemy się zmierzyć cały system złożony, co jest równoważne zmierzeniu wszystkich systemów.

Aby to precyzyjnie sformułować, załóżmy, że $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ są systemami posiadającymi klasyczne zbiory stanów odpowiednio $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1}.$ Możemy wtedy traktować $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ zbiorowo jako pojedynczy system, którego klasycznym zbiorem stanów jest iloczyn kartezjański $\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0.$ Jeżeli stan kwantowy tego systemu jest reprezentowany przez wektor stanu kwantowego $\vert\psi\rangle,$ i wszystkie systemy są mierzone, to każdy możliwy wynik $(a_{n-1},\ldots,a_0)\in\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0$ pojawia się z prawdopodobieństwem $\vert\langle a_{n-1}\cdots a_0\vert \psi\rangle\vert^2.$

Na przykład, jeżeli systemy $\mathsf{X}$ i $\mathsf{Y}$ są wspólnie w stanie kwantowym

$$\frac{3}{5} \vert 0\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{4i}{5} \vert 1\rangle \vert \spadesuit \rangle,$$

to pomiar obu systemów za pomocą pomiarów w bazie standardowej daje wynik $(0,\heartsuit)$ z prawdopodobieństwem $9/25$ oraz wynik $(1,\spadesuit)$ z prawdopodobieństwem $16/25.$

Pomiary częściowe

Rozważmy teraz sytuację, w której mamy wiele systemów w pewnym stanie kwantowym i mierzymy właściwy podzbiór tych systemów. Podobnie jak wcześniej, zaczniemy od dwóch systemów $\mathsf{X}$ i $\mathsf{Y}$ posiadających klasyczne zbiory stanów odpowiednio $\Sigma$ i $\Gamma.$

Ogólnie wektor stanu kwantowego systemu $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ przyjmuje postać

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

gdzie $\{\alpha_{ab} : (a,b)\in\Sigma\times\Gamma\}$ jest zbiorem liczb zespolonych spełniających

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \vert \alpha_{ab} \vert^2 = 1,$$

co jest równoważne temu, że $\vert \psi \rangle$ jest wektorem jednostkowym.

Wiemy już, z omówienia powyżej, że jeżeli mierzone są zarówno $\mathsf{X},$ jak i $\mathsf{Y},$ to każdy możliwy wynik $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$ pojawia się z prawdopodobieństwem

$$\bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Jeżeli zamiast tego założymy, że mierzony jest tylko pierwszy system $\mathsf{X},$ to prawdopodobieństwo pojawienia się każdego wyniku $a\in\Sigma$ musi być zatem równe

$$\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^{2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Jest to zgodne z tym, co już widzieliśmy w kontekście probabilistycznym, a także z naszym obecnym rozumieniem fizyki: prawdopodobieństwo pojawienia się każdego wyniku przy pomiarze $\mathsf{X}$ nie może zależeć od tego, czy $\mathsf{Y}$ również zostało zmierzone, gdyż umożliwiałoby to komunikację szybszą od światła.

Uzyskawszy konkretny wynik $a\in\Sigma$ pomiaru $\mathsf{X}$ w bazie standardowej, naturalnie oczekujemy, że stan kwantowy $\mathsf{X}$ zmienia się tak, aby był równy $\vert a\rangle,$ tak jak to było w przypadku pojedynczych systemów. Ale co się dzieje ze stanem kwantowym $\mathsf{Y}$?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, możemy najpierw wyrazić wektor $\vert\psi\rangle$ jako

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle \otimes \vert \phi_a \rangle,$$

gdzie

$$\vert \phi_a \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \alpha_{ab} \vert b\rangle$$

dla każdego $a\in\Sigma.$ Stosujemy tutaj tę samą metodologię, co w przypadku probabilistycznym, polegającą na wyodrębnieniu stanów bazy standardowej mierzonego systemu. Prawdopodobieństwo uzyskania każdego wyniku $a$ w pomiarze $\mathsf{X}$ w bazie standardowej jest następujące:

$$\sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2 = \bigl\| \vert \phi_a \rangle \bigr\|^2.$$

