Formalizm matematyczny

Gdy zadaniem jest nauczenie się szumu Pauliego dla zbioru bramek Clifforda, powszechną techniką analizy jest śledzenie, jak poszczególne operatory Pauliego przekształcają się w sekwencji zastosowań bramek (przy założeniu, że bramki są bramkami Clifforda, a szum jest kanałem Pauliego, pojedynczy operator Pauliego zawsze zostanie odwzorowany na inny operator Pauliego z dokładnością do skalara będącego funkcją szumu). Oczywiście ewolucję dowolnego stanu w takiej sekwencji można opisać kombinacją liniową takich trajektorii, ale przy założeniu, że zawsze przygotowujemy stan w stanie własnym Pauliego oraz zawsze mierzymy i przetwarzamy wyniki, by obliczyć wartość oczekiwaną operatora Pauliego, zależność między wartością oczekiwaną a parametrami modelu szumu będzie zawsze zależeć tylko od jednej takiej trajektorii. Wynika to z prostego faktu, że stan początkowy jest kombinacją liniową operatorów Pauliego, każda bramka i model szumu odwzorowuje operatory Pauliego na operatory Pauliego i zachowuje ich ortogonalność, a końcowa wartość oczekiwana „wybiera” tylko jeden z operatorów Pauliego w końcowym rozkładzie przed pomiarem.

Ten typ rozumowania pojawia się w wielu równoległych nurtach badań nad uczeniem szumu, w tym w literaturze o uczeniu zbiorów bramek Pauliego [1, 2], literaturze o ACES [3] oraz literaturze o cycle benchmarking [4]. Rozumowanie to zostało dodatkowo uogólnione w [5] na bramki Clifford-MCM (bramka Clifforda, po której następuje rzutowy pomiar w środku obwodu). Ten pakiet najściślej podąża za [1, 5]. Choć nie nazywamy tego wprost, przyjmujemy formalizm Pattern Transfer Graph (PTG) do opisu tego, jak operatory Pauliego ewoluują w obwodach uczących, co zapewnia bezpośrednią reprezentację danych w postaci ścieżek w grafie.

Poniżej przedstawiamy przegląd kilku podstawowych pojęć matematycznych z literatury. Ma on przede wszystkim ujednolicić notację oraz służyć jako koncepcyjne odniesienie do dokumentacji reszty pakietu.

1. Tło

1.1 Notacja

Dla $K \in \mathbb{N}$ niech $[K] = \{0, 1, \dots, K - 1\}$. Dla skończonego zbioru $S \subset \mathbb{N}$ indeksów kubitów niech $\mathcal{P}^S$ oznacza zbiór niefazowanych operatorów Pauliego działających na tych kubitach. Zauważ, że elementy $\mathcal{P}^S$ traktujemy jako funkcje odwzorowujące $S \rightarrow \{I, X, Y, Z\}$, tak że dla dowolnych $P \in \mathcal{P}^S$ i $T \subseteq S$ symbol $P|_T$ oznacza zawężenie $P$ do podzbioru kubitów $T$. Analogicznie, dla rozłącznych zbiorów $S, T$ oraz $P \in \mathcal{P}^S$ i $Q \in \mathcal{P}^T$ symbol $P \otimes Q$ oznacza element $\mathcal{P}^{S \cup T}$ taki, że $P \otimes Q |_S = P$ i $P \otimes Q |_T = Q$. Ta notacja pomaga uniknąć jawnego zajmowania się porządkiem podsystemów i ułatwia opisywanie zawężeń.

Dla skończonych podzbiorów $M \subset \mathbb{N}$ oznaczamy przez $\mathbb{Z}_2^M$ zbiór ciągów bitów, których elementy są indeksowane przez $M$. Podobnie jak wyżej, elementy traktujemy jako funkcje odwzorowujące $M \rightarrow \mathbb{Z}_2$, dzięki czemu łatwo opisać podciągi w kategoriach zawężeń zbioru indeksów.

Wreszcie dla macierzy $X$ używamy symbolu $| X \rangle\!\rangle$ do oznaczenia jej wektoryzacji. Ze względu na ograniczony sposób, w jaki używamy tej notacji, nie jest konieczne wybieranie konkretnej konwencji wektoryzacji. Dla klasycznego ciągu bitów $m$ używamy skrótu $| m \rangle\!\rangle = | | m \rangle\langle m | \rangle\!\rangle$.

