Zasymuluj 127-kubitowy model Isinga z kopnięciami (kicked Ising)

W tym przewodniku używamy pakietu pauli-prop, aby klasycznie zasymulować dynamikę czasową 127-kubitowego modelu Isinga z kopnięciami (kicked Ising) na sieci heavy-hex i przybliżyć magnetyzację pojedynczego węzła, $\langle Z_{62} \rangle$. Rozważany hamiltonian ma postać:

$H = -J\sum\limits_{\langle i,j \rangle} Z_iZ_j + h\sum\limits_iX_i$

gdzie $J>0$ opisuje sprzężenie spinów najbliższych sąsiadów, $i<j$, a $h$ jest globalnym polem poprzecznym. Rozkład Trottera pierwszego rzędu operatora ewolucji w czasie zostanie zaimplementowany jako obwód kwantowy, $U$, o $20$ krokach Trottera. Stała sprzężenia, $J$, zostanie ustalona na $J=-\frac{\pi}{2}$, tak że $U$ jest cliffordowskie zawsze, gdy $h\mod\frac{\pi}{2}=0$.

Przepływ pracy:

• Utwórz obwody kwantowe implementujące model Isinga metodą Trottera

  • Zmieniaj $h$ między punktami Clifforda, $0.0$ i $\frac{\pi}{2}$

• Wybierz węzeł w środku sieci (kubit $62$) i oszacuj magnetyzację po $20$ krokach Trottera dla każdego obwodu

• Zaobserwuj spadek magnetyzacji z $1.0$ do $0.0$, gdy $h$ przechodzi z jednego punktu Clifforda do drugiego

Utwórz obwody

Najpierw używamy FakeSherbrooke z qiskit-ibm-runtime, aby uzyskać indeksy krawędzi mapy sprzężeń 127-kubitowego QPU Eagle. Gdy mamy indeksy krawędzi, tworzymy obwody Trottera dla różnych wartości $h$, które chcemy zasymulować. Obwody zaimplementują rozkład Trottera pierwszego rzędu hamiltonianu z użyciem 20 kroków Trottera i 5420 bramek.

# Added by doQumentation — installs the packages this notebook needs if they are missing
import importlib.util

_needed = {"matplotlib": "matplotlib", "numpy": "numpy", "pauli_prop": "pauli-prop", "qiskit": "qiskit", "qiskit_ibm_runtime": "qiskit-ibm-runtime"}
_missing = [pip for module, pip in _needed.items()
            if importlib.util.find_spec(module) is None]
# One at a time, so a package that fails to install does not block the others
for _pip in _missing:
    %pip install -q {_pip}
if not _missing:
    print("\u2713 All required packages are installed")

import numpy as np
from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit_ibm_runtime.fake_provider import FakeSherbrooke

# Get the edges in the device coupling map
backend = FakeSherbrooke()
edges = backend.coupling_map.get_edges()

# Num Trotter steps
num_steps = 20

# Create Trotter circuits with varying global fields
hs = [i * np.pi / 32 for i in range(17)]
circuits = []
for h in hs:
    circuit = QuantumCircuit(backend.num_qubits)
    for _ in range(num_steps):
        circuit.rx(h, [i for i in range(backend.num_qubits)])
        for edge in edges:
            circuit.rzz(-np.pi / 2, edge[0], edge[1])
    circuits.append(circuit)

Zasymuluj dynamikę czasową za pomocą propagacji Pauliego

Następnie określamy obserwablę, $O$, którą chcemy zmierzyć. W tym przypadku szacujemy $\langle Z_{62} \rangle$.

Aby zbadać magnetyzację między punktami Clifforda, w przybliżeniu propagujemy $O$ na początek obwodu, $U$, otrzymując nową obserwablę, $O^\prime \approx U^{\dagger}OU$.

Podczas propagacji liczba wyrazów w ewoluowanej obserwablej rośnie wykładniczo wraz z liczbą bramek, więc zwykle trzeba ograniczyć, jak bardzo może urosnąć. Tutaj ograniczamy liczbę wyrazów w $O^\prime$ do $10^5$ i obcinamy wyrazy o współczynnikach mniejszych niż $10^{-5}$. Obcinanie wyrazów powoduje pewien błąd. Gdy mamy $O^\prime$, możemy łatwo oszacować wartość oczekiwaną, $\langle0|U^{\dagger}OU|0\rangle = \langle0|O^\prime|0\rangle$, sumując współczynniki wyrazów diagonalnych w $O^\prime$ (wyrazów składających się wyłącznie z I lub Z na wszystkich kubitach).

Ustawiamy frame='h', aby określić, że chcemy ewoluować obserwablę w ujęciu Heisenberga ($U^{\dagger}OU$). Użyj frame=s dla ewolucji w ujęciu Schrödingera ($UOU^{\dagger}$).

import time

from pauli_prop import propagate_through_circuit
from qiskit.quantum_info import Pauli, SparsePauliOp

# Z_62 observable
id_pauli = Pauli("I" * backend.num_qubits)
observable = SparsePauliOp(id_pauli.dot(Pauli("Z"), [62]))

# Estimate the single-site magnetization for varying magnetic fields
times = []
approx_evs = []
for circuit in circuits:
    st = time.perf_counter()
    propagated_obs = propagate_through_circuit(
        observable, circuit, 100_000, 1e-5, frame="h"
    )[0]
    times.append(time.perf_counter() - st)
    approx_evs.append(
        float(
            propagated_obs.coeffs[~propagated_obs.paulis.x.any(axis=1)].sum()
        )
    )
print(f"Finished {len(circuits)} simulations in {sum(times):.0f}s")

Finished 17 simulations in 494s

Wizualizacja

Na koniec rysujemy magnetyzację jako funkcję $h$. Gdy $h=0$, obwód nie wpływa na stan początkowy w bazie obliczeniowej i wiemy, że $\langle0|O|0\rangle = 1.0$. W miarę oddalania się $h$ od $0$ magnetyzacja maleje monotonicznie, aż $h$ osiągnie kolejny kąt Clifforda, $\frac{\pi}{2}$, a magnetyzacja zbiegnie do $0$.

import matplotlib.pyplot as plt

plt.xlabel(r"$R_x$ angle $\theta_h$")
plt.ylabel(r"$\langle Z_{62} \rangle$")
plt.plot(hs, approx_evs, marker="o")

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x123f68b00>]