A w wyniku tego, że pomiar $\mathsf{X}$ w bazie standardowej dał wynik $a,$ stan kwantowy pary $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ razem staje się

$$\vert a \rangle \otimes \frac{\vert \phi_a \rangle}{\|\vert \phi_a \rangle\|}.$$

Oznacza to, że stan „kolapsuje", podobnie jak w przypadku pojedynczego systemu, ale tylko w takim stopniu, w jakim jest to wymagane, aby stan był spójny z pomiarem $\mathsf{X}$ dającym wynik $a.$

Nieformalnie mówiąc, $\vert a \rangle \otimes \vert \phi_a\rangle$ reprezentuje składową $\vert \psi\rangle,$ która jest spójna z pomiarem $\mathsf{X}$ dającym wynik $a.$ Następnie normalizujemy ten wektor — dzieląc go przez jego normę euklidesową, która jest równa $\|\vert\phi_a\rangle\|$ — aby uzyskać poprawny wektor stanu kwantowego o normie euklidesowej równej $1.$ Ten krok normalizacji jest analogiczny do tego, co robiliśmy w kontekście probabilistycznym, gdy dzieliliśmy wektory przez sumę ich elementów, aby uzyskać wektor prawdopodobieństwa.

Jako przykład rozważmy stan dwóch kubitów $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ z początku tego podrozdziału:

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11 \rangle.$$

Aby zrozumieć, co się dzieje, gdy mierzony jest pierwszy system $\mathsf{X},$ zaczynamy od zapisania

$$\vert \psi \rangle = \vert 0 \rangle \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) + \vert 1 \rangle \otimes \biggl( \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr).$$

Widzimy teraz, na podstawie powyższego opisu, że prawdopodobieństwo uzyskania przez pomiar wyniku $0$ wynosi

$$\biggl\|\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

a wtedy stan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ staje się

$$\vert 0\rangle \otimes \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \vert 0\rangle \otimes \Biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle - \frac{1}{2} \vert 1\rangle\Biggr);$$

a prawdopodobieństwo uzyskania przez pomiar wyniku $1$ wynosi

$$\biggl\|\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

a wtedy stan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ staje się

$$\vert 1\rangle \otimes \frac{\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{1}{3}}} = \vert 1\rangle \otimes \Biggl( \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\Biggr).$$

Ta sama technika, zastosowana w symetryczny sposób, opisuje to, co się dzieje, gdy mierzony jest drugi system $\mathsf{Y}$ zamiast pierwszego. Tym razem zapisujemy wektor $\vert \psi \rangle$ jako

$$\vert \psi \rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) \otimes \vert 0\rangle + \biggl( -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

Prawdopodobieństwo, że pomiar $\mathsf{Y}$ daje wynik $0,$ wynosi

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

a wtedy stan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ staje się

$$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} \otimes \vert 0 \rangle = \biggl(\frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1 \rangle\biggr) \otimes\vert 0 \rangle;$$

a prawdopodobieństwo, że wynikiem pomiaru jest $1,$ wynosi

$$\biggl\| -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

a wtedy stan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ staje się

$$\frac{ -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle }{\frac{1}{\sqrt{3}}} \otimes \vert 1\rangle = \biggl(-\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

Uwaga o zredukowanych stanach kwantowych

Poprzedni przykład pokazuje ograniczenie uproszczonego opisu informacji kwantowej, które polega na tym, że nie oferuje nam on sposobu na opisanie zredukowanego (lub brzegowego) stanu kwantowego tylko jednego z dwóch systemów (lub właściwego podzbioru dowolnej liczby systemów), tak jak w przypadku probabilistycznym.

W szczególności, dla stanu probabilistycznego dwóch systemów $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ opisanego wektorem prawdopodobieństwa

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle,$$

możemy zapisać zredukowany lub brzegowy stan probabilistyczny samego $\mathsf{X}$ jako

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl( \sum_{b\in\Gamma} p_{ab}\biggr) \vert a\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a\rangle.$$

Dla kwantowych wektorów stanu nie istnieje analogiczny sposób, by to zrobić. W szczególności, dla kwantowego wektora stanu

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

wektor

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert a\rangle$$

w ogólności nie jest kwantowym wektorem stanu i nie reprezentuje właściwie pojęcia stanu zredukowanego lub brzegowego.