1.2 Instrumenty kwantowe

Operacja kwantowa wytwarzająca bity klasyczne $m \in \mathbb{Z}_2^M$ (na przykład wynik pomiaru) jest zwykle modelowana jako odwzorowanie liniowe postaci:

$$\rho \mapsto \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m(\rho) \otimes | m \rangle\langle m |,$$

gdzie zbiór $\{\mathcal{E}_m: m \in \mathbb{Z}_2^M\}$ składa się z odwzorowań całkowicie dodatnich, a $\sum_m \mathcal{E}_m$ zachowuje ślad. Zbiór odwzorowań całkowicie dodatnich $\{\mathcal{E}_m\}$ spełniający te własności nazywamy instrumentem kwantowym. Bramka unitarna jest szczególnym przypadkiem instrumentu tylko z jednym elementem, który jest operacją unitarną.

2. Zaszumione bramki Clifford-MCM-reset

Formalizm użyty w tym pakiecie zakłada, że każda bramka w charakteryzowanym zbiorze bramek składa się z następującej sekwencji operacji na $K$ kubitach:

1. Operacja Clifforda na wszystkich kubitach.

2. Rzutowy pomiar w środku obwodu wzdłuż $Z$ na pewnym podzbiorze kubitów $M \subseteq [K]$.

3. Reset w środku obwodu do stanu podstawowego $Z$ na pewnym podzbiorze kubitów $R \subseteq [K]$.

Jest to ogólna klasa operacji obejmująca unitarne bramki Clifforda, pomiar, przygotowanie stanu i dowolne ich kombinacje. Zauważ, że zakładamy, iż pomiar i reset zawsze odbywają się wzdłuż osi $Z$ dla każdego kubitu. Choć nie jest to ściśle wymagane, jest to cecha wspólna wielu modalności obliczeń kwantowych i umożliwia uproszczone reprezentacje i analizę.

Jak opisano w [5, 6] dla przypadku bez resetu, jeśli do zaszumionej instancji takiej bramki zastosuje się określoną strategię twirlingu, działanie powstałej operacji można zamodelować matematycznie jako jednorodny instrument Pauliego. Oznacza to, że w notacji instrumentu kwantowego $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$, gdzie $G$ jest unitarną bramką Clifforda, a:

$$\mathcal{U}_m = \sum_{a,b \in \mathbb{Z}_2^M} \Lambda_{a,b} \otimes | m + a \rangle\!\rangle\langle\!\langle m + b |,$$

gdzie każde $\Lambda_{a,b}$ jest podnormalizowanym kanałem Pauliego na niemierzonych kubitach $N = [K] \setminus M$. Z tego, że jest to instrument kwantowy, wynika, że $\sum_{a,b} \Lambda_{a,b}$ również zachowuje ślad. Kilka uwag:

• Początkowy nietwirlowany szum jest modelowany tak, by obejmował zarówno błędy „kwantowe”, jak i „klasyczne”: błędne operacje na rejestrach kwantowych, a także pomyłki w raportowaniu wartości pomiaru.

• Odwzorowanie szumu $\Lambda_{a,b}$ jest niezależne od wyniku pomiaru $m$.

Słowami: pojedynczy składnik powyższej sumy reprezentuje zaobserwowanie wyniku pomiaru $m$, gdy mierzonym stanem był $| m + b \rangle$ (błędna klasyfikacja, jeśli $b \neq 0$) oraz gdy stanem wyjściowym na rejestrze pomiarowym jest $| m + a \rangle$ („zły” stan, gdy $a \neq 0$). Odwzorowanie $\Lambda_{a,b}$ jednocześnie koduje działanie na niemierzonych kubitach (uwarunkowane zachowaniem pomiaru) oraz prawdopodobieństwo konkretnego zachowania pomiaru (poprzez normalizację).

Zauważ, że nie interesują nas tu szczegóły strategii twirlingu: wystarczy, że taka strategia istnieje i sprowadza kanał do powyższej postaci. Zauważ też, że istnieją „drobniejsze” strategie twirlingu, które mogą dodatkowo ograniczyć postać kanałów Pauliego [7]; my jednak przyjmujemy powyższą postać jako najogólniejszą reprezentację matematyczną branąpod uwagę.

W lemacie 1 z [5] pokazano, że $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$ można przepisać jako:

$$\mathcal{E}_m = \frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{x, y \in \mathbb{Z}_2^M, Q \in \mathcal{P}^N} (-1)^{m \cdot (x + y)} \lambda^Q_{x, y}| Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes Z^x) |.$$

dla pewnych liczb rzeczywistych $\lambda_{x,y}^Q$, nazywanych wiernościami instrumentu.

Dodanie resetu do tego obrazu jest stosunkowo proste. Zaszumioną operację resetu na kubitach $R \subset [K]$ można zamodelować zgodnie z rozkładem:

$$\frac{1}{2^{|R|}}\sum_{r \in \mathbb{Z}_2^{R}} \lambda_r | Z^r \rangle\!\rangle\langle\!\langle I_R |.$$

Powyższa postać jawnie wykorzystuje założenie, że reset odbywa się wzdłuż osi $Z$ dla każdego kubitu. Szum w operacji jest zakodowany w wiernościach resetu $\lambda_r$, które są po prostu indeksowane podzbiorami kubitów.