Zamiast tego możemy zwrócić się ku pojęciu macierzy gęstości, które jest omawiane w kursie Ogólne sformułowanie informacji kwantowej. Macierze gęstości dostarczają nam sensowny sposób zdefiniowania zredukowanych stanów kwantowych, analogiczny do sytuacji probabilistycznej.

Pomiary częściowe dla trzech lub więcej systemów

Pomiary częściowe dla trzech lub więcej systemów, w których mierzony jest pewien właściwy podzbiór systemów, mogą zostać sprowadzone do przypadku dwóch systemów poprzez podział systemów na dwa zbiory: te, które są mierzone, i te, które nie są. Oto konkretny przykład ilustrujący, jak można to zrobić. Pokazuje on w szczególności, jak przydatne może być indeksowanie ketów nazwami systemów, które reprezentują — w tym przypadku dlatego, że daje nam to prosty sposób opisywania permutacji systemów.

W tym przykładzie rozważymy stan kwantowy 5-krotki systemów $(\mathsf{X}_4,\ldots,\mathsf{X}_0),$ gdzie wszystkie pięć systemów dzieli ten sam klasyczny zbiór stanów $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \\ -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle. \end{gathered}$$

Rozważymy sytuację, w której mierzone są pierwszy i trzeci system, a pozostałe systemy są pozostawione w spokoju.

Koncepcyjnie rzecz biorąc, nie ma fundamentalnej różnicy między tą sytuacją a taką, w której mierzony jest jeden z dwóch systemów. Niestety, ponieważ mierzone systemy są przeplecione z niemierzonymi, napotykamy przeszkodę w zapisaniu wyrażeń potrzebnych do wykonania tych obliczeń.

Jednym ze sposobów postępowania, jak zasugerowano powyżej, jest indeksowanie ketów w celu wskazania, do których systemów się odnoszą. Daje nam to sposób na śledzenie systemów podczas permutowania kolejności ketów, co upraszcza matematykę.

Po pierwsze, powyższy kwantowy wektor stanu można alternatywnie zapisać jako

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0. \end{gathered}$$

Nic się nie zmieniło, poza tym, że każdy ket ma teraz indeks dolny wskazujący, któremu systemowi odpowiada. Użyliśmy tutaj indeksów $0,\ldots,4,$ ale można by również używać nazw samych systemów (w sytuacji, gdy mamy nazwy systemów takie jak $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y}$ i $\mathsf{Z},$ na przykład).

Możemy teraz zmienić kolejność ketów i pogrupować wyrazy w następujący sposób:

$$\begin{aligned} & \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ & \quad + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ & \quad -\sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\[2mm] & \hspace{1.5cm} = \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\biggr). \end{aligned}$$

Iloczyny tensorowe są nadal niejawne, nawet gdy używane są nawiasy, jak w tym przykładzie.

Aby doprecyzować kwestię permutowania ketów: iloczyny tensorowe nie są przemienne — jeśli $\vert \phi\rangle$ i $\vert \pi \rangle$ są wektorami, to w ogólności $\vert \phi\rangle\otimes\vert \pi \rangle$ różni się od $\vert \pi\rangle\otimes\vert \phi \rangle,$ i podobnie dla iloczynów tensorowych trzech lub więcej wektorów. Na przykład, $\vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle$ jest innym wektorem niż $\vert\heartsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle.$ Zmiany kolejności ketów, których właśnie dokonaliśmy, nie należy interpretować jako sugestii, że jest inaczej.

Raczej, dla celów wykonywania obliczeń, po prostu podejmujemy decyzję, że wygodniej jest pogrupować systemy jako $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$ niż $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0).$ Indeksy dolne ketów służą do tego, by wszystko było jasne, i możemy w każdej chwili wrócić do pierwotnej kolejności, jeśli będziemy tego chcieli.

Widzimy teraz, że jeśli systemy $\mathsf{X}_4$ i $\mathsf{X}_2$ są mierzone, to (niezerowe) prawdopodobieństwa różnych wyników są następujące:

• Wynik pomiaru $(\heartsuit,\diamondsuit)$ występuje z prawdopodobieństwem

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$$

• Wynik pomiaru $(\diamondsuit,\diamondsuit)$ występuje z prawdopodobieństwem

$$\biggl\| \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{2}{7}$$

• Wynik pomiaru $(\spadesuit,\clubsuit)$ występuje z prawdopodobieństwem

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}.$$

Jeśli wynikiem pomiaru jest na przykład $(\heartsuit,\diamondsuit),$ to otrzymany stan naszych pięciu systemów staje się

$$\begin{aligned} & \vert \heartsuit\rangle_4 \vert \diamondsuit \rangle_2 \otimes \frac{ \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 - i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0} {\sqrt{\frac{3}{7}}}\\ & \qquad = \sqrt{\frac{1}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0. \end{aligned}$$

Tutaj, dla końcowej odpowiedzi, wróciliśmy do naszego pierwotnego uporządkowania systemów, aby zilustrować, że możemy to zrobić. Dla pozostałych możliwych wyników pomiaru stan można wyznaczyć w podobny sposób.

Na koniec, oto dwa przykłady obiecane wcześniej, zaczynając od stanu GHZ

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

Jeśli mierzony jest tylko pierwszy system, otrzymujemy wynik $0$ z prawdopodobieństwem $1/2,$ w którym to przypadku stan trzech kubitów staje się $\vert 000\rangle;$ i otrzymujemy również wynik $1$ z prawdopodobieństwem $1/2,$ w którym to przypadku stan trzech kubitów staje się $\vert 111\rangle.$

Dla stanu W z kolei, zakładając ponownie, że mierzony jest tylko pierwszy system, zaczynamy od zapisania tego stanu w następujący sposób:

$$\begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle \\ & \qquad = \vert 0 \rangle \biggl( \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle\biggr) + \vert 1 \rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\vert 00\rangle\biggr). \end{aligned}$$

Prawdopodobieństwo, że pomiar pierwszego kubitu da wynik 0, jest zatem równe

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle \biggr\|^2 = \frac{2}{3},$$

a warunkując tym, że pomiar daje ten wynik, stan kwantowy trzech kubitów staje się

$$\vert 0\rangle\otimes \frac{ \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle }{ \sqrt{\frac{2}{3}} } = \vert 0\rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10\rangle \biggr) = \vert 0\rangle\vert \psi^+\rangle.$$

Prawdopodobieństwo, że wynikiem pomiaru jest 1, wynosi $1/3,$ w którym to przypadku stan trzech kubitów staje się $\vert 100\rangle.$

Stan W jest symetryczny w tym sensie, że nie zmienia się, gdy permutujemy kubity. Otrzymujemy zatem podobny opis dla pomiaru drugiego lub trzeciego kubitu zamiast pierwszego.

Operacje unitarne

W zasadzie dowolna macierz unitarna, której wiersze i kolumny odpowiadają stanom klasycznym systemu, reprezentuje poprawną operację kwantową na tym systemie. Oczywiście pozostaje to prawdą dla systemów złożonych, których zbiory stanów klasycznych są iloczynami kartezjańskimi zbiorów stanów klasycznych poszczególnych systemów.

Skupiając się na dwóch systemach, jeśli $\mathsf{X}$ jest systemem o zbiorze stanów klasycznych $\Sigma,$ a $\mathsf{Y}$ jest systemem o zbiorze stanów klasycznych $\Gamma,$ to zbiorem stanów klasycznych systemu łączonego $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ jest $\Sigma\times\Gamma.$ Zatem operacje kwantowe na tym systemie łączonym są reprezentowane przez macierze unitarne, których wiersze i kolumny są ustawione w korespondencji ze zbiorem $\Sigma\times\Gamma.$ Porządek wierszy i kolumn tych macierzy jest taki sam jak porządek używany dla kwantowych wektorów stanu systemu $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Na przykład załóżmy, że $\Sigma = \{1,2,3\}$ i $\Gamma = \{0,1\},$ i przypomnijmy, że standardową konwencją porządkowania elementów iloczynu kartezjańskiego $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ jest:

$$(1,0),\;(1,1),\;(2,0),\;(2,1),\;(3,0),\; (3,1).$$

Oto przykład macierzy unitarnej reprezentującej operację na $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$U = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{i}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{i}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}.$$