Odpowiednik równania (1), który uwzględnia operację resetu na końcu, można uzyskać po prostu przez złożenie go z równaniem (2). To złożenie po pewnych uproszczeniach daje:

$$\begin{split} \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} (-1)^{m \cdot (x + y|_M)} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |. \end{split}$$

Ten rozkład wskazuje, że liczba wierności $\lambda^Q_{x, y}$ wynosi

$$4^{|N \setminus R|} 2^{|M|}2^{|M \cup R|} = 4^{K}2^{|M|}2^{-|M \cup R|} = 4^K 2^{-|R \setminus M|}.$$

Rozważmy przypadki graniczne: (1) Bez pomiaru i resetu $M = R = \emptyset$, a wyrażenie daje $4^K$, czyli liczbę bezfazowych operatorów Pauliego na $K$ kubitach. (2) Dla $M = \emptyset$ i $R=[K]$ otrzymujemy $2^K$, czyli liczbę podzbiorów $[K]$. Wreszcie (3) dla $M = [K]$ i $R = \emptyset$ otrzymujemy $4^K$. Zauważ, że może to początkowo dziwić: w standardowym uczeniu pomiar i reset zwykle uznaje się za mające tę samą liczbę wierności: $2^K$. Jednak tutaj bramkę z pomiarem wszystkich kubitów rozumie się w tym kontekście nie jako pomiar końcowy, lecz jako MCM, a zatem uwzględnia się także wierności odpowiadające niejednostkowym wynikom pomiaru (takim jak $y \neq 0$ w równaniu (3)).

Wreszcie warto zauważyć, że każda strategia twirlingu dająca postać z równania (1) w przypadku bez resetu stosuje się równie dobrze do nietrywialnego przypadku z resetem po prostej modyfikacji. Potencjalny problem polega na tym, że taka strategia może wymagać operacji na mierzonych kubitach po pomiarze. Dlatego jeśli kubit jest mierzony i resetowany, implementacja strategii pozornie wymaga wstawienia operacji wewnątrz bramki, między pomiarem a resetem. Jednak ze względu na naturę resetu takie operacje nie mają żadnego efektu i można je po prostu pominąć, nadal uzyskując tę samą pożądaną strukturę.

3. Formalizm ścieżek

Jak opisano we wstępie, wszystkie algorytmy uczenia szumu typu Pauliego dla bramek Clifforda opierają się na śledzeniu, jak poszczególne operatory Pauliego ewoluują w obwodzie, zbierając po drodze czynniki wierności szumu. Wartości oczekiwane obwodu złożonego z takich bramek są zatem po prostu powiązane z iloczynami podstawowych wierności poszczególnych bramek, a parametry modelu można wywnioskować przez odwrócenie przyjętego rzadkiego odwzorowania parametrów na wierności.

W [1], w kontekście unitarnych zbiorów bramek, zostało to sformalizowane jako Pattern Transfer Graph (PTG): graf skierowany opisujący wszystkie możliwe eksperymenty składające się z elementów zbioru bramek i warstw jednokubitowych bramek Clifforda (zakładanych jako operacje doskonałe, czyli „darmowe”). Uogólniono to w [5] na zbiory bramek z pomiarami w środku obwodu. W obu przypadkach każdy eksperyment opisuje się przez śledzenie pojedynczego operatora Pauliego w obwodzie, przy założeniu, że w każdym miejscu pomiaru obliczana jest określona obserwabla. Nie omawiamy tu bezpośrednio konstrukcji grafu ani ścieżek; przedstawiamy jednak fakty potrzebne do ich uzasadnienia w naszej własnej notacji i z uwzględnieniem resetów.

Choć śledzenie pojedynczego operatora Pauliego w obwodzie może być intuicyjne w przypadku unitarnych zbiorów bramek, nie jest to tak oczywiste w ogólniejszym przypadku Clifford-MCM-reset, ze względu na niedeterministyczny charakter pomiaru. Poniższe twierdzenie odtwarza ten obraz nawet w ogólniejszym przypadku [5]:

Twierdzenie 1

Dla dowolnych $x \in \mathbb{Z}_2^M$, $y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R}$ i $Q\in \mathcal{P}^{N \setminus R}$ zachodzi:

$$\langle\!\langle Q \otimes Z^y |\otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} |_M \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right) = \lambda_{x,y}^Q\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$$

Innymi słowy, jeśli obliczymy wartość oczekiwaną $Z^{x + y|_M}$ na rejestrze klasycznym wyprodukowanym przez MCM, to ewolucja obserwabli w „obrazie Heisenberga” przez bramkę Clifford-MCM-reset odwzorowuje $Q \otimes Z^y \rightarrow Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x$. Sam ten fakt umożliwia odzyskanie analizy w stylu PTG poza przypadkiem unitarnych zbiorów bramek: przy odpowiednim przetwarzaniu końcowym wyników pomiarów nawet bramki z pomiarami i resetami można postrzegać jako deterministycznie odwzorowujące jeden operator Pauliego na inny.