Ta macierz unitarna nie jest niczym szczególnym, to tylko przykład. Aby sprawdzić, że $U$ jest unitarna, wystarczy obliczyć i sprawdzić na przykład, że $U^{\dagger} U = \mathbb{I}.$ Alternatywnie możemy sprawdzić, że wiersze (lub kolumny) są ortonormalne, co w tym przypadku jest uproszczone przez szczególną postać macierzy $U.$

Działanie $U$ na standardowym wektorze bazowym $\vert 1, 1 \rangle$ to na przykład

$$U \vert 1, 1\rangle = \frac{1}{2} \vert 1, 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1, 1 \rangle - \frac{1}{2} \vert 2, 0 \rangle - \frac{i}{2} \vert 3, 0\rangle,$$

co można zobaczyć, analizując drugą kolumnę $U,$ uwzględniając nasz porządek zbioru $\{1,2,3\}\times\{0,1\}.$

Jak w przypadku każdej macierzy, możliwe jest wyrażenie $U$ za pomocą notacji Diraca, co wymagałoby 20 wyrazów dla 20 niezerowych wpisów $U.$ Gdybyśmy jednak zapisali wszystkie te wyrazy, zamiast zapisywać macierz $6\times 6,$ byłoby to nieporządne, a wzorce, które są widoczne z wyrażenia macierzowego, prawdopodobnie nie byłyby tak wyraźne. Mówiąc prościej, notacja Diraca nie zawsze jest najlepszym wyborem.

Operacje unitarne na trzech lub więcej systemach działają w podobny sposób, przy czym macierze unitarne mają wiersze i kolumny odpowiadające iloczynowi kartezjańskiemu zbiorów stanów klasycznych systemów. Widzieliśmy już jeden przykład w tej lekcji: operację trójkubitową

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

gdzie liczby w bra i ket oznaczają ich $3$-bitowe kodowania binarne. Oprócz bycia operacją deterministyczną, jest to również operacja unitarna. Operacje, które są zarówno deterministyczne, jak i unitarne, nazywane są operacjami odwracalnymi. Sprzężenie hermitowskie tej macierzy można zapisać w następujący sposób:

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert k \rangle \langle (k+1) \bmod 8 \vert = \sum_{k = 0}^{7} \vert (k-1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert.$$

Reprezentuje to odwrócenie, lub w kategoriach matematycznych odwrotność, oryginalnej operacji — czego oczekujemy od sprzężenia hermitowskiego macierzy unitarnej. W dalszej części lekcji zobaczymy inne przykłady operacji unitarnych na wielu systemach.

Operacje unitarne wykonywane niezależnie na poszczególnych systemach

Gdy operacje unitarne są wykonywane niezależnie na zbiorze poszczególnych systemów, połączone działanie tych niezależnych operacji jest opisane iloczynem tensorowym macierzy unitarnych, które je reprezentują. Oznacza to, że jeśli $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ są systemami kwantowymi, $U_0,\ldots, U_{n-1}$ są macierzami unitarnymi reprezentującymi operacje na tych systemach, a operacje są wykonywane niezależnie na systemach, to połączone działanie na $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ jest reprezentowane przez macierz $U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0.$ Po raz kolejny przekonujemy się, że pod tym względem ustawienia probabilistyczne i kwantowe są analogiczne.

Po przeczytaniu poprzedniego akapitu można naturalnie oczekiwać, że iloczyn tensorowy dowolnego zbioru macierzy unitarnych jest unitarny. Rzeczywiście tak jest i możemy to zweryfikować w następujący sposób.