Zanim to udowodnimy, zapisujemy równanie (3) w bardziej sugestywnej postaci. Zauważ, że dla $x, y \in \mathbb{Z}_2^M$ zachodzi $Z^{x+y} = \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} (-1)^{m \cdot (x + y)}| m \rangle\langle m |$, a zatem (w notacji superoperatorów) mamy:

$$\begin{split} \begin{aligned} \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle_M = \frac{1}{2^{2|M|+|N|}}\sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) | \otimes | Z^{x + y|_M} \rangle\!\rangle_M, \end{aligned} \end{split}$$

gdzie zastosowaliśmy równanie (3) i zebraliśmy wyrazy, a indeksu dolnego $M$ używamy do wskazania klasycznego rejestru wyniku pomiaru, który powyżej traktujemy w notacji podobnej do rejestrów kwantowych.

Dowód. Zachodzi:

$$\begin{split} \begin{aligned} &\langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right)\\ &= \langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left( \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^P_{a,b} | P \otimes Z^b \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \otimes | Z^{a + b|_M} \rangle\!\rangle \right) \\ &=\frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N \setminus R}}} \lambda^P_{a, b}\underbrace{\langle Q \otimes Z^y, P \otimes Z^b \rangle}_{2^{|M| + |N|} \delta_{P, Q}\delta_{y,b}} \underbrace{\langle Z^{x + y|_M}, Z^{a + b|_M} \rangle}_{2^{|M|}\delta_{x+y|_M,a+b|_M}}\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \end{aligned} \end{split}$$

Na koniec zauważ, że $\delta_{y,b}\delta_{x+y|_M,a+b|_M} = \delta_{y,b}\delta_{x,a}$, a zatem ostatni składnik powyżej redukuje się do pojedynczego składnika $\lambda^Q_{x,y} \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$, co daje pożądany wynik.

Zobacz [5], aby poznać dalszy rozwój: definicję PTG, ścieżki w PTG oraz dowód, że każda poprawnie zdefiniowana ścieżka odpowiada eksperymentowi.

Bibliografia

[1]

Senrui Chen, Zhihan Zhang, Liang Jiang, and Steven T. Flammia. Efficient Self-Consistent Learning of Gate Set Pauli Noise. PRX Quantum, 7(1):010305, 2026. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/1pnv-t9px, doi:10.1103/1pnv-t9px.

[2]

Edward H. Chen, Senrui Chen, Laurin E. Fischer, Andrew Eddins, Luke C. G. Govia, Brad Mitchell, Andre He, Youngseok Kim, Liang Jiang, and Alireza Seif. Disambiguating pauli noise in quantum computers. PRX Quantum, pages, 2026. doi:10.1103/69wc-gzl6.

[3]

Steven T. Flammia. Averaged Circuit Eigenvalue Sampling. In 17th Conference on the Theory of Quantum Computation, Communication and Cryptography (TQC 2022), volume 232 of Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs), 4:1–4:10. Dagstuhl, Germany, 2022. Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum für Informatik. doi:10.4230/LIPIcs.TQC.2022.4.

[4]

Alexander Erhard, Joel J. Wallman, Lukas Postler, Michael Meth, Roman Stricker, Esteban A. Martinez, Philipp Schindler, Thomas Monz, Joseph Emerson, and Rainer Blatt. Characterizing large-scale quantum computers via cycle benchmarking. Nature Communications, 10(1):5347, 2019. doi:10.1038/s41467-019-13068-7.

[5]

Zhihan Zhang, Senrui Chen, Yunchao Liu, and Liang Jiang. Generalized Cycle Benchmarking Algorithm for Characterizing Midcircuit Measurements. PRX Quantum, 6(1):010310, 2025. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PRXQuantum.6.010310, doi:10.1103/PRXQuantum.6.010310.

[6]

Stefanie J. Beale and Joel J. Wallman. Randomized compiling for subsystem measurements. 2023. URL: http://arxiv.org/abs/2304.06599, doi:10.48550/arXiv.2304.06599.

[7]

Ewout van den Berg and Pawel Wocjan. Techniques for learning sparse Pauli-Lindblad noise models. Quantum, 8:1556, 2024. URL: https://quantum-journal.org/papers/q-2024-12-10-1556/, doi:10.22331/q-2024-12-10-1556.