Zauważmy najpierw, że operacja sprzężenia hermitowskiego spełnia

$$(M_{n-1} \otimes \cdots \otimes M_0)^{\dagger} = M_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes M_0^{\dagger}$$

dla dowolnych wybranych macierzy $M_0,\ldots,M_{n-1}.$ Można to sprawdzić, wracając do definicji iloczynu tensorowego i sprzężenia hermitowskiego oraz sprawdzając, że każdy wpis obu stron równania jest zgodny. Oznacza to, że

$$(U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0).$$

Ponieważ iloczyn tensorowy macierzy jest multiplikatywny, stwierdzamy, że

$$(U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0) = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0.$$

Zapisaliśmy tutaj $\mathbb{I}_0,\ldots,\mathbb{I}_{n-1}$ w odniesieniu do macierzy reprezentujących operację identyczności na systemach $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$ to znaczy są to macierze jednostkowe, których rozmiary są zgodne z liczbą stanów klasycznych $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}.$

Wreszcie iloczyn tensorowy $\mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0$ jest równy macierzy jednostkowej, dla której mamy liczbę wierszy i kolumn zgodną z iloczynem liczby wierszy i kolumn macierzy $\mathbb{I}_{n-1},\ldots,\mathbb{I}_0.$ Ta większa macierz jednostkowa reprezentuje operację identyczności na systemie łączonym $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$

Podsumowując, mamy następujący ciąg równości:

$$\begin{aligned} & (U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0)\\ & \quad = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0\\ & \quad = \mathbb{I}. \end{aligned}$$

Dochodzimy zatem do wniosku, że $U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0$ jest unitarna.

Istotna sytuacja, która często się pojawia, to taka, w której operacja unitarna jest stosowana tylko do jednego systemu — lub właściwego podzbioru systemów — w ramach większego systemu łączonego. Załóżmy na przykład, że $\mathsf{X}$ i $\mathsf{Y}$ są systemami, które możemy wspólnie postrzegać jako tworzące pojedynczy, złożony system $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ i wykonujemy operację tylko na systemie $\mathsf{X}.$ Dokładniej, załóżmy, że $U$ jest macierzą unitarną reprezentującą operację na $\mathsf{X},$ tak że jej wiersze i kolumny zostały ustawione w korespondencji ze stanami klasycznymi $\mathsf{X}.$

Powiedzenie, że wykonujemy operację reprezentowaną przez $U$ tylko na systemie $\mathsf{X},$ oznacza, że nic nie robimy z $\mathsf{Y},$ co oznacza, że niezależnie wykonujemy $U$ na $\mathsf{X}$ i operację identyczności na $\mathsf{Y}.$ Oznacza to, że „nicnierobienie" z $\mathsf{Y}$ jest równoważne wykonaniu operacji identyczności na $\mathsf{Y},$ która jest reprezentowana przez macierz jednostkową $\mathbb{I}_\mathsf{Y}.$ (Tutaj, przy okazji, indeks $\mathsf{Y}$ mówi nam, że $\mathbb{I}_\mathsf{Y}$ odnosi się do macierzy jednostkowej, której liczba wierszy i kolumn jest zgodna ze zbiorem stanów klasycznych $\mathsf{Y}.$) Operacja na $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ uzyskana, gdy wykonujemy $U$ na $\mathsf{X}$ i nic nie robimy z $\mathsf{Y},$ jest zatem reprezentowana przez macierz unitarną

$$U \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}.$$

Na przykład, jeśli $\mathsf{X}$ i $\mathsf{Y}$ są kubitami, wykonanie operacji Hadamarda na $\mathsf{X}$ i nicnierobienie z $\mathsf{Y}$ jest równoważne wykonaniu operacji

$$H \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

na wspólnym systemie $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Podobnie, jeżeli operacja reprezentowana przez macierz unitarną $U$ zostanie zastosowana do $\mathsf{Y},$ a z $\mathsf{X}$ nic nie jest wykonywane, to wynikowa operacja na $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ jest reprezentowana przez macierz unitarną

$$\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U.$$

Dla przykładu, jeżeli ponownie rozważymy sytuację, w której zarówno $\mathsf{X},$ jak i $\mathsf{Y}$ są kubitami, a $U$ jest operacją Hadamarda, to wynikowa operacja na $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ jest reprezentowana przez macierz

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

Nie każdą operację unitarną na zbiorze systemów można zapisać jako iloczyn tensorowy operacji unitarnych w taki sposób, tak jak nie każdy wektor stanu kwantowego tych systemów jest stanem iloczynowym. Na przykład ani operacja zamiany (swap), ani operacja controlled-NOT na dwóch kubitach, które są opisane poniżej, nie mogą być wyrażone jako iloczyn tensorowy operacji unitarnych.

Operacja zamiany (swap)

Aby zakończyć lekcję, przyjrzyjmy się dwóm klasom przykładów operacji unitarnych na wielu systemach, zaczynając od operacji zamiany (swap).

Załóżmy, że $\mathsf{X}$ i $\mathsf{Y}$ są systemami dzielącymi ten sam zbiór stanów klasycznych $\Sigma.$ Operacja swap na parze $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ to operacja, która wymienia zawartości tych dwóch systemów, ale poza tym pozostawia je nietknięte — tak więc $\mathsf{X}$ pozostaje po lewej, a $\mathsf{Y}$ pozostaje po prawej. Będziemy oznaczać tę operację jako $\operatorname{SWAP}$ i działa ona w następujący sposób dla każdego wyboru stanów klasycznych $a,b\in\Sigma:$

$$\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle.$$

Jednym ze sposobów zapisu macierzy związanej z tą operacją w notacji Diraca jest:

$$\mathrm{SWAP} = \sum_{c,d\in\Sigma} \vert c \rangle \langle d \vert \otimes \vert d \rangle \langle c \vert.$$

Może nie od razu być jasne, że ta macierz reprezentuje $\operatorname{SWAP},$ ale możemy sprawdzić, że spełnia ona warunek $\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle$ dla każdego wyboru stanów klasycznych $a,b\in\Sigma.$ Jako prosty przykład, gdy $\mathsf{X}$ i $\mathsf{Y}$ są kubitami, otrzymujemy

$$\operatorname{SWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Kontrolowane operacje unitarne

Załóżmy teraz, że $\mathsf{Q}$ jest kubitem, a $\mathsf{R}$ jest dowolnym systemem, mającym taki zbiór stanów klasycznych, jaki sobie zażyczymy. Dla każdej operacji unitarnej $U$ działającej na systemie $\mathsf{R},$ operacja kontrolowana $U$ jest operacją unitarną na parze $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$ zdefiniowaną następująco:

$$CU = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes U.$$

Na przykład, jeżeli $\mathsf{R}$ jest również kubitem i rozważymy operację Pauli $X$ na $\mathrm{R},$ to operacja kontrolowana-$X$ jest zadana przez

$$CX = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Zetknęliśmy się już z tą operacją w kontekście informacji klasycznej i operacji probabilistycznych we wcześniejszej części lekcji. Zastąpienie operacji Pauli $X$ na $\mathsf{R}$ operacją $Z$ daje tę operację:

$$CZ = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Jeżeli natomiast weźmiemy $\mathsf{R}$ jako dwa kubity, a $U$ jako operację zamiany (swap) między tymi dwoma kubitami, to otrzymamy tę operację:

$$\operatorname{CSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Operacja ta znana jest również jako operacja Fredkina, lub częściej, bramka Fredkina. Jej działanie na stanach bazy standardowej można opisać następująco:

$$\begin{aligned} \operatorname{CSWAP} \vert 0 b c \rangle & = \vert 0 b c \rangle \\[1mm] \operatorname{CSWAP} \vert 1 b c \rangle & = \vert 1 c b \rangle \end{aligned}$$

Wreszcie, operacja controlled-controlled-NOT, którą możemy oznaczyć jako $CCX,$ nazywana jest operacją Toffoliego lub bramką Toffoliego. Jej reprezentacja macierzowa wygląda następująco:

$$CCX = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Alternatywnie możemy wyrazić ją w notacji Diraca w następujący sposób:

$$CCX = \bigl( \vert 00 \rangle \langle 00 \vert + \vert 01 \rangle \langle 01 \vert + \vert 10 \rangle \langle 10 \vert \bigr) \otimes \mathbb{I} + \vert 11 \rangle \langle 11 \vert \otimes X.